8. Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Составить контурные уравнения для электрической цепи, изображенной на рис. 10, используя аналогию Максвелла.

Рис. 10. Электрический контур с тремя степенями свободы

З

Рис. 11. Электродинамический датчик

адача 2. Схематическое изображение электродинамического датчика представлено на рис. 11. Якорь массы электродинамического датчика для записи механических колебаний опирается на две пружины с коэффициентами жесткости и при вертикальных колебаниях основания датчика имеет вертикальное смещение от положения покоя. Вследствие изменения воздушного зазора в магнитопроводе коэффициент самоиндукции катушки изменяется пропорционально вертикальному смещению якоря: . Катушка включена в электрическую цепь, состоящую из источника ЭДС и омического сопротивления . Составить дифференциальные уравнения движения якоря и тока в электрической цепи датчика.

З

Рис. 12. Вибратор

Шлейфного осциллографа

адача 3. Устройство вибратора шлейфного осциллографа изображено на рис. 12. Проволочная петля (1) (бифиляр) с одной стороны укреплена зажимами (2), к которым подключается источник ЭДС, с другой стороны натягивается с помощью пружины (3). Средняя часть петли опирается на острые ребра призм из диэлектрика (4). Эта часть петли располагается в зазоре постоянного магнита (5), благодаря чему при прохождении тока через проволочную петлю возникает электромагнитный вращающий момент. При закручивании бифиляра поворачивается закрепленное на нем зеркальце (6), отбрасывая световой зайчик на светочувствительную пленку. Составить уравнения Лагранжа для вибратора шлейфного осциллографа и установить коэффициенты электромеханической связи

Задача 4. Составить уравнения Лагранжа второго рода, линеаризовать их и установить коэффициенты электромеханической связи для виброизмерительного прибора электростатического типа (рис. 13). Основной частью прибора является плоский конденсатор, одна из пластин которого жестко скреплена с корпусом, а вторая играет роль сейсмической массы. Прибор служит для записи колебаний корпуса.

Рис. 13. Виброизмерительный прибор электростатического типа: 1 – корпус прибора,

2 – пластины конденсатора, 3 – сейсмическая масса,

4 – пружины, 5 – источник постоянной ЭДС,

6 – электроизмерительный прибор

Задача 5. На рис. 14 а) изображена конструкция электромагнитного телефона, состоящего из корпуса (1), постоянного магнита (4), двух последовательно соединенных катушек индуктивности (3) и упругой мембраны из магнитомягкого сплава (2). Постоянный магнит притягивает

Рис. 14. Устройство электромагнитного телефона

мембрану, при равновесии она находится в упругодеформированном состоянии. Когда по обмоткам катушек течет переменный ток, происходит наложение магнитных полей тока и постоянного магнита. Поле изменяется, то возрастая, то убывая по отношению к первоначальному уровню. Изменяющаяся вследствие этого магнитная сила вызывает колебания мембраны. Если изменения тока в катушках происходят с частотами звукового диапазона (20 – 2·10⁴ ), то колебания увлекаемого мембраной столба воздуха вызывают ощущения звука. Таков принцип действия этого устройства. Идеализированное представление этого устройства отражено на рис. 14 б), где упругая мембрана как механическая система представлена в виде совокупности сосредоточенной массы (ее называют якорем), и безмассовых пружин общей жесткостью , на которых якорь подвешен. В положении равновесия тока в катушках нет, и упругая сила деформированных пружин уравновешивается силой тяжести якоря и силой притяжения постоянного магнита. Составить уравнения движения мембраны и провести их линеаризацию при незначительном смещении якоря относительно положения равновесия.

Задача 6. Устройство электродинамического телефона изображено на рис. 15 а). В этом телефоне при подключении источника переменной ЭДС к катушке индуктивности (1) возникают колебания мембраны (2). Катушка жестко скреплена с мембраной и может перемещаться в воздушном зазоре магнитной цепи. В состав магнитной цепи входит постоянный магнит, имеющий форму полого цилиндра (3), нижний (4) и верхний (5) фланцы и керн (6), изготовленные из ферромагнитных материалов. Цилиндрический конец керна входит в круговое отверстие верхнего фланца неплотно. Между ними имеется воздушный зазор кольцеобразной формы, в котором вдоль направления радиусов замыкаются линии поля постоянного магнита. Катушка с током, погруженная в этот зазор, испытывает воздействие электромагнитной силы, величину которой можно установить по закону Ампера. Катушку помещают в зазор, строго центрируя, так что линии электрического тока и магнитной индукции везде взаимно перпендикулярны, а равнодействующая электромагнитной силы направлена вдоль оси катушки. В части воздушного зазора, занятой катушкой, поле постоянного магнита можно считать однородным. Идеализированное представление этого устройства отражено на рис. 15 б). Составить уравнения движения мембраны.

а) б)

Рис. 15. Устройство электродинамического телефона

Задача 7. Провести исследование систем, изображенных на рис. 16, на их эквивалентность. На рис. 16 а) изображен подвешенный на пружине груз, который может совершать колебательные перемещения в вертикальном направлении. Схема идеализированного представления этой механической системы содержит сосредоточенную приведенную массу , жесткость пружины, лишенной массы, и, наконец, участок, характеризуемый коэффициентом силы сопротивления, пропорциональной скорости перемещения груза. На систему действует возмущающая сила . Составить таблицу соответствий по механической системе и обеим электрическим цепям.

а) б) в)

Рис. 16. Эквивалентные механическая и

электрические системы

Задача 8. На рис. 17 изображено устройство электроизмерительного прибора магнитоэлектрического типа. Цилиндрический якорь (1) помещен между полюсными наконечниками (2) постоянного магнита (3). Продольная ось (4) якоря может вращаться в подшипниках (5). Поворот якоря сопровождается перемещением по шкале прибора стрелки- указателя (6) и упругой деформацией спиральной пружины (7), один конец которой скреплен с осью, а другой – с корпусом прибора. Из-за ограничителей якорь со стрелкой не могут повернуться на угол, превосходящий предельное значение . Обмотка якоря (8) (так называемая рамка прибора) образована витками, каждый из которых имеет форму прямоугольника, две длинные стороны которого расположены вдоль образующих цилиндра, а пара коротких – на его основаниях. Полюсные наконечники и якорь выполняются из ферромагнитных материалов. Форма наконечников такова, что зазор между ними и якорем имеет постоянную ширину. Линии магнитной индукции в зазоре направлены по нормалям к боковой поверхности якоря. Составить уравнения движения электроизмерительного прибора и провести их линеаризацию при большой интенсивности поля постоянного магнита в зазоре.

Рис. 17. Устройство электроизмерительного

прибора магнитоэлектрического типа

Задача 9. Рассмотреть систему, изображенную схематически на рис. 18. Основной частью этой системы является плоский конденсатору пластина которого (нижняя) неподвижна, а пластина, обладающая массой (верхняя), может перемещаться, вызывая изменение расстояния между пластинами. – начальное значение расстояния между пластинами, – начальное значение емкости, – начальный заряд. Составить уравнения движения системы, провести их линеаризацию при малых перемещениях верхней пластины и определить электростатический коэффициент электромагнитной связи в обоих случаях.

Рис. 18. Электромеханическая система

конденсаторного типа

З

Рис. 19. Схема виброизмерительного прибора

адача 10. На рис. 19. представлена схема виброизмерительного прибора, в котором используется система, изображенная ранее на рис. 15. Роль сейсмической массы играет постоянный магнит. При проведении измерении корпус прибора помещается на вибрирующей поверхности и повторяет ее перемещения. При этом сейсмическая масса смещается относительно корпуса и, следовательно, витки катушки смещаются относительно поля постоянного магнита. При использовании системы электростатического типа, изображенной на рис. 18, пластина (1) жестко скрепляется с корпусом виброизмерительного прибора, а пластина (2) играет роль сейсмической массы. Когда корпус прибора перемещается вместе с вибрирующей поверхностью, на которую он помещен, смещение сейсмической массы вызывает изменение емкости конденсатора. Провести анализ системы, используя результаты задач 6 и 9.

З

Рис. 20. Установка Зоммерфельда

адача 11. На рис. 20 представлена схема установки Зоммерфельда. Установка представляет собой колебательную систему массы и жесткости , вертикальные колебательные перемещения в которой возникают вследствие динамической реакции, приложенной к валу электродвигателя, укрепленного на платформе, когда приводится во вращение груз массы , эксцентрично связанный с валом. Длина стержня , угловая скорость вала , коэффициент равнодействующих сил сопротивления . Отыскав частное решение уравнения вертикальных колебаний, найти зависимость амплитуды вынужденных колебаний от угловой скорости.

Задача 12. Механическая колебательная система, подобная представленной на рис. 20, содержится и в установке, изображенной на рис. 21. В последней установке механические колебания возникают благодаря упругой силе, действующей со стороны пружины, эксцентрично скрепленной с валом электродвигателя и деформируемой при его вращении. Этот способ возбуждения колебаний условимся называть первым в отличие от описанного выше способа, когда колебания обусловливаются действием динамической реакции со стороны движущегося неуравновешенного груза – такой способ будем называть вторым. Для установки на рис. 21 введем обозначения: и – масса и жесткость механической системы, колебания которой возбуждаются; - коэффициент силы сопротивления колебательному перемещению; – жесткость пружины, связывающей массу с валом двигателя; – расстояние от оси вала до точки крепления пружины жесткости (эксцентриситет); перемещения груза будем описывать при помощи координаты . Пусть в начальном положении точка крепления пружины к валу находится ниже оси вала на вертикали, проходящей через эту ось, и обе пружины жесткостью и при этом недеформированы. Полагая, что эксцентриситет значительно меньше длины пружины жесткости , а к электродвигателю подключен источник постоянной ЭДС достаточно большой мощности, составить уравнения движения системы

Рис. 21. Электромеханическая система

Задача 13. В состав установки, изображенной на рис. 22, входят электродвигатели (1) и (2) ограниченных мощностей. Платформу, на которой установлен двигатель (2), можно привести в колебательное движение как с помощью первого, так и второго способов возбуждения (см. задачу 12). Установка моделирует выдвигаемую инженерной практикой ситуацию когда некоторый механизм, действующий подобно двигателю с эксцентрично закрепленным на валу грузом, расположен на основании, упругие колебания которого вызваны работой другого двигателя. Если мощности двигателей соизмеримы, то возможны различные критические режимы. Полагая, что к электродвигателям подключены источники постоянных ЭДС, составить уравнения движения системы.

Рис. 22. Электромеханическая система

с двумя электродвигателями

Задача 14. Рассмотреть электромеханическую систему с неголономными связями, порожденными скользящими контактами, приведенную на рис. 23. Ток подводится через щетки к равномерной обмотке барабанного ротора в точках и . Положение витка обмотки в подвижной системе координат , жестко связанной с ротором, характеризуется углом , а положение подводящих контактов – углом . Угол – угол поворота ротора относительно неподвижной системы к

Рис. 23. Распределение тока

в обмотке якоря

оординат , положение щетки в этой системе координат определяется постоянным углом . Составить уравнения преобразования токов при переходе от неподвижных осей координат к подвижным, связанным с ротором.

Задача 15. Рассмотреть уравнения движения в неголономных координатах для коллекторной машины, используя результаты, полученные при решении задачи 4.

Задача 16. Составить уравнения движения для сериесного генератора последовательного возбуждения, изображенного на рис. 24. Провести их линеаризацию при малых токах.

Рис. 24. Схема сериесного генератора

последовательного возбуждения