6.4.4 Геометрическая и кубическая формы представления

логических функций

В геометрическом смысле каждый двоичный набор

(a₁ a₂.... a_n) переменных логической функции можно рассматривать как n-мерный вектор, определяющий точку n-мерного пространства. Исходя из этого, всe множество наборов, на которых определена функция n переменных, представля­ется в видe вершин n-мерного куба. Отмечая точками вершины, в которых функция имеет единичные значения, получают ее геометрическое представление, например так, как показано на рис. 6.6, а.

92

91

а) б ) в)

Рис. 6.6. Геометрическое и кубическое представление функции

Y= (3,4,5.6, 7): a — 0-кубы; б — 1-кубы; в — 2-куб

На основе геометрических представлений строятся ку­бические представления логических функций, в которых используются элементы n-мерных кубов. Геометрически каждому набору (a₁ a₂.... a_n) соответствует вершина n-мерного куба с данными координатами. Каждую вер­шину, на которой функция принимает единичное значе­ние, принято называть 0-кубом (нулевым кубом). Множество 0-кубов образует нулевой кубический комплекс Ко. Например, для функции Y = V(3, 4, 5, 6, 7) нулевой ку­бический комплекс имеет вид Ко = (011, 100 101, 110, 111) и в данном случае состоит из пяти 0-кубов, каждый из которых соответствует определенной вершине трехмерного куба (рис. 6.6, а).

Если два 0-куба из комплекса К₀ различаются только по одной координате, то они образуют один 1-куб (еди­ничный куб). Он представляется общими элементами 0-кубoв, а на месте координаты, по которой различаются 0-кубы, указывается символ «-», обозначающий независимую координату. Например, два 0-куба: 100, 101 разли­чаются только по третьей координате и, следовательно, образуют единичный куб 10-, которому соответствует ребро трехмерного куба. Все множество единичных кубов функции образует единичный кубический комплекс К_1. Для функции Y =V(3, 4, 5, 6, 7) он состоит из пяти 1-кубов: K₁ ={-11, 10-, 1-0, 1-1, 11-} и определяет все множество ребер, на которых функция Y принимает единичные значения (рис. 6.6,б).

Если два единичных куба из комплекса K₁ имеют общую независимую координату и различаются только по одной координате, то они образуют один 2-куб (двоич­ный куб). Его запись состоит из общих компонент 1-ку­бов, а координата, принимающая различные значения в 1-кубах, обозначается в 2-кубе как независимая коор­дината «-» (пробел). Например, два единичных куба 1-0 и 1-1 образуют один двоичный куб 1--. Для рассмат­риваемой функции Y двоичный комплекс имеет вид К₂ ={1--} и состоит из одного двоичного куба, соответствующего грани трехмерного куба (рис. 6.6, в). Размерность куба определяется числом независимых; координат (символов «-»).

Объединение кубических комплексов К₀, К₁, … К_n функции f(x₁, x₂,…,x_n) образует кубический комплекс функции К(f). Для рассматриваемого примера комплекс К(f) соответствует объединению комплексов К₀ , К₁ и К₂.

В отличие от аналитических форм записи логических функций, где используюется большой набор индексированных букв и математических знаков, кубические представления позволяют задавать логические функции в виде множества кубов, компонентами которых являются только три символа; 0, 1, - . Ограниченное число символов в записи функций позволяет использовать кубические представления в ЭВМ при решении задач автоматизированного логического проектирования комбинационных автоматов.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Математическая энциклопедия. Ред. коллегия: И.М.Виноградов (гл. ред.) [и др.]. Т.1 - М.: Советская энциклопедия, 1977. - 1152 стб.

2. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию автоматов. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1985. - 320с.

3. Мельников Г.П. Азбука математической логики. - М.: Знание, 1967. -104с.

4. Лернер А.Я. Начала кибернетики. - М.:Наука, 1967. - 400с.

5. Лазарев В.Г., Пийль Е.И. Синтез управляющих автоматов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 328с.

6. Угрюмов В.П. Цифровая схемотехника. - СПб.: БВХ-Петербург,2001. 528 с.

7. Ачасова С.М. Алгоритмы синтеза автоматов на программируемых матрицах / Под ред. О.Л.Бадман. - М.: Радио и связь, 1987. - 136с.

8. Энциклопедический словарь. Гл. ред. Б.В. Введенский. В 2-х Т. Т1. - М.: Советская энциклопедия, 1963. - 656с.

9. Советский энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия, 1980. - 1600с.

10. Заморин А.П., Марков А.С. Толковый словарь по вычислительной технике и программированию. Основные термины. - М.: Русский язык, 1988г.- 221с.

11. Баранов С.И. Синтез микропрограммных автоматов (граф-схемы и автоматы). - Л.: Энергия, 1979. - 232 с.

12. Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов. - М.: Высш. шк., 1987. - 272с.

94

93

13. Хлытчиев С.М. Основы автоматики и автоматизации производственных процессов / С.М.Хлытчиев, А.С.Ворожцов, И.А.Захаров. - М.: Радио и связь,1985. - 288с.

14. Глушков В.М. Синтез цифровых автоматов. - М.: Физматгиз, 1962. - 467с.

15. Гетманова А.Д. Учебник по логике. 2-е изд. – М.: "ВЛАДОС", 1994. - 303с.

16. Завадский В.А. Компьютерная электроника. - Киев: ВЕК, 1996. - 368с.

17. Простейшая микро - ЭВМ: Проектирование. Наладка. Использование / Л.Н.Буреев, А.Л.Дудко, В.Н.Захаров. – М.: Энергоатомиздат, 1989. 216с.

18. Сикорский Р. Булевы алгебры. – М.: Мир, 1969. - 376с.

19. Яглом И.М. Булева структура и ее модели. – М.: Сов. радио, 1980. - 192с.

20. Киносита К., Асада К., Карацу О. Логическое проектирование СБИС. – М.: Мир, 1988. - 309с.

21. Миллер Р. Теория переключательных схем: В 2-х т./ Пер. с англ. – М.: Наука, 1970, 1971. - Т.1, 2.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………….3

ГЛАВА 1. Становление теории автоматов и ее основные задачи……………………………………………...……4

1.1 Взаимосвязь теории автоматов и других научно-технических направлений………………………………..4

2. Подходы к определению конечного автомата…………..6

3. Сущность метода "черного ящика"……………………...9

4. Основные задачи теории автоматов…………………....10

ГЛАВА 2. Формальная классификация абстрактных автоматов и их математические модели……………………..14

2.1 Словесные определения автоматов………………...14

2.2 Формальное определение абстрактного автомата...16

2.3 Формальная классификация автоматов……………18

2.4 Математические модели автоматов………………..20

2.4.1 Модель Мили………………………………...…21

2.4.2 Модель Мура…………………………………...23