Учебное пособие 800412

ров на единицу продукции. Соответственно этому различают контрольные карты и выборочные планы по количественным признакам или по числу дефектов на единицу продукции.

На контрольную карту наносятся обычно три линии: средняя и две крайние, представляющие собой верхнюю и нижнюю границы регулирования. По оси ординат откладываются значения контролируемого параметра, а по оси абсцисс — номера выборок.

Вычисление границ регулирования для x -карты. Если из-

вестны математическое ожидание и стандартное отклонение контролируемой генеральной совокупности (эти параметры обычно задаются в документации на технологический процесс), то верхняя и нижняя

границы регулирования для x -карты или доверительной вероятности 0,9973 откладываются от математического ожидания (средней

линии) на расстоянии 3σ/ n . Итак,

— верхняя граница регулирования, а

— нижняя граница регулирования.

Значения коэффициента А = 3/ n можно найти в табл. 7 Приложения [2].

Если математическое ожидание генеральной совокупности неизвестно, то для построения средней линии находят оценку, математиче-

ского ожидания — общую среднюю арифметическую x , вычисляемую

по k значениям выборочных средних xi :

31

В этом случае из текущего процесса отбирают как можно больше выборок (к≈20...30) объемом п. При этом замену М(х) на х можно сделать методами, рассмотренными в § 2.

Если неизвестно стандартное отклонение σ генеральной совокупности, то его можно оценить с помощью среднего выборочного зна-

чения s по формуле (4.17, [2]), т. е.

где A1 3/(C2 n).

По известным s и С2 легко вычисляются границы регулирования для x -карты:

KB x A1 s; KH x A1 s.

Коэффициенты А1 и С2 зависят от объема выборок (см. табл. 7 Приложения [2]).

Как отмечается в § 4.4 [2], неизвестное стандартное отклонение σ генеральной совокупности можно оценить с помощью средней величины размаха R.. С учетом (4.22 [2]) имеем

32

Тогда границы регулирования для x -карты вычисляются следующим образом:

KB x A2 R, KH x A2 R.

Значение А2 находят по табл. 7 Приложения [2] в зависимости от объема выборок п. Пользоваться табл. 7 Приложения для определения значений коэффициентов А1 и А2 можно только в случае установле-

ний трехсигмовых границ регулирования x -карты. Если на контрольные карты наносят границы регулирования, которые базируются на доверительной вероятности 0,9973, то в коэффициентах А1 и А2 число 3 (соответствующее трехсигмовым границам регулирования) заменяют соответственно другим числом. Как следует из табл. 1 Приложения [2], для функции Ф(α) это число при доверительной вероятности, например 0,9544, равно 2, что соответствует двухсигмовым границам регу-

лирования x -карты.

Чтобы получить более полное представление о ходе производст-

венного процесса, наряду с x -картой ведут либо s-карту, с помощью которой непрерывно контролируют стандартное отклонение, либо R-карту для контроля размахов выборок. При этом создание контрольных карт обычно начинают с изготовления карт для стандартных отклонений или размахов, а не с контрольных карт для средних, ибо к моменту начала контроля производства имеется мало исходных данных (или вообще не имеется) для оценки с и, следовательно, для создания х-карты.

Вычисление границ регулирования для s- и R-карт. Эти карты строятся

так же, как и x -карта. Вначале наносят на карту среднюю линию, со-

ответствующую среднему значению s или R, а затем проводят параллельно средней линии верхнюю и нижнюю границы регулирования с требуемой доверительной вероятностью.

Если генеральная совокупность, из которой сделаны выборки, распределена по закону Гаусса, то при достаточно большом числе п стандартное отклонение σc распределения s связано со стандартным откло-

33

или

Значения коэффициентов B1 ,В2 ,В3 , В4 приведены в табл. 7 Приложения [2], по которой они определяются в зависимости от объема выборок только при трехсигмовых границах регулирования s-карты.

При n, меньшем 25, коэффициенты B1 ,В2 ,В3 , В4 по следующим формулам:

35

При этом учитывается асимметричность распределения, увеличивающаяся по мере уменьшения объема выборки.

Распределение размахов R выборок одинакового объема асимметрично, так как размах является положительной величиной и теоретически может принимать какое угодно значение. При малых объемах выборок s и R связаны тесной корреляционной зависимостью. Вследствие этого стандартное отклонение σR распределения размахов можно вычислить из стандартного отклонения а генеральной совокупности с помощью коэффициента, зависящего от п:

Значения коэффициента b2 приведены в табл. 7 Приложения [2].

Если известно значение σ генеральной совокупности, то среднее значение размахов, представляющее собой среднюю линию R-карты,

KB R 3 R d2 3b2 (d2 3b2 ) ;

Если значение σ генеральной совокупности неизвестно, то его оценку вычисляют по R с помощью (4.22) или (6.5) [2]. В этом случае границы регулирования

36

или

Значения коэффициентов D1 ,D2 ,D3 , D4 приведены в табл. 7 Приложения [2]. Они зависят, как и b2 и d2, от объема выборки п и действительны, если генеральная совокупность имеет гауссовское распределение или хотя бы приближается к нему.

Так как при малых объемах выборок распределения стандартных отклонений s и размахов R являются асимметричными, то при уменьшении п до 5...6 изделий получаются отрицательные значения для нижних границ регулирования. Поэтому при малых объемах выборок коэффициенты B1 ,В3, D1 ,D3 приравниваются нулю, а за нижние границы регулирования s- и R-карт принимаются их средние линии.

Несмотря на асимметричность распределений s и R, при небольших объемах выборок в большинстве случаев на практике пользуются формулами, выведенными для гауссовского распределения, поскольку точные формулы сложны для расчетов. Хотя в таких случаях и неизвестна вероятность того, что контрольная точка попадет за границы регулирования, но очевидно, что для статистически управляемого процесса эта вероятность очень мала [2].

Отметим, что между поведением средних и стандартных отклонений или размахов выборок, сделанных из гауссовской генеральной совокупности, отсутствует взаимосвязь систематического характера. Следовательно, контрольные карты для средних и стандартных отклонений или размахов независимы. В то же время s-и R-карты зависимы вследствие корреляционной связи между s и R, которая является тесной при малых объемах выборок [2].

4.6. Контрольные карты для количественных признаков

Контрольная карта представляет собой отпечатанный на бумаге формуляр с сеткой из вертикальных и горизонтальных линий. По оси ор-

37

динат, как уже отмечалось, откладывают измеренные значения признака качества (индивидуальные значения, среднюю арифметическую, стандартное отклонение, размах и т. д.), а по оси абсцисс — порядковые номера выборок или время их отбора в ходе технологического процесса.

Измеренные значения и вычисленные по ним статистические характеристики отмечают в соответствующих местах контрольной карты точками или крестами. По совокупности точек и характеру их расположения относительно средней линии и границ судят о ходе технологического процесса.

Верхними и нижними границами контрольной карты могут быть статистические границы регулирования КВ и КН или установленные пределы контролируемого параметра качества Обозначим верхний и нижний уровни через ТВ и ТН соответственно. Расстояние между ними Тдоп=2ε является полем допуска. Середину поля допуска обозначим через Тс .

Существует два варианта установления границ регулирования

контрольной карты.

Первый вариант применяется, когда технические нормы на параметр качества х неизвестны, т. е. неизвестны М(х) и σ. В этом случае процесс анализируется и опытным путем устанавливаются номинальное значение параметра и допуск, в котором должен протекать процесс.

Второй вариант применяется в том случае, когда технические нормы М(х) и σ известны. Поле допуска должно составлять Тдоп= ТВ - ТН = 6σ. Такую ширину поля допуска называют статистическим допуском, При исследовании работы оборудования статистический допуск характеризует точность1 его работы. 1Точность работы оборудования — минимально допустимое изменение параметра изделия, которое может быть получено на данном оборудования.

Оборудование, имеющее статистический допуск, производит в среднем 0,27% бракованных деталей.

Если технологический процесс отлажен и протекает стабильно, то, как правило, выполняются условия центральной предельной теоремы и контролируемые параметры распределены по гауссовскому или близкому к нему закону.

Сфера использования контрольных карт для количественных признаков ограничена, поскольку одна карта характеризует только

38

один показатель качества. Поэтому обычно проверяют критические признаки.

Как правило, показатель качества, на который следует обратить особое внимание при контроле, становится известным из результатов приемочного контроля или из рекламаций. В этих случаях надо срочно искать причины отклонения параметров. Но если на изменение показателя оказывают влияние такие факторы, как температура, влажность, давление и т. д., то необходимо вводить контрольную карту по другому признаку, используя возможную корреляцию.

Рис 4.11. Контрольная карта индивидуальных значений

Опыт показал, что при таком подходе другие признаки, косвенно связанные с контролируемым, тоже приходят в статистически управляемое состояние.

На рис. 4.11 показана контрольная карта индивидуальных значений некоторого технологического процесса с заданными нормами на контрольный параметр х, представляющий собой диаметр изготавливаемых шайб: М(х) = 50 мкм, σ=5 мкм.

39