В.Д. Коробкин, м.Г. Ордян построение непрерывного поля скоростей перемещений для одной осесимметричной задачи теории пластичности

Рассмотрен вопрос построения непрерывного поля скоростей перемещений при выдавливании пластического материала через матрицу с гладким профилем. Составлено дифференциальное уравнение и определены первые интегралы. Используя граничные условия на входе материала в пластическую область, решена задача Коши и определены скорости перемещений.

Ключевые слова: пластичность, технологические задачи, поле скоростей перемещений.

V.D. Korobkin, M.G. Ordyan

CONSTRUCTION OF CONTINUOUS FIELD OF SPEEDS FOR A ONE AXISYMMETRIC PROBLEM OF THE THEORY OF PLASTICITY

The problem of displacements rates continuous field construction while extruding plastic material through a matrix with a smooth profile is considered. A differential equation is constructed and the first integrals are determined. Using the boundary conditions on the material input into plastic area the Cauchy problem is solved and

the displacement rates are determined.

Key words: plasticity, technological problems, the field of displacement rates.

Вопрос о непрерывных полях скоростей перемещений возник в связи с тем, что, как показано в работе [1], в упрочняющихся материалах нет разрыва скоростей перемещений. При деформировании упрочняющихся материалов, как правило, учитывают влияния, неразрывности в среднем. Используют решение для жестко-пластического материала и считают, что кинематика мало отличается. Иногда, как например, в работе [2], вместо поверхности разрыва вводят слой, устремляя его толщину к нулю, и фактический получают поверхность разрыва скоростей перемещений. Течение жестко-пластического материала подробно изучено классиками теории пластичности и обработки металлов давлением. Наша задача заключается в следующем: используя метод, предложенный в работе [3], определить непрерывное поле скоростей перемещений для некоторого профиля матрицы.

_{1. Рассматривается пространственный осесимметричный профиль (рис.} 1). Задача решается в цилиндрических координатах , , _.

________________________________

© Коробкин В.Д., Ордян М.Г., 2017

Рис. 1. Схема пластического течения.

Пусть уравнение профиля матрицы задано в виде

. (1.1)

Будем считать, что траектория движения точек задаются следующим образом:

, (1.2)

где – постоянная, которая изменяется в пределах от нуля до 1.

Дифференциальные уравнения движения траекторий точек

. (1.3)

Рассмотрим случай установившегося процесса:

. (1.4)

Используя выражения (1.2), (1.3) и подставляя в уравнение (1.4), получим следующее соотношение:

. (1.5)

Условие несжимаемости в цилиндрических координатах имеет вид

. (1.6)

Подставляя (1.5) в условия несжимаемости (1.6), получим

(1.7)

2. Рассмотрим случай, когда компоненты скорости зависят только от координаты .

Уравнение для определения имеет вид

. (2.1)

Решая уравнение (2.1), имеем

. (2.2)

_{Используя граничное условие при} ; ; и полагая _{, получим}

,

где .

В итоге имеем

; . (2.3)

Таким образом, компоненты скорости деформации

; ; . (2.4)

Аналогичным образом можно определить компоненты скорости деформаций , , во второй зоне пластической деформации.

Вывод

При определении удельного усилия прессования полученные результаты для непрерывных полей скоростей перемещений позволяют исключить мощности на поверхностных разрывах скоростей жесткой и пластической областей.

Библиографический список

1. Ивлев, Д.Д. Теория упрочняющегося пластического тела/ Д.Д. Ивлев, Г.И. Быковцев. – М.: Наука, 1971. – 232 с.

2. Коробкин, В.Д. Диссипация мощности на поверхностях разрыва в упрочняющемся материале/ В.Д. Коробкин, П.Д. Чудаков // Изв. АН СССР, МТТ. – 1969. – № 3. –

С. 158 – 161.

3. Коробкин В. Д. Построение непрерывных полей скоростей по линиям тока / В.Д. Коробкин// Изв. вузов, Машиностроение. – 1973. – № 9. – С. 28 – 31.

References

1. Ivlev, D.D. Theory of strengthen elastic body/ D.D. Ivlev, G.I. Bykovtsev. – M.: Nauka, 1971. – 232 p.

2. Korobkin, V.D. Power dissipation on the rapture surface in reinforcing material/ V.D. Korobkin, P.D. Chudakov //News of USSR AS, MS. – 1969. – № 3. – P. 158 – 161.

3. Korobkin, V.D. Rates continuous field construction on current line. / V.D. Korobkin// News of universities, Mechanical engineering. – 1973. – № 9. – P. 28 – 31.

УДК 624.04:624.971

Воронежский государственный технический университет Канд. техн. наук, доц. кафедры строительной механики С.В. Ефрюшин Аспирант кафедры строительной механики А.В. Бурлаков Россия, г. Воронеж, тел.: +79103470895 e-mail: gefe92@mail.ru

Voronezh State Technical University PhD of Tech. Sc, Associate professor of Structural Mechanics department S.V. Efryushin Postgraduate of Structural Mechanics department A.V. Burlakov Russia, Voronezh, tel. +79103470895 e-mail: gefe92@mail.ru