4. Продольно-поперечный изгиб статически неопределимой балки
Пример
6. Однопролетная
балка шарнирно оперта по концам, но обе
опоры неподвижны (рис. 8). Под воздействием
поперечной нагрузки противоположные
концы балки стремятся сблизиться, но
вследствие неподвижности опор такого
сближения не происходит, из-за чего в
балке возникает наряду с изгибом
растяжение [3]. В данном случае система
статически неопределима относительно
растягивающей балку силы
и
для ее определения необходимо составить
уравнение совместности деформаций.
Рис. 8. Заданная система |
Рис. 9. Основная система метода сил |
Удаляем связь, препятствующую горизонтальному сближению опор, а действие ее на систему заменяем неизвестной реакцией (рис. 9). Суть уравнения совместности деформаций: сближение концов балки, вычисленное в основной системе, должно равняться нулю. Уравнение совместности деформаций имеет вид [3]
|
(4.1) |
.
Алгоритм
решения задачи. Решаем дифференциальную
задачу продольно-поперечного изгиба
для основной системы (рис.9) в аналитическом
виде. Находим
как функцию
,
подставляем в уравнение (4.1), получаем
трансцендентное уравнение относительно
неизвестной силы
,
которое решаем с помощью команды
.
Подстановка распора
в выражения для усилий и перемещений
дает искомое решение.
Ниже приведена программа, реализующая данный алгоритм.
Выводы
(пример 6).
Чем больше величина растягивающей силы,
тем при прочих равных условиях в большей
мере уменьшаются этой силой прогибы,
углы поворота и усилия, вызванные
поперечной нагрузкой (на графиках
красный цвет отвечает изгибу только от
поперечной нагрузки
,
а зеленый цвет – изгибу с растяжением).
Однако это не обязательно означает, что
уменьшаются нормальные напряжения в
поперечных сечениях. В
данном примере изгибающий момент при
действии растягивающей силы (P
= 51,27 кН) снизился на 7,2 %,
а нормальные напряжения увеличились
на 2 %. Заметим, что при решении данной
задачи выражения для усилий и перемещений
содержали параметр
в знаменателе. Для раскрытия
неопределенности использовалась команда
вычисления предела
.
5. Кручение тонкостенного стержня открытого профиля
Система дифференциальных уравнений кручения тонкостенного стержня открытого профиля имеет следующий вид:
|
(5.1) |
,
,
,
,
где
‑
изгибно-крутящий
момент,
‑
относительный угол закручивания,
‑
интенсивность крутящего момента,
‑
бимомент (
),
‑
угол закручивания,
,
‑
крутильная и секториальная жесткости
стержня,
,
‑
модуль сдвига и модуль упругости
материала стержня.
Покажем,
что система четырех дифференциальных
уравнений первого порядка эквивалентна
дифференциальному уравнению четвертого
порядка относительно угла закручивания
[1]. Из 4-го уравнения
,
подставляем в 3-е уравнение, находим
.
Подставляем
во 2-е уравнение, получаем
.
Подставляем
и
в 1-е уравнение системы, получаем
дифференциальное уравнение кручения
стержня в традиционной форме
.
Пример
7.
Неразрезной 3-пролетный тонкостенный
стержень открытого профиля, загруженный
распределенным крутящим моментом
интенсивностью
(рис. 10).
|
|
Рис. 10. Расчетная схема и поперечное сечение
Ниже представлена программа Maple.
Таким образом, для различных расчетных схем продемонстрирован единый подход при создании математической модели и ее решении в системе компьютерной математики Maple.