2. Построение линий влияния усилий в статически неопределимых балках

Рассмотрим алгоритм построения линий влияния усилий в статически неопределимых балках кинематическим способом с помощью системы компьютерной математики Maple.

Кинематический способ в курсе строительной механики используется для построения «моделей» линий влияния, т.е. строится лишь очертание линий влияния (без вычисления ординат) [4]. По эскизам определяются участки балки с положительными и отрицательными ординатами. Далее эти участки балки загружают распределенной нагрузкой и вычисляют максимальное и минимальное значения изучаемого усилия методом сил или методом перемещений.

В программе Maple используется идея кинематического способа, но строится не «модель», а реальная линия влияния. Например, построение линии влияния изгибающего момента выполняется по следующему алгоритму. В заданном сечении балки удаляется связь, препятствующая взаимному повороту торцов (вводится шарнир). Далее, в сечение прикладывается единичная групповая пара сил. Для полученной расчетной схемы балки формируется дифференциальная задача. В результате ее решения определяются усилия , и перемещения , . Ординаты линии влияния изгибающего момента получаются делением ординат эпюры вертикальных прогибов на величину взаимного поворота торцов сечения (обобщенное перемещение, отвечающее групповой силе). Далее аналитические выражения для линии влияния на участках интегрируются и вычисляются площади соответствующих эпюр. После чего величины положительных площадей суммируются и значение суммы умножается на интенсивность распределенной нагрузки. В результате получаем максимальное значение искомого усилия (аналогично вычисляется минимальное значение).

При построении линии влияния поперечной силы в исследуемом сечении балки удаляется связь, препятствующая взаимному смещению торцов (вводятся «качели»). К торцам сечения прикладывается групповая единичная сила. Ординаты линии влияния получаются делением ординат эпюры вертикальных прогибов на величину взаимного смещения торцов сечения (обобщенное перемещение, отвечающее групповой силе).

При построении линии влияния опорной реакции в исследуемом сечении балки удаляется опорная связь. По направлению удаленной связи прикладывается единичная сила. Ординаты линии влияния получаются делением ординат эпюры вертикальных прогибов на величину прогиба под единичной силой.

Пример 4.

2. Балка на упругом основании

Под упругим основанием в инженерной практике обычно принимают различные грунтовые и скальные среды (массивы), на которые опираются фундаменты зданий, гидротехнические сооружения, дорожные и аэродромные покрытия.

Конструкция на упругом основании находится под действием внешних нагрузок и реактивного отпора основания, непрерывно распределенного по длине или площади контакта. Закон изменения реактивного отпора не может быть определен из уравнений равновесия. Он зависит от свойств упругого основания и характеризуется его расчетной схемой или моделью. В инженерной практике наиболее часто используется модель основания Винклера, для которой принимается линейная зависимость между реактивным отпором основания и осадкой его поверхности.

Дифференциальное уравнение изгиба балки на упругом основании Винклера имеет вид

,

где ‑ изгибая жесткость; ‑ реактивный отпор основания; ‑ прогиб балки, принимаемый равным осадке поверхности основания; ‑ ширина площади контакта балки и основания и ‑ коэффициент жесткости основания, называемый в механике грунтов коэффициентом постели.

Коэффициент постели определяется опытным путем и имеет размерность .

При расчете балок на упругом основании в системе Maple вместо дифференциального уравнения четвертого порядка будем использовать систему четырех дифференциальных уравнений первого порядка относительно усилий , и перемещения , .

Пример 5.

Для балки в виде стального прокатного двутавра , свободно расположенной на поверхности упругого основания (рис. 6), определить усилия и перемещения. В расчетах принять: ; ; ; [2].

Рис. 6

Программа Maple.

На рис. 7 показаны эпюры перемещений и усилий.

Рис. 7. Балка на упругом основании