Плоский изгиб
Пример 1. Определить перемещения и внутренние усилия и для статически неопределимой балки (рис. 1) [1].
Рис. 1
Система дифференциальных уравнений плоского изгиба стержня имеет вид
|
(1) |
,
,
,
,
где
‑
поперечная сила ,
‑
изгибающий момент в сечении балки
(внутренние усилия)
,
‑
перемещения: углы поворота сечений и
прогиб;
‑
интенсивность распределенной нагрузки;
‑
изгибная жесткость балки.
Интегрирование системы (1) необходимо проводить с учетом условий закрепления:
|
(2) |
Физическая
сущность граничных условий:
-
на левом конце балки прогиб и угол
поворота сечения в точке жесткого
закрепления равны нулю;
-
на правом конце балки нулю равны прогиб
и изгибающий момент.
Система дифференциальных уравнений (1) в совокупности с граничными условия (2) представляют собой корректно поставленную дифференциальную задачу.
Решение
задачи (1)-(2) в курсе сопротивления
материалов выполняется следующим
образом. Интегрируется первое уравнение
системы (1). В результате интегрирования
получаем выражение для функции
,
содержащие неизвестную константу
интегрирования
.
Далее выражение
подставляется во второе уравнение
системы, которое вновь интегрируется.
В результате получаем выражение для
,
содержащие неизвестные константы
и
.
Аналогично получаем выражение для
,
которое зависит от
,
,
и выражение для
,
зависящее от
,
,
,
.
Константы интегрирования определяются
из решения системы линейных алгебраических
уравнений, полученной при подстановке
искомых функций в граничные условия
(2).
Таким образом, алгоритм решения задачи для магистранта (студента) понятен и можно переходить к решению задачи с помощью программы Maple.
Как уже отмечалось, работа в Maple происходит интерактивно – пользователь вводит команды и видит на экране их выполнение. Квадратная скобка охватывает поле, содержащее команду (после символом “>”) и результат ее выполнения. Символ решетки позволяет дать комментарий к команде. Квалификация пакета обеспечивает выбор подходящих типов переменных и выполнение операций, так что в общем случае не требуется описание переменных.
Ниже представлена программа Maple. Отметим, что если команда заканчивается точкой с запятой, то результат действия команды выводится в поле вывода, а если команда заканчивается символом « двоеточие», то результат не выводится. Содержание команды сопровождается комментарием после символа «решетка».
В
программах, реализующих последующие
примеры, будет использована процедура
Graf_x(
), которая строит эпюры усилий и перемещений
в традиционной форме (положительные
ординаты эпюр откладываются ниже оси
стержня – оси
).
Код процедуры размещается в программе
до первого ее вызова.
Пример 2. Определить перемещения и внутренние усилия для статически определимой балки (рис. 2).
Рис. 2
Ниже
представлена программа Maple
решения задачи.
Далее
в решение подставляются исходные данные
и с помощью процедуры Graf_x(
) строятся эпюры (рис.3)
Рис. 3. Эпюры усилий и перемещений.
Механизмы соединения стержней в балочную систему и опорные устройства описываются с помощью уравнений связей (таблица).
Таблица
Механизмы соединения стержней и опорные устройства |
Уравнения связей |
|
Абсолютно жесткая промежуточная опора:
|
|
Упругая промежуточная опора:
,
|
|
Шарнирное соединение двух стержней:
,
|
|
Соединение двух дисков двумя параллельными стержнями - “качели”:
, |
|
Сосредоточенные сила и пара сил в узле:
, |
,
,
,
,
,
.
,
,
,
,
,
,
Пример 3. Определить перемещения и внутренние усилия для стальной двутаврового сечения I №30 балки (рис. 4) [2].
Рис. 4
Решение задачи выполняется по программе Maple.
На рис. 5 представлены эпюры усилий и перемещений.
Рис. 5. Эпюры усилий и перемещений (пример 3)