Лабораторная работа № 2
ПОДБОР КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ
Выше была описана процедура подбора линейной функции от одной независимой переменной. Но метод наименьших квадратов можно применять при любом количестве независимых переменных и для функции регрессии произвольного вида. Например, предположим, что необходимо подобрать квадратичную функцию y=a0+a1x+a2x2 на основе прежних данных с помощью метода наименьших квадратов. Решение сводится к тому, чтобы найти такие коэффициенты a0, a1, a2, которые бы минимизировали сумму квадратов отклонений
(5)
Начнем с того, что приравняем к нулю частные производные от выражения (5) по a0, a1, a2. Это даст уравнения
(6)
Мы получили систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными a0, a1 и a2. В электронных таблицах не составляет труда найти числовые значения этих коэффициентов. Но сейчас для их вычисления вместо средства Excel Регрессия применим средство Поиск решения. Для этого создадим новый рабочий лист Квадратичная в той же книге Авто.xls.
Ниже приведена последовательность действий, которую необходимо выполнить для определения оптимальных значений параметров a0, a1, a2.
Выберите команду Сервис Поиск решения.
В диалоговом окне Поиск решения сделайте такие установки, как показано на рис. 4. Это установки для модели безусловной нелинейной оптимизации, в которой изменяемые ячейки B2:В4 содержат значения искомых переменных, а в роли целевой функции выступает сумма квадратов ошибок (ячейка F13). Щелкните на кнопке Выполнить.
Рис. 4. Диалоговое окно Поиск решения
После завершения вычислений будет выведено диалоговое окно с сообщением о том, что решение найдено. Щелкните на кнопке ОК.
Получены оптимальные значения параметров a0=-13,586, a1=2,147, a2=-0,0044, для которых сумма квадратов отклонений равна 4954. Замечание. В Excel имеется встроенная функция, которая непосредственно вычисляет сумму квадратов ошибок (тогда не надо вычислять значения в столбцах E и F). Эта функция СУММКВРАЗН (диапазон 1, диапазон 2), записанная в ячейке F15. Функция берет значения из диапазон 2 и вычитает их из значений диапазон 1 (одно за раз), возводит в квадрат полученную разность, а затем суммирует квадраты разностей.
Чтобы построить графики исходных данных и полученную квадратичную функцию с помощью мастера диаграмм, выполните следующие действия.
На рабочем листе Квадратичная выделите диапазон B7:C11 с исходными данными, затем щелкните на кнопке Мастер диаграмм.
В первом диалоговом окне мастера диаграмм выберите точечный тип диаграммы без соединяющих линий.
Во втором диалоговом окне мастера диаграмм щелкните на кнопке Далее, поскольку все установки по умолчанию в этом окне в данном случае нам подходят.
В третьем диалоговом окне введите заголовки для осей X и Y, затем щелкните на кнопке далее.
В последнем диалоговом окне мастера диаграмм установите переключатель отдельном, чтобы разместить диаграмму на отдельном листе; щелкните на кнопке Готово.
На полученной диаграмме щелкните на любой точке ряда данных (выделится весь ряд данных).
Выберите команду ДиаграммаДобавить линию тренда.
В диалоговом окне Линия тренда выберите полиномиальный тип линии степени 2.
Щелкните на кнопке ОК и вы получите график.
Сравнение линейного и квадратного
приближений
В методе наименьших квадратов мы использовали сумму квадратов отклонений как «критерий адекватности» приближения.
Поэтому же критерию можно сравнить линейное и квадратичное приближения. Для этого с помощью рабочего листа Данные, содержащего исходные данные, необходимо вычислить сумму квадратов отклонений для линейной регрессии (используя значения коэффициентов a и b, записанные на листе Результаты).
Сумма квадратов отклонений для квадратичной функции меньше, чем для линейной функции (49545854,7), т. е. квадратичная функция приблизительно на 15 % уменьшает сумму квадратов отклонений. Отсюда можно сделать вывод: как правило, с помощью квадратичной функции можно выполнить более точное приближение, чем с помощью линейной. Следует помнить, что линейная функция является частным случаем квадратичной (когда коэффициент при x2 равен 0), поэтому приближение квадратичной функцией должно быть, по крайней мере, не хуже приближения линейной функцией.