Примеры

Пример 1. Определение плана перевозок.

Компания, занимающаяся добычей железной руды, имеет четыре карьера. Производительность карьеров соответственно 170, 130, 190 и 200 тыс. т ежемесячно. Железная руда направляется на три принадлежащие этой компании обогатительные фабрики, мощности которых соответственно 250, 150 и 270 тыс. т в месяц.

Транспортные затраты (в тыс. руб.) на перевозку 1 тыс. т руды с карьеров на фабрики указаны в следующей таблице:

Определите план перевозок железной руды на обогатительные фабрики, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки.

Вопросы:

1. Сколько руды следует перевозить с карьера 1 на обогатительную фабрику 2?

2. Сколько руды следует перевозить с карьера 4 на обогатительную фабрику 1?

3. Какой объем мощностей по добыче руды окажется неиспользованным?

4. Каковы минимальные совокупные транспортные издержки?

Решение. Транспортная таблица имеет следующий вид:

Ниже приведены результаты расчетов — объемы перевозок и остаток невывезенной руды (в тыс. т):

В следующей таблице до косой черты указаны объемы перевозок, после черты — соответствующие издержки:

Минимальные совокупные издержки составляют 2710 тыс. руб.

Ответы: 1.10 тыс. т. 2. 60 тыс. т.

3. 20 тыс. т. 4. 2710 тыс. руб.

Вопросы

Вопрос 1. Транспортная задача является частным случаем задачи:

1) линейного программирования;

2) регрессионной;

3) статистической;

4) имитационной;

5)о назначениях.

Вопрос 2. Рассматривается открытая транспортная задача, в которой суммарные запасы M поставщиков больше, чем суммарные потребности N потребителей. На сколько увеличится число переменных задачи после приведения ее к замкнутому виду?

Варианты ответов:

2) на N; 2) на М; 3)на N+M; 4) на N  М; 5) останется без изменения.

Вопрос 3. Рассматривается транспортная задача, сформулированная как задача линейного программирования. Объемы перевозок измеряются в тоннах, значение целевой функции — в рублях. В каких единицах измеряется значение коэффициента целевой функции?

Варианты ответов:

1) руб.; 2) руб./т; 3) т/руб.; 4) т; 5) безразмерная величина.

Вопрос 4. Рассматривается открытая транспортная задача, в которой суммарные запасы M поставщиков меньше, чем суммарные потребности N потребителей. На сколько увеличится число переменных задачи после приведения ее к замкнутому виду?

Варианты ответов:

1) на N; 2)на М; 3) на N+M; 4) на N  М; 5) останется без изменения.

Вопрос 5. В открытой транспортной задаче:

1) величина совокупного предложения больше величины совокупного спроса;

2) величина совокупного предложения меньше величины совокупного спроса;

3) величина совокупного предложения равна величине совокупного спроса;

4) величина совокупного предложения не равна величине совокупного спроса;

5) ограничения сформулированы в виде неравенств.

Задачи

Задача 1. Фирма по прокату автомобилей «Золотое кольцо России» собирает заявки на аренду во всех городах центра России. Клиент имеет возможность получить автомобиль в любом удобном для него населенном пункте и оставить его в любом месте, где он заканчивает путешествие, в том числе и в своем родном городе. Работники фирмы забирают оставленные автомобили и перегоняют их для передачи новым клиентам.

Сейчас 4 автомобиля компании оставлены в Клину, 3 — в Ростове Великом, 6—в Ярославле и 1 — в Серпухове.

Имеются заказы на 5 автомобилей во Владимире, на 3 автомобиля в Санкт-Петербурге и на 6 автомобилей в Москве.

Расстояния между городами (в км) приведены в следующей таблице:

Составьте план, по которому следует перегонять автомобили новым клиентам. Ориентируйтесь на минимизацию расстояния, которое пройдут все перегоняемые автомобили.

Вопросы:

1. Чему равно минимальное расстояние, которое должны пройти все автомобили?

2. Сколько автомобилей следует перегнать в Москву из Ярославля?

3. На сколько увеличится минимальное расстояние, которое должны пройти все автомобили, если дополнительно стало известно, что еще один автомобиль оставлен в Серпухове и еще один клиент появился в Москве?

Задача 2. Фирма «Время — вперед» хочет разработать план сборки компьютеров. Прогноз спроса на компьютеры для каждого квартала следующего года показан в таблице:

При работе в одну смену фирма может каждый квартал собирать 1200 компьютеров. Издержки по сборке одного компьютера составляют 10 тыс. руб. Если ввести вторую смену, то ежеквартально можно собирать еще 800 компьютеров. Однако сборка каждого компьютера во вторую смену обходится дороже — 11 тыс. руб. Компьютер может быть произведен в одном квартале, а сбыт — в любом из последующих кварталов. В этом случае хранение каждого компьютера обходится в 500 руб. за квартал.

Составьте план производства, используя модель транспортной задачи.

Вопросы:

1. Сколько компьютеров следует собрать в первом квартале, чтобы удовлетворить спрос с минимальными совокупными затратами?

2. На сколько процентов следует использовать мощности второй смены в первом квартале?

3. Сколько компьютеров следует собрать во втором квартале?

4. Сколько компьютеров следует собрать во втором квартале во вторую смену для сбыта в третьем квартале?

5. Каковы минимальные издержки?

ЗАДАНИЕ 4. ЗАДАЧА О НАЗНАЧЕНИЯХ

В процессе управления производством зачастую возникают задачи назначения исполнителей на различные виды работ, например: подбор кадров и назначение кандидатов на вакантные должности, распределение источников капитальных вложении между различными проектами научно-технического развития, распределение экипажей самолетов между авиалиниями.

Задачу о назначениях можно сформулировать следующим образом. Необходимо выполнить N различных работ. Для их выполнения можно привлечь N рабочих. Каждый рабочий за определенную плату готов выполнить любую работу. Выполнение любой работы следует поручить одному рабочему. Требуется так распределить работы между рабочими, чтобы общие затраты на выполнение всех работ были минимальными.

После того как вы выполните задания, предлагаемые в этой главе, вы будете уметь определять и использовать для экономического анализа:

• задачу о назначениях в стандартной форме;

• открытую задачу о назначениях;

• таблицу задачи о назначениях;

• матрицу назначений;

• эффективность назначений.

Модели

Пусть т — количество работ.

Задача о назначениях в стандартной форме. При рассмотрении задачи о назначениях в стандартной форме предполагается, что количество рабочих равно количеству работ.

Обозначения:

с_ij — показатель эффективности назначения i-го рабочего на j-й работе, например издержки выполнения i-м рабочим j-й работы;

x_ij — переменная модели (х_ij = 1, если i-й рабочий используется на j-й работе, и x_ij = 0 в противном случае).

Модель задачи о назначениях:

Здесь (1) — целевая функция (минимум издержек на выполнение всех работ);

(2) — система ограничений, отражающая следующие условия:

а) каждая работа должна быть выполнена одним рабочим;

б) каждый рабочий может быть привлечен к одной работе;

(3) — условия неотрицательности переменных.

При решении задачи о назначениях исходной информацией является таблица задачи о назначениях с={с_ij}, элементами которой служат показатели эффективности назначений. Для задачи о назначениях, записанной в стандартной форме, количество строк этой таблицы совпадает с количеством столбцов:

Результатом решения задачи о назначениях (1)—(3) является вектор х* = { }, компоненты которого — целые числа.

Оптимальный план задачи о назначениях (1)—(3) можно представить в виде квадратной матрицы назначений, в каждой строке и в каждом столбце которой находится ровно одна единица. Такую матрицу иногда называют матрицей перестановок. Значение целевой функции (1), соответствующее оптимальному плану, называют эффективностью назначений.

Задача о назначениях в открытой форме. Задача о назначениях в открытой форме возникает тогда, когда количество рабочих не равно количеству работ. В этих случаях задача может быть преобразована в задачу, сформулированную в стандартной форме.

Пусть, например, количество рабочих п превышает количество работ т.

Введем дополнительные фиктивные работы с индексами j = w + 1,..., п. Коэффициенты таблицы назначений с_ij , i = 1,..., п; j = т + 1,..., п, положим равными нулю. В этом случае получаем задачу, сформулированную в стандартной форме. Если в оптимальном плане этой задачи = 1 при j = т + 1,..., п, то исполнитель i назначается на выполнение фиктивной работы, т.е. остается без работы. Заметим, что оптимальное значение целевой функции исходной задачи совпадает с оптимальным значением задачи, приведенной к стандартной форме. Поэтому эффективность назначений в результате такого преобразования не меняется.

Следует особо отметить, что задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи, в которой количество пунктов производства совпадает с количеством пунктов потребления, а все величины спроса и величины предложения равны.