2. Открытая транспортная задача.
а)
— излишек продукта
Способ сведения
к замкнутой задаче. Пусть bm+1
— величина избытка продукции, т.е.
- штраф за единицу продукта, не
реализованного в пункте i;
уi —
количество продукта, не реализованного
в пункте i.
Замкнутая транспортная задача имеет вид
б)
— дефицит продукта.
Способ сведения
к замкнутой задаче. Пусть аn+1
— величина дефицита продукции, т.е.
- штраф за единицу продукта, недопоставленного
в пункт j; уj
— количество продукта, недопоставленного
в пункту.
Замкнутая транспортная задача имеет вид
3. Транспортная задача с запретами. Пусть Е — множество пар индексов (ij), таких, что из пункта i в пункт j допускается транспортировка продукта. Между любыми другими двумя пунктами транспортировка не допускается.
Пусть М— большое число, например
Тогда
В оптимальном
плане {
} транспортной задачи
при ограничениях (2)—(4) xij
= 0, если (i,j)
Е.
4. Транспортная задача с фиксированными перевозками. Если объем перевозок между пунктами i и j задан, то в задаче (1)—(4) вводится дополнительное ограничение: xij = vij, где vij — заданный объем перевозок.
5. Транспортная задача с ограничениями на пропускную способность. Если объем перевозок из пункта i в пункт j ограничен величиной wij, то в задаче (1)—(4) вводится дополнительное ограничение: xij wij.
6. Транспортная задача с фиксированными доплатами. Предположим, что в открытой транспортной задаче имеет место дефицит продукта и для его устранения в пунктах i = п + 1, ..., k возможно создание новых мощностей di.
Пусть переменные zi = 1, если в пункте i (i = п + 1, ..., k) вводятся мощности di и zi = 0, если в пункте i мощности не вводятся. Издержки на ввод мощностей d, в пункте i (i = n + 1, ..., k) составляют иi.
С учетом возможности создания новых мощностей транспортная задача может быть записана в следующем виде:
Здесь (5) — целевая функция (минимум затрат на транспортировку и ввод мощностей);
(6) — ограничения по величине предложения в каждом существующем пункте производства;
(7) — ограничения по величине предложения в каждом новом пункте производства;
(8) — ограничения по величине спроса в каждом пункте потребления;
(9) — условия неотрицательности объемов перевозок.
Помимо непрерывных переменных xij в модель включены булевы переменные zi,. Задача (5)—(9) является задачей линейного программирования со «смешанными» переменными.
Все приведенные модели описывают транспортную задачу в виде задачи линейного программирования. В такой форме она может быть решена стандартными средствами линейного программирования, например симплекс-методом.
Для решения транспортной задачи могут быть использованы также и менее трудоемкие (по объему вычислений) алгоритмы, например метод потенциалов.
Большинство специальных алгоритмов решения транспортной задачи использует исходную информацию в форме транспортной таблицы:
Оптимальный план перевозок имеет вид:
