3.4. Элементы квантовой механики

День 14 декабря 1900 года, когда М. Планк сделал доклад на заседании Немецкого физического общества о теоретическом выводе закона электромагнитного излучения: атомы нагретого вещества должны излучать свет порциями (квантами), имеющими размерность действия (Джс) и энергию Е, пропорциональную частоте  излучения: Е = h, где h – постоянная Планка или квант действия, стал датой рождения новой физической науки – квантовой механики – теории, описывающей явления в мире элементарных частиц и состоящих из них систем.

В классической физике Ньютона, Галилея и даже Эйнштейна было одно замечательное свойство – все физические величины можно было не только измерить, но и с любой степенью точности вычислить их последующие изменения во времени. Поведение любой, сколь угодно сложной, системы и движение тел любой массы и размера были в принципе предсказуемы. Квантовая механика предложила принципиально иную систему законов, управляющих миром. Первые изученные квантовой механикой микрообъекты – атомы, электроны и фотоны, категорически не желавшие вести себя как классические, заставили физиков кардинально изменить методы описания природных явлений.

Классическая физика оперировала величинами, которые могли изменяться равномерно и непрерывно, принимая любые сколь угодно близкие значения, а особенность квантового мира состоит в то, что его характеристики могут изменяться лишь дискретным способом, принимая ряд фиксированных значений.

После введения впервые Планком квантовых порций в виде квантов энергии в теории теплового электромагнитного излучения вещества Эйнштейн предположил, что вещество может, не только дискретно (порционно) излучать, но также и поглощать электромагнитные волны в виде квантов, объяснив тем самым явление фотоэффекта.

Под напором экспериментальных фактов (окончательное доказательство – эффект А. Комптона в 1922 г.) ученые были вынуждены ввести представление о свете как о потоке частиц – фотонов, наряду с экспериментальным доказательством Т. Юнга и теоретическим обоснованием Д. Максвелла, что свет одновременно является электромагнитной волной. Попытки объяснить корпускулярно – волновой дуализм света и породили современную квантовую теорию.

К концу  в. уже почти никто не сомневался в реальности атомов, но была непонятна их структура. Классическая планетарная модель атома Резерфорда не решала данную проблему. На пути создания последовательной теории атомных явлений теория Бора и его полуклассическая модель атома считаются переходным этапом, который отчетливо показал неприменимость классической физики к внутриатомным явлениям и главенствующее значение квантовых законов микромира.

После выдвижения де Бройлем гипотезы об универсальности дуализма волна – частица и экспериментального подтверждения наличия у частиц вещества волновых свойств возникли новые проблемы, связанные с необходимостью совмещения волновой природы частиц с привычными представлениями о размещении (локализации) частиц в пространстве.

Принцип неопределенности. Квантовая механика применима к движению микроскопических частиц. Микрочастицами называют элементарные частицы (электроны, протоны, нейтроны, фотоны и другие простые частицы), а также частицы, образованные из сравнительно небольшого числа элементарных частиц (молекулы, атомы, ядра атомов и т. д.).

Один из создателей квантовой механики В. Гейзенберг в 1927 г. доказал, что к объектам микромира неприменимы принципы и представления классической механики. Отличие микрочастицы от привычной для нас макрочастицы заключается в том, что она не обладает одновременно определенными значениями координаты и импульса, вследствие чего понятие траектории применительно к микрочастице утрачивает смысл. Это положение получило название «соотношение неопределенностей».

В привычном для нас мире все тела движутся по определенным траекториям. С атомными частицами гораздо сложнее. Траекторию летящего электрона указать невозможно: он не только частица, но и волна бесконечная в пространстве. Поэтому удается только выяснить, какова вероятность обнаружить электрон в том или ином месте, в частности, определить, где электрон окажется с наибольшей вероятностью. Например, в какое именно отверстие электрон пролетел (рис. 35), сказать тоже нельзя: он может оказаться всюду, и можно считать, что электрон пролетел сквозь все отверстия сразу.

Отсутствие траектории у микрочастиц – одно из проявлений их волнового движения. Для существования траектории необходимо, чтобы частица имела в каждый момент времени определенную координату и определенный импульс. Но именно это и запрещено квантовой механикой: частица не может иметь одновременно и определенное значение координаты х, и определенное значение проекции импульса на ось x. Их неопределенности ∆х и ∆p_x связаны соотношением неопределенностей Гейзенберга: ∆х∆p_x  ħ, где ħ = h/2π.

Наряду с выражениями, связывающими неопределенности координаты и импульса ∆х∆р_х  ħ, можно записать соотношение, связывающее неопределенности энергии состояния и времени нахождения частицы в этом состоянии. Учитывая, что для фотона неопределенности его импульса равны ∆р_х = ∆Е/с, а неопределенности его координаты ∆х = с∆t, имеем:

∆Е∆t  ħ .

Известно, что основное состояние электрона в атоме водорода устойчиво. Настоящая квантовая механика утверждает, что электрон в основном состоянии, образно говоря, «размазан» не по круговой стационарной орбите (траектории), и даже не по поверхности сферы, центр которой – ядро протона, а радиус – боровский радиус r_Б = 0,52910^-10 м^-1, а по всему объему сферы. В реальности размазывания электрона по атому не происходит и, правильнее было бы сказать, что: в любой точке сферы боровского радиуса, а также вблизи нее, есть вероятность обнаружить электрон, суммарная вероятность нахождения которого в атоме равна единице.

Квантовая механика, кардинально изменив картину движения атомных частиц, в целом оправдала планетарную модель атома.

Волновая функция. Если раньше все свойства и события в окружающем нас мире были предсказуемыми, то с появлением квантовой механики они стали вероятностными (случайными).

Для того чтобы рассчитывать явления, квантовые частицы (электроны, протоны, нейтроны и другие элементарные частицы) стали характеризовать не точными значениями координат и импульсов, а некоторой  - функцией (пси - функция) – комплексной волновой функцией, позволяющей описывать свойства микрочастиц и определять вероятности тех или иных событий, происходящих с их участием.

Одной из основ квантовой механики является «принцип суперпозиции (наложения) состояний», утверждающий, что: если возможны квантовые состояния микрочастицы, которым соответствуют волновые функции ₁, ₂, , _n, то существует состояние, описываемое волновой функцией  = (c_i  _i), являющейся линейной комбинацией этих функций, где c_i – произвольные комплексные числа.

Микрочастицы ведут себя как классические только в момент непосредственного измерения их состояния, а в остальное время любой квантовый объект одновременно может находиться почти везде. Такое состояние электрона (например, в случае с отверстиями) когда он находится сразу в нескольких точках пространства и называется суперпозицией квантовых состояний, которое описывается волновой функцией , введенной в 1926 г. Э. Шредингером.

Волны де Бройля – это не упругие и не электромагнитные волны, а волновые функции, имеющие чисто вероятностный смысл.

В 1926 г. М. Борн сформулировал, что: квадрат модуля волновой функции ² пропорционален вероятности нахождения частицы в данной точке пространства.

Уравнение Шредингера. Квантовая механика дает статистическое описание состояния систем микрочастиц, без использования понятия траектории движения и без определения координат как функций времени. В основу квантовой механики положены экспериментальные факты исследования свойств микрочастиц, вероятностные описания явлений, поэтому основное уравнение квантовой механики, полученное Шредингером, не выводится из известных ранее законов. Единственным доказательством его правильности является то, что оно позволяет вычислить значение волновой функции (t, x, y, z) и получить решения, полностью подтверждаемые экспериментами.

Уравнение Шредингера – математическое выражение фундаментальных свойств микрочастиц и микросистем, адекватно отражающее объективно существующие закономерности. Волновые свойства микрочастиц можно объяснить на основе волновой оптики, где каждая волна характеризуется не только интенсивностью  или амплитудой А (причем,   А²), но и фазой . Совокупность действительных величин А и  принято объединять в одно комплексное число – комплексную амплитуду  = Аe . Тогда  = ² = ^ = А², где ^ - функция, комплексно сопряженная с . Так как непосредственно измеряется интенсивность, то для одной волны фаза не проявляется. Амплитуда суммарной волны  равна сумме комплексных амплитуд составляющих ее волн:

 = ₁ + ₂ = А₁e + А₂e .

Интенсивность суммарной волны зависит от разности фаз (₁ - ₂), которая пропорциональна разности хода световых лучей по двум путям:

² =  А₁e + А₂e ² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos(₁ - ₂).

Для интерпретации волновых явлений с корпускулярной точки зрения необходимо перенесение принципа суперпозиции в квантовую механику. Поскольку квантовая механика имеет дело не с интенсивностями, а с вероятностями, следует ввести амплитуду вероятности  = Аe , полагая, что w = С² = С²^   равна вероятности. Здесь С – нормировочный множитель, который подбирается так, чтобы суммарная вероятность обнаружения частицы во всех возможных местах некоторой области равнялась единице. Нормировочный множитель важен только для определения абсолютной вероятности. Относительные вероятности определяются амплитудами вероятности в произвольной нормировке. Амплитуды вероятности, называемые в квантовой механике волновыми функциями, как и оптические амплитуды, удовлетворяют принципу суперпозиции. Однако в квантовой механике отсутствует наглядность представления принципа суперпозиции состояний. Возможность для микрочастицы одновременно пройти n путями позволяет только вероятностная интерпретация. Определение же опытным путем величины вероятности _i² каждого пути в отдельности будет приводить к суммарной вероятности _i², то есть к потере принципа наложения (суперпозиции) вероятностей.

Зависимость от времени волновой функции частицы в силовом поле U(r) описывается временным уравнением Шреденгера:

iћ = - ∆ + U,

где ∆ = ² = + + , U – потенциальная энергия частицы, m – масса частицы, ћ – постоянная Планка.

В состоянии с определенной полной энергией Е (стационарном состоянии) волновая функция имеет вид:

(r, t) = (r) e .

Пространственная часть волновой функции стационарного состояния подчиняется стационарному уравнению Шреденгера:

∆(r) + (E - U)(r) = 0.

Волновая функция свободной частицы (U = 0) в состоянии с определенным импульсом р записывается так:

(r, t) = ^. .

Решения стационарного уравнения Шреденгера, описывающие связанные состояния частицы в потенциальном поле, должны удовлетворять условиям:

1. Функция  и ее первые производные должны быть непрерывными.

2. Функция  должна быть нормированной: = 1.

Эти два условия могут быть удовлетворены только при определенных значениях энергий Е₁, Е₂,  (дискретность энергетических уровней).

3. В одномерном случае каждому значению Е_n соответствует одна функция _n(х), которая обращается в нуль в узлах функции. Если потенциальная энергия является четной функцией U(-x) = U(x), то волновые функции с нечетными номерами (в том числе волновая функция основного состояния) будут четными _2n+1(-x) = _2n+1(x), а с четными номерами – нечетными функциями _2n(-x) = - _2n(x). Среднее значение физической величины g(r), являющейся функцией координат, вычисляется по формуле:

g = ,

где (r) – нормированная волновая функция.

Спин электрона (spin - вращаться). Из решения уравнения Шредингера автоматически получаются дискретные уровни энергии атома, предсказанные Планком. Однако экспериментальное определение уровней энергии атомов показало, что полного совпадения с предсказаниями теории нет. Все уровни, кроме основного, расщеплены на ряд очень близких подуровней.

Объяснить это расхождение теории с опытом удалось только с помощью предположения, сделанного Дж. Уленбеком и С. Гаудсмитом в 1925 году. Они решили, что электрон, как и большинство других элементарных частиц, обладают дополнительной внутренней степенью свободы s, названной спином. Наличие спина у квантовой частицы означает, что в некотором отношении она подобна «маленькому вращающемуся шарику - волчку». Дальнейшие теоретические и экспериментальные исследования свойств электронов показали ошибочность представлений об электроне как о «вращающемся заряженном шарике», эквивалентном круговому току, который индуцирует собственное магнитное поле электрона (магнитный момент). Однако вывод о существовании собственного момента импульса (спина) у электрона и собственного магнитного поля, не связанного с движением электрона по орбите, полностью подтвердились.

Спин – собственный момент количества движения микрочастицы. Спин может принимать только целые и полуцелые значения. Все квантовые частицы делятся на два вида – фермионы и бозоны, в зависимости от их спина (табл. 2).

Фермионами называются частицы, имеющие полуцелое значение спина (s = , ,  ). Для этих частиц справедлив принцип, открытый В. Паули в 1925 г., согласно которому две одинаковые (тождественные ) частицы с полуцелым спином не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии.

Таблица 2

Частица	Масса, кг	Спин	Статистика
Электрон	9,10910-31	1 / 2	Ф
Протон	1,67310-27	1 / 2	Ф
Нейтрон	1,67510-27	1 / 2	Ф
+ - мезон	0,24910-27	0	Б
0 - мезон	0,24010-27	0	Б
- - мезон	0,24910-27	0	Б
Фотон	0	1	Б
Нейтрино	 0	1 / 2	Ф

Бозонами называются частицы с целым спином (s = 0, 1, 2, ). Принцип Паули на них не распространяется: в одном и том же состоянии может находиться любое число бозонов. Самыми известными фермионами являются электроны, а бозонами – фотоны. Особенно резко отличаются друг от друга низшие энергетические уровни у систем бозонов и фермионов. Фермионы располагаются ровно по два на каждом энергетическом уровне один спином вверх, другой спином вниз. А вот бозоны, напротив, могут все вместе расположиться на одном-единственном нижнем уровне. Именно это явление приводит к сверхпроводимости и сверхтекучести.

В атоме движущиеся электроны испытывают силу притяжения ядра. Поскольку ядро в тысячи раз тяжелее электрона, можно принять, что оно неподвижно относительно центра масс атомной системы, и считать, что в любом атоме движутся только электроны.

При движении в атоме водорода электрона вокруг протона сохраняется полная энергия электрона, равная сумме потенциальной и кинетической энергий. Случай положительной полной энергии электрона (Е  0 – свободное состояние) соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра атома и удаляющемуся вновь в бесконечность, а случай отрицательной энергии (Е  0 – связанное состояние) соответствует электрону в пределах атома, в котором электрон движется по эллипсу или окружности. Решение стационарного уравнения Шредингера дает собственные квантующиеся (дискретные) значения энергии электрона в атоме:

Е_n = - , n = 1, 2, 3,  .

Наряду с квантуемостью энергии Е_n электрона в атоме, квантуется (принимает дискретные значения кратные ћ) и величина его момента импульса L, и направление момента L (пространственное квантование вектора момента L, при котором проекции на ось квантования принимают значения кратные ћ).

В классической физике моментом импульса частицы называют векторную величину L = [r, p], а если частица вращается вокруг оси, то это вектор L = , ориентированный вдоль оси вращения и по модулю равный L = mrv.

При движении квантовой частицы (электрона) под действием центральной силы (силы притяжения электрона к ядру атома), момент импульса L микрочастицы не зависит от времени – по всей траектории движения микрочастицы он одинаков.

Для описания пространственного квантования надо выбрать в пространстве направление и с ним совместить ось квантования.

Импульс p электрона меняется, так как на него действует сила притяжения протона. Сила, действующая на частицу, не зависит от направления, все направления в пространстве эквивалентны, и ось квантования можно ориентировать как угодно.

Любая вращающаяся система в квантовой механике может быть охарактеризована одновременно только двумя параметрами момента импульса L – его модулем L и одной из трех проекций, например L_z, на выбранное направление в пространстве (ось квантования), по которому ориентируется одна из осей декартовой системы координат. Примем за ось квантования ось z, где две другие оси – x и y. Проекции вектора момента импульса L на оси прямоугольной системы, произвольно ориентированной в пространстве, равны L_x – проекция L на ось х, L_y – проекция L на ось y, L_z = Lcos  - проекция L на ось z (ось квантования), где угол  - угол между вектором L и осью квантования (рис. 36).

Две другие проекции L_x и L_y не могут быть определены, а значит неопределено и направление вектора L в пространстве, но может быть найдена проекция L_z на ось квантования. В квантовой механике, в отличие от классической, угол  не произволен, он такой, что проекция вектора L на ось квантования принимает только целочисленные значения кратные ћ: -ћl, -ћ (l – 1), -ћ (l – 2), , 0, , ћ (l – 1), ћ l. Здесь l = 0, 1, 2, 3,  и называется орбитальным квантовым числом. Всего вектор L может иметь (2l + 1) проекций на ось квантования. Орбитальное квантовое число l задает модуль вектора момента импульса L, который принимает только дискретный ряд значений, определяемых формулой: L = ћ .

Проекция L_z момента импульса на некоторое избранное в пространстве направление (например, на направление вектора индукции В магнитного поля) также принимает дискретный ряд значений, определяемых уравнением: L_z = mћ, где m = 0, 1, 2, 3, ,  l называется магнитным квантовым числом.

Так как проекция вектора не может быть больше его модуля, то получается, что магнитное квантовое число m не может превышать орбитальное квантовое число l, то есть m  l.

Собственный момент количества движения квантовой частицы (спин) – неизменное, неустранимое свойство микрочастицы, такое же, как ее масса и заряд. А то, что собственный момент не связан с перемещением в пространстве, приводит к тому, что не обязательно l – целое число. Но число проекций на ось квантования, равное (2l + 1), есть целое число. В случае собственного момента l может быть либо целым числом, либо полуцелым. Когда речь идет о спине, вместо буквы l принято использовать букву s. Хотя величина собственного момента (спина) есть ћ , величиной спина микрочастицы считают именно s – спиновое квантовое число, которое называют также магнитным спиновым числом, так как рассматриваются проекции собственного момента количества движения квантовой частицы на магнитную ось квантования.

Состояние электрона в любом атоме определяют четыре числа:

1. Главное квантовое число n = 1, 2, 3,  .

2. Орбитальное квантовое число l  (n - 1).

3. Магнитное квантовое число m = 0, 1, 2, 3, , l.

4. Спиновое квантовое число s = +1 / 2, -1 / 2.

Принцип Паули запрещает электронам иметь четыре совпадающие характеристики. Этот запрет диктует закон, по которому построена электронная оболочка атома.