Построение линии взаимного пересечения поверхностей тел в аксонометрии методом вспомогательного проектирования

А.В. Бесько, В.Н. Проценко

Приведены правила построения линий взаимного пересечения поверхностей для случая использования метода вспомогательного проектирования

Применение метода вспомогательного проектирования будет наиболее рациональным, если одна из заданных поверхностей является цилиндром или конусом. В этом случае направление проектирования либо выбирают параллельно оси цилиндра, либо проектируют обе поверхности на плоскость координат (или другую плоскость) из вершины конуса как из центра проекций.

Рис. 1.

Рассмотрим пример использования метода вспомогательного проектирования в решении задачи на построение линии пересечения цилиндра с трехгранной пирамидой. При этом форма цилиндра может быть какой угодно: цилиндр вращения, эллиптический или общего вида.

Спроектируем цилиндр и пирамиду на плоскость π₁ по направлению образующей цилиндра. Тогда боковая поверхность цилиндра спроецируется в контур его нижнего основания, а вершина пирамиды - в точку s_1.Соединив точку s₁ с точками A, B и C, получим вспомогательную проекцию пирамиды на плоскости π₁.

Точки встречи ребер пирамиды с поверхностью цилиндра проектируются по выбранному направлению на контур нижнего основания цилиндра. Поэтому, отметив точки 1 и 2 пересечения вспомогательной проекции Bs₁ребра BSс эллипсом - проекцией нижнего основания цилиндра, и проведя через них прямые 1-Dи 2-M до пересечения с аксонометрией ребра BS, получим искомые точки DиMпересечения ребра BSс поверхностью цилиндра. Точно так же находятся точки встречи других ребер пирамиды с поверхностью цилиндра.

Линии пересечения граней пирамиды с поверхностью цилиндра представляют собой эллипсы, которые строятся по точкам, определяемым следующим образом: например, чтобы построить промежуточные точкиТи T₁, проведем в грани ABSпрямую 11-S и найдем ее вспомогательную проекцию, соединив точку 11 с точкой s₁, отметив точки 5 и 9 пересечения прямой 11-s₁с эллипсом и проведя через них прямые 5-T и 9-T₁получим в пересечении указанных прямых с аксонометрией прямой 11-S искомые точкиТи Т₁.

Для правильной обводки чертежа необходимо определить точки G и K, принадлежащие очерковой образующей цилиндра. Эти точки находятся так же, как и раньше, с той лишь разницей, что теперь обратным лучом следует считать выбранную очерковую образующую цилиндра.

Пересечение цилиндра с конусом. При решении этой задачи методом вспомогательных секущих плоскостей вспомогательные плоскости следует проводить через вершину конуса параллельно оси цилиндра.

При использовании метода вспомогательного проецирования следует оба тела спроецировать на координатную (или другую удобную) плоскость по направлению оси цилиндра.

На рис. 2 приведен пример решения задачи для общего случая. Построения рис.2 можно толковать как с позиций метода вспомогательного проектирования, так и с позиций метода вспо­могательных секущих плоскостей.

Рис. 2

Спроецируем цилиндр и конус на плоскость H по направлению оси цилиндра. Боковая поверхность цилиндра спроецируется в контур нижнего основания цилиндра. Сюда же будут проецироваться точки встречи образующих конуса с поверхностью цилиндра. Отметив точки пересечения вспомогательных проекций образующих конуса с эллипсом, проведем через них прямые, параллельные аксонометрической проекции оси цилиндра, до пересечения с аксонометрическими проекциями соответствующих образующих конуса в точках, которые и будут точками искомой линии пересечения.

Если рассматривать это решение с позиций метода вспомогательных плоскостей, то прямую Ss₁нужно принять за прямую, проведенную параллельно оси цилиндра через вершину конуса, точку s₁ – за горизонтальный след этой прямой, а вспомогатель­ные проекции образующих конуса – за горизонтальные следы секущих плоскостей, проходящих через вершину конуса и парал­лельных оси цилиндра.

Для того чтобы правильно начертить линию пересечения, необходимо найти точки, принадлежащие очерковым образующим цилиндра и конуса, а также крайние точки кривой. На рис.2 такими характерными точками являются точки A, K,B, D, P, Q, Mи N.

Рис.3

Рассмотрим еще один пример построения линии пересечения цилиндра и конуса. На рис.3 изображены в прямоугольной изометрии цилиндр и конус вращения. Ось цилиндра совпадает с плоскостью Hи параллельна оси ОХ, а ось конуса перпендику­лярна плоскости Hи пересекается с осью цилиндра.

С помощью плоскости Q, проведенной через оси обоих тел, найдем высшие точки кривой Aи А₁. Для того чтобы определить одну из низших точек кривой, проведем плоскость, касательную к поверхности конуса и параллельную оси цилиндра. Горизонтальный след этой плоскости – прямая3 – 3_p. Плоскость касается поверхности конуса по образующей 3 – S и пересекает поверхность цилиндра по образующей NN_p. Прямая 3_p – N_pявляется следом этой секущей плоскости на плоскости основания цилиндра (на рис.3 плоскость основания цилиндра обозначена буквой P).

Промежуточные точки кривой могут быть получены с помощью вспомогательных плоскостей, проходящих через вершину конуса и параллельных оси цилиндра. Следы всех вспомогательных плоскостей на плоскости Рпройдут через точку S_p.

Ряд задач построения линии пересечения поверхностей в аксонометрии могут быть решены рассмотренным выше методом.

Воронежский государственный технический университет

УДК 621.9.047