Разрешение математической модели процессов обмена в ожиженном слое с направленным движением фракций
Аналитическими методами исследованы процессы обмена, модели которых базируются на известных соотношениях баланса масс и теплоты. Построено приближенное решение системы модельных уравнений, описывающих кинетику температур и влагосодержаний дисперсного материала и теплоносителя. Приведены условия корректности используемого приближения
1. В настоящей работе в качестве модельных уравнений, описывающих процессы массо- и теплообмена между дисперсной и непрерывной подсистемами слоя во втором периоде сушки приняты соотношения работы [1]. Вместе с тем, в качестве дополнительных условий мы пренебрегаем теплообменом между стенкой сушильной камеры и псевдоожиженным слоем, а также – между стенкой аппарата и внешней средой. В отличие от работы [1], в которой уравнения модели решаются численными методами, в настоящей работе для разрешения модели применяются аналитические методы. Для уравнения массообмена, сформулированных в виде уравнений для теплоемкостей материала и теплоносителя, получены точные решения. Уравнения, описывающие теплообмен между подсистемами слоя, решаются методом возмущений [2] в предположении малости отношения коэффициента сушки к массовому расходу теплоносителя.
2. Из соотношений баланса масс по влаге для дисперсной и непрерывной фракций слоя вытекают следующие уравнения для теплоемкостей этих подсистем
(1)
где
производная берется по безразмерной
переменной
,
,
-
расход теплоносителя,
и
- массы материала и теплоносителя в
псевдоожиженном слое,
- текущее время,
- время окончания периода с постоянной
скоростью сушки
,
,
,
,
,
(2)
,
,
,
,
где
,
,
,
- удельные теплоемкости сухого материала,
сухого газа, жидкости и пара;
,
- текущие значения влагосодержаний
материала и газа;
-
равновесное влагосодержание материала;
,
-
расходы материала и теплоносителя;
-
суммарная площадь поверхности частиц
материала в слое;
-
газосодержание слоя;
параметр
- играет роль безразмерного коэффициента
сушки.
Пренебрегая тепловым влиянием на слой границ сушильной камеры и газораспределительной решетки, из соотношений теплового баланса для материала и теплоносителя можно получить уравнения для температур дисперсной и газовой подсистем слоя в следующем виде
(3)
где
,
,
,
,
,
(4)
,
,
,
,
,
.
Величины,
введенные в (4), имеют следующий смысл:
- температуры материала и теплоносителя
в слое;
- удельная теплота парообразования;
- коэффициент теплообмена между газом
и материалом. Смысл остальных величин
виден из формул.
Таким образом, соотношения материального и теплового балансов для подсистем слоя совместно с принятыми упрощающими модель условиями приводят к начальным задачам для двух векторно-матричных дифференциальных уравнений, описывающих динамику изменения теплоемкостей и температур подсистем слоя.
3.
Из уравнения и начального условия в (1)
получим выражения для теплоемкостей
подсистем слоя и для параметра
,
определяющего продолжительность периода
поверхностного испарения влаги из
частиц материала. Интегрируя уравнение
(1) для случая различных собственных
чисел матрицы
,
имеем
,
(5)
Из выражений (5) видно, что в случае несовпадающих собственных числах матрицы , процесс приближения теплоемкостей и равновесным значениям определяется двумя временами релаксации
.
(6)
Легко
видеть, что в случае двукратного
собственного числа, процесс массообмена
характеризуется только одним релаксационным
параметром
.
При
отыскании выражения для параметра
воспользуемся методикой, изложенной в
работах [3] и [4]. Воспользуемся с этой
целью выражениями (5) и формулами для
теплоемкостей, полученными из решения
уравнения типа (1) для первого периода
сушки. Приравняв значения теплоемкостей
и производных при
для первого и второго периодов, получим
(7)
(8)
где
,
-
время окончания первого периода сушки
в псевдоожиженном слое при
,
-
влагосодержание материала в момент
начала сушки,
,
-
постоянная скорость сушки в первом
периоде.
При значениях аргумента логарифмической функции в (7) близких к единице, приближенное выражение для продолжительности первого периода сушки имеет вид:
(9)
где
и
- продолжительности первого периода
сушки в случаях слоя с направленным
перемещением материала и без направленного
перемещения материала,
.
Если
отношение массовых расходов материала
и теплоносителя является малой величиной
-
,
то выражение для времени окончания
первого периода принимает вид:
(10)
В предельном случае из выражения (10) получаем формулу для псевдоожиженного слоя без направленного перемещения материала (8), совпадающую с аналогичной формулой работы [3].
4.
Решение температурного уравнения (3)
получим для случая
,
ограничившись главным членом разложения
(11)
.
Выполним разложения по этому параметру матриц и свободного члена в (3). Имеем:
(12)
где
-единичная
матрица,
,
,
,
,
(13)
Подставляя в уравнение (3) разложения (11) и (12), получим следующее уравнение, определяющее первое приближение для температур подсистем слоя:
.
(14)
Из
(13) видно, что матрица
имеет различные и отрицательные
собственные числа
при всех физически допустимых значениях
параметров, где
,
,
.
Поэтому решение уравнения (14) имеет вид:
,
(15)
где
- собственные векторы матрицы
,
-
частное решение уравнения (14),
,
,
,
(16)
,
.
В обозначениях (16) решение (15) принимает вид
,
(17)
где
Выражение
(17) описывает кинетику температур
материала и теплоносителя при малых
величинах безразмерного коэффициента
сушки
Подобное приближение использовалось,
например, в работе [3] для получения
оценочных сведений о теплообмене в
псевдоожиженном слое без направленного
перемещения материала. Отметим, что
пренебрегая в решении членами порядка
,
фактически пренебрегаем влиянием
изменения влагосодержанийматериала и
газа на процесс теплообмена между этими
подсистемами слоя.
Из формул для теплоемкостей (5) видно, что такое приближение является удовлетворительным при выполненном условии
Тепловая релаксация подсистем слоя, протекающая в два этапа, в этом приближении характеризуется следующими временными масштабами
(18)
В
случае псевдоожиженного слоя с достаточно
малым газосодержанием
,
выражения (18) принимает вид:
,
В
этом случае коэффициенты в решении (15)
являются рациональными функциями
аргументов
и
:
(19)
где
,
,
При
больших значениях отношения поверхности
материала к условной термодинамической
поверхности
,
выражения для температур подсистем
слоя слабо зависят от этого отношения
и приближенно описываются формулами
где
Литература
1. Баумштейн И.П., Лыков А.В., Людмирский М.И., Майзель Ю.А. Исследование сушильных установок с помощью математического моделирования // Тепло- и массоперенос в процессе сушки и термообработки: сб. ст. – Минск: Наука и техника, 1970. - с.53-79.
2. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984. - 535 с.
3. Шишацкий Ю.И., Бырбыткин В.А., Лавров С.В. Математическое описание процесса сушки материалов в псевдоожиженном слое // Вестник ВГТУ. – 2006.- Т.2 - №6.- с.56-61.
4. Агапов Ю.Н., Бырдин А.П., Лукьяненко В.И., Стогней В.Г. Термокинетика динамического слоя в начальных стадиях тепловой релаксации // Вестник ВГТУ. – 2007.- Т.3 - №6.- с.27-32.
Воронежский государственный технический университет
УДК 621.91.01
Ю.А. Цеханов