4.1. Цель работы
1.Изучить методику постановки полного факторного эксперимента при решении оптимизационных задач.
2. Выполнить экспериментальные исследования, используя план 32.
4.2. Краткие теоретические сведения
При постановке полного факторного эксперимента функция отклика имеет вид
,
(4.1)
Традиционно сложилось так, что эту задачу решали путем постановки так называемого «пассивного» эксперимента, когда из k независимых переменных в каждой серии опытов (k – 1) факторов фиксируются на некотором постоянном уровне, и затем последовательно изучается зависимость функции отклика только от одной переменной. При этом априори считается, что суммарное влияние изучаемых факторов можно оценить по индивидуальному воздействию каждого из них, в то время как в действительности эффект парных, тройных и более высоких взаимодействий, как правило, бывает иным. Поэтому такой поиск не всегда приводит к желаемому результату и требует постановки большого числа опытов.
В современной теории математического планирования экспериментов разработано несколько эффективных и достаточно хорошо отработанных на практике методов поиска функции отклика. Их общая сущность состоит в том, что вначале выбирается вид функции, с помощью которой можно описать исследуемый процесс, затем применительно к заданному виду функции отклика составляется план эксперимента и выполняются соответствующие опыты. Полиномиальную функцию часто ограничивают только ее линейной частью. Это обычно возможно на первой стадии исследования, когда требуется при минимальном числе опытов определить лишь область, близкую к оптимуму. Для выявления же самого оптимума следует использовать полином как минимум второго порядка, отражающий выпуклость или вогнутость функции отклика, что и является необходимым условием поиска ее экстремума.
Современный подход к поиску функции нескольких переменных сводится к постановке активного эксперимента, когда он выполняется по определенному плану (алгоритму) и предусматривает вполне определенное расположение экспериментальных точек в изучаемом факторном пространстве. Использование методов планирования многофакторных экспериментов позволяет при минимальном числе опытов получить математическую модель, описывающую изучаемый процесс, найти оптимальные условия его протекания. Желательно, чтобы вид математической модели был бы по возможности простым и чтобы модель была бы адекватной, то есть способной предсказывать значения результатов эксперимента. Практика показывает, что эти требованиям удовлетворяет математическая модель, имеющая вид полинома, ограниченного второй степенью (полинома второго порядка).
Если k = 2, то уравнение регрессии в виде полинома второй степени можно записать так:
,
(4.2)
где
- значение
функции отклика, предсказываемое
уравнением регрессии;
- оценка свободного
члена;
b1, b2 - оценки коэффициентов линейных членов;
b12, b11, b22 - оценки коэффициентов взаимодействий.
Основой математического планирования является полный факторный эксперимент (ПФЭ), в котором реализуются всевозможные неповторяющиеся комбинации уровней факторов, расположенных в вершинах некой геометрической фигуры (при числе факторов k = 2 – это квадрат, при
k = 3 – куб, при k > 3 – гиперкуб). При этом реальные (натуральные) значения изучаемых факторов кодируются таким образом, что крайнее нижнее значение было представлено как «-1», а крайнее верхнее «+1», соответственно, среднее значение записывается как «0». Для аппроксимации только линейной части полинома эксперименты достаточно поставить только в крайних точках, задавая каждому фактору лишь два значения, то есть «±1». Для аппроксимации же полинома второго порядка для каждого фактора опыты должны быть поставлены как минимум в трех точках факторного пространства, что, естественно, увеличивает число планируемых опытов.
При постановке полного факторного эксперимента, когда k = 2, план эксперимента имеет вид (табл. 4.1).
Для того чтобы рассчитать оценки коэффициентов уравнения регрессии, план ПФЭ расширяют до так называемой матрицы планирования, которая представляет собой таблицу (табл.4.2), составленную путем добавления к плану «фиктивной» переменной x0, всегда равной «+1», эффектов взаимодействия, то есть для данного случая произведения x1. x2.
Матрица планирования для ПФЭ 32 будет выглядеть следующим образом (табл. 4.3).
Табл. 4.2 и 4.3 завершает столбец, в который вносятся средние значения отклика, а результаты испытаний образцов из цементного камня заносятся в рабочую тетрадь.
Таблица 4.1
План ПФЭ 22 (k = 2)
Номер опыта |
План эксперимента |
|
Факторы в кодированном виде |
||
x1 |
x2 |
|
1 |
-1 |
-1 |
2 |
-1 |
+1 |
3 |
+1 |
+1 |
4 |
+1 |
-1 |
Таблица 4.2
Матрица планирования ПФЭ 22 (k = 2)
Номер опыта |
x0 |
План эксперимента |
x1 x2 |
Отклик
|
|
x1 |
x2 |
||||
1 2 3 4 |
+1 +1 +1 +1 |
-1 -1 +1 +1 |
-1 +1 +1 -1 |
+1 -1 +1 -1 |
|
Таблица 4.3
Матрица планирования ПФЭ 32 (k = 2)
Номер опыта |
x0 |
План эксперимента |
x1 x2 |
Отклик |
|
x1 |
x2 |
||||
1 |
+1 |
-1 |
-1 |
+1 |
|
2 |
+1 |
-1 |
+1 |
-1 |
|
3 |
+1 |
+1 |
+1 |
+1 |
|
Окончание табл. 4.3
Номер опыта |
x0 |
План эксперимента |
x1 x2 |
Отклик |
|||
x1 |
x2 |
||||||
4 |
+1 |
+1 |
-1 |
-1 |
|
||
5 |
+1 |
0 |
+1 |
0 |
|
||
6 |
+1 |
+1 |
0 |
0 |
|
||
7 |
+1 |
-1 |
0 |
0 |
|
||
8 |
+1 |
0 |
-1 |
0 |
|
||
9 |
+1 |
0 |
0 |
0 |
|
||
