Решение

Согласно гипотезе де Бройля длина волны , соответствую- щая частице массой m, движу- щейся со скоростью V, выражается формулой

= h/ mV . (1)

При дифракции на узкой щели ширина центрального дифракционного максимума равна расстоянию между дифракци- онными минимумами первого порядка. Дифракциионные мини- мумы при дифракции на одной щели наблюдаются при условии

b sin= k  , (2)

где k = 1,2,3… - порядковый номер минимумов.

Для минимумов первого порядка (k=1), угол заведомо мал, поэтому sin =  , и, следовательно, формула (2) примет вид

b  =  , (3)

ширина центрального максимума

x= 2L tg  = 2L  . (4)

Выражая  из (4) и подставляя его в (3), получаем

 = b x/ 2L. (5)

Искомую скорость электронов найдем из соотношения (1) с учетом формулы (5):

V= h/m = 2 h L/ m b x. (6)

После вычисления по формуле (6) получим V= 10⁶ м/с.

Пример 2. Используя соотношения неопределенностей xp_xh/2, найти выражение, позволяющее оценить минималь- ную энергию E электрона, находящегося в одномерном потенци- альном ящике шириной l.

Решение

Из данного соотношения следует, что, чем точнее определя- ется положение частицы, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Неопределенность координаты электрона x=l/2. Тогда соотношение неопределен- ностей можно записать в виде

l /2  p  h/ 2,

откуда p  h/  l.

Физически разумная неопределенность импульса p, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса, т.е. p  p.

Энергия E электрона, находящегося в одномерном потенци- альном ящике, есть его кинетическая энергия T, величину кото- рой можно связать с импульсом соотношением

T= p² / 2m .

Заменив p на p, получим

E_min= (h²/2 ²)/(m l²).

Пример 3. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной L. Вычислить вероятность обнаружения электрона на первом энергетическом уровне в интервале L/4, равноудаленном от стенок ямы.

Решение

Вероятность P обнаружить частицу в интервале x₁<x<x₂ определяется равенством

(1)

где (x) – нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию.

Нормированная собственная волновая функция, описы- вающая состояние электрона в потенциальной яме, имеет вид

_n(x)= (2/L)^½ sin(n x/L).

Невозбужденному состоянию (n=1) отвечает волновая функция

₁(x)= (2/L)^½ sin( x/L). (2)

Подставив ₁(x) в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные за знак интеграла, получим

(3) Согласно условию задачи x₁=3L/8 и x₂=5L/8. Произведя замену sin²( x/L) = 1 /2 [1 – cos(2 x/L)] , получим

Пример 4. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3d – состоянии. Определить изменение механи- ческого и магнитного моментов, обусловленных орбитальным движением электрона, при переходе атома в основное состояние.