3 Примеры заданий
3.1. Проанализировать зависимость полной вероятности ошибки Pош при обнаружении цели от значений априорных вероятностей наличия Pс и отсутствия Pо этой цели, если:
а) Рпо = 0,99 и Рлт = 0,01;
б) Рпо = 0,9 и Рлт = 0,01;
в) Рпо = 0,99 и Рлт = 0,1.
3.2. Радиостанция ведет передачу информации в течение 10 мксек. Работа ее происходит при наличии хаотической импульсной помехи, среднее число импульсов которой в одну секунду составляет 104. Для срыва передачи достаточно попадания одного импульса помехи в период работы станции. Считая, что число импульсов помехи, попадающих в данный интервал времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность срыва передачи информации.
3.3. Пояснить физически смысл ситуации, соответствующей обнаружению сигнала с полностью известными параметрами. Каково практическое значение анализа ситуации?
3.4. Случайная величина ξ принимает только целые неотрицательные значения с вероятностями
(a
> 0). (Распределение Паскаля.)
Найти математическое ожидание и дисперсию ξ.
3.5. Оценить требуемое увеличение отношения сигнал/шум при переходеаружения полностью известного сигнала к обнаружению сигнала с неизвестной фазой и флуктуирующей амплитудой. Принять Рпо = 0,9 и 0,99; Рлт = 10-4 и 10-8.
4 Методические рекомендации и ответы
К заданию 3.1. Ответ.
а) полная вероятность ошибки остается постоянной, равной Рпо = 0,01, независимо от априорных сведений о цели;
б) Рп = 1 – Рпо >> Рлт, поэтому определяющей является вероятность пропуска:
P(C) |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1 |
P(O) |
1 |
0,8 |
0,6 |
0,4 |
0,2 |
0 |
Рош |
0,01 |
0,028 |
0,046 |
0,064 |
0,089 |
0,1 |
в) Рлт >> Рп, определяющей является вероятность ложной тревоги:
P(C) |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1 |
P(O) |
1 |
0,8 |
0,6 |
0,4 |
0,2 |
0 |
Рош |
0,1 |
0,082 |
0,064 |
0,046 |
0,028 |
0,1 |
К заданию 3.2. Указание. Воспользуйтесь распределением Пуассона (3.9). Вероятность срыва передачи P(ξ > 0) = 1 – P(ξ = 0). Ответ: P(ξ > 0) = 0,09516.
К заданию 3.3. Указание. Прием сигналов с заранее полностью известными параметрами мог бы быть возможен, если координаты цели точно известны, цель неподвижна, известны ее характеристики отражения ( т.е. известны амплитуда, и фаза отраженного сигнала), распространение радиоволн происходит в пустоте, подобная цель может появляться в определенной точке пространства и исчезать. Задача сводится к принятию решения о том, имеется ли цель в данный момент. Это чисто умозрительная ситуация, которая не может иметь места в действительности. Однако ее анализ позволит оценить наилучшие (потенциальные) характеристики обнаружения, что является весьма важным для практики.
К заданию 3.4. Указание.
;
рассмотрим тождество:
;
Диференцирем его по x, полагая x = a, и, домножая почленно на a, найдем: Mξ = a; Dξ = a (a + 1).
К заданию 3.5. Ответ.
Рпо |
0,9 |
0,99 |
Рлт |
10-4 |
10-8 |
q0 (полностью известный сигнал) |
30 |
68 |
q (сигнал с известными параметрами) |
170 |
3500 |
q/ q0 |
5,65 |
51,5 |
Априорное незнание параметров сигнала (особенно амплитуды) приводит к резкому увеличению требуемого отношения сигнал/шум; это увеличение наиболее заметно при большой вероятности Рпо и малой Рлт.