Практическое занятие № 6

Основные методы обработки сигналов

в радиоэлектронных комплексах

1 Цель занятия

Определение основных демаскирующих признаков сигналов радиоэлектронных комплексов. Изучение основ спектрального и корреляционного анализа.

2 Теоретические сведения

В современных радиоэлектронных комплексах выбор сигналов диктуется прежде всего не техническими удобствами их генерирования, преобразования и приема, а возможностью оптимального решения задач, предусмотренных при проектировании системы. Для того чтобы понять, как возникает потребность в сигналах со специально выбранными свойствами, рассмотрим следующий пример.

2.1. Сравнение сигналов, сдвинутых во времени. Автокорреляционная функция сигнала

Обратимся к упрощенной идее работы импульсного радиолокатора, предназначенного для измерения дальности до цели. Здесь информация об объекте измерения заложена в величине τ – задержке по времени между зондирующим и принятым сигналами. Формы зондирующего u(t) и принятого и(t – τ) сигналов одинаковы при любых задержках.

Система (рис. 6.1) состоит из набора элементов, осуществляющих задержку «эталонного» передаваемого сигнала на некоторые фиксированные отрезки времени τ₁, τ₂, …, τ_N. Задержанные сигналы вместе с принятым подаются на устройства сравнения, действующие в соответствии с принципом: сигнал на выходе появляется лишь при условии, что оба входных колебания являются «копиями» друг друга. Зная номер канала, в котором происходит указанное событие, можно измерить задержку, а значит, и дальность до цели.

Подобное устройство будет работать тем точнее, чем в большей степени разнятся друг от друга сигнал и его «копия», смещенная во времени. (Если отличие невелико, то можно ожидать, например, неоднозначного отсчета, когда сигналы будут появ­ляться одновре­менно на выходе нескольких соседних устройств сравнения.)

Рис. 6.1. Устройство для измерения времени задержки сигналов

Таким образом, мы получили качественное «представление о том, какие сигналы можно считать «хорошими» для данного применения.

Автокорреляционная функция сигнала

Для количественного определения степени отличия сигнала u(t) и его смещенной во времени копии и(t – τ) принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала u(t), равную скалярному произ­ведению сигнала и копии:

. (6.1)

В дальнейшем будем предполагать, что исследуемый сигнал имеет локализованный во времени импульсный ха­рактер, так что интеграл вида (6.1) заведомо существует.

Некоторые свойства автокорреляционной функции

1. Из (6.1) видно, что при τ = 0 автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала:

B_u(0) = E_u.

2. АКФ – четная функция:

B_u(τ) = B_u(–τ). (6.2)

Действительно, если в интеграле (6.1) сделать замену переменных х = t – τ, то

.

3. При любом значении временного сдвига τ модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:

|B_u(τ)| ≤ B_u(0) = E_u.

Итак, АКФ представляется симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала u(t) автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающий, так и колеблющийся характер.

АКФ неограниченно протяженного сигнала

В этом случае подход к изучению корреляционных свойств сигналов должен быть видоизменен. Будем считать, что неограниченно протяженная во времени периодическая последовательность получается из некоторого локализованного во времени (импульсного) сигнала, длительность которого τ_u стремится к бесконечности. Для того чтобы избежать расходимости получаемых выражений, определим АКФ как среднее значение скалярного произведения сигнала и его копии:

.

АКФ дискретного сигнала

П

Рис. 6.2. Трехпозтцтонный сложный сигнал. а) амплитудное кодирование; б) фазовое кодирование

ачка одинаковых прямоугольных видеоимпульсов – простейший представитель класса сложных сигналов, построенных в соответствии со следующим принципом. Весь интервал времени существования сигнала разделен на целое число М > 1 равных промежутков, называемых позициями. На каждой из позиций сигнал может находиться в одном из двух состояний, которым отвечают числа +1 и –1.

Рис. 6.2 поясняет некоторые способы формирования многопозиционного сложного сигнала. Для определенности здесь М = 3. Видно, что физический облик дискретного сигнала может быть различным. В случае а) символу +1 соответствует положительное значение V₀ высоты видеоимпульса, передаваемого на соответствующей позиции; символу –1 отвечает отрицательное значение –V₀. Говорят, что при этом реализовано амплитудное кодирование сложного сигнала. В случае б) происходит фазовое кодирование. Для передачи символа +1 на соответствующей позиции генерируется отрезок гармонического сигнала с нулевой начальной фазой. Чтобы отобразить символ –1, используется отрезок синусоиды такой же длительности и с той же частотой, но его фаза получает дополнительный сдвиг на 180°.

Несмотря на различие графиков этих двух сигналов, между ними можно установить полное тождество с точки зрения их математических моделей. Действительно, модель любого такого сигнала – это последовательность чисел {u₁, u₂, …, u_M–1, u_M}, в которой каждый символ, принимает одно из двух возможных значений ±1. Для удобства договоримся в дальнейшем дополнять такую последовательность нулями на «пустых» позициях, где сигнал не определен. При этом, например, развернутая форма записи дискретного сигнала {1 1, –1, 1} будет иметь вид …0 0 0 1 1 –1 1 0 0 …

Важнейшая операция при обработке дискретных сигналов состоит в сдвиге такого сигнала на некоторое число позиций относительно исходного положения без изменения его формы. В качестве примера ниже представлен некоторый исходный сигнал (первая строка) и его копии (последующие строки), сдвинутые на 1, 2 и 3 позиции в сторону запаздывания:

… 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 …

… 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 …

… 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 …

… 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 …

Из формулы (6.1)можно получить дискретный аналог АКФ применительно к многопозиционным сигналам:

.

B_u(n) – функция целочисленного аргумента и, естественно, обладает многими уже известнымн свойствами обычной автокорреляционной функции. Так, легко видеть, что дискретная АКФ четна.

B_u(n) = B_u(–n).

При нулевом сдвиге эта АКФ определяет энергию дискретного сигнала:

.

2.2.Энергетический спектр

Фундаментальная характеристика системы двух вещественных сигналов u(t) и v(t) – их скалярное произведение:

,

пропорциональное взаимной энергии этих сигналов. Если сигналы тождественно совпадают, то скалярное произведение становится равным энергии.

Скалярное произведение сигналов u(t) и v(t) можно выразить через их спектральные плотности U(ω) и V(ω) с помощью обобщенной формулы Рэлея:

. (6.3)

В равной мере справедливо равенство

,

поскольку скалярное произведение вещественных сигналов является вещественным числом.

Назовем взаимным энергетическим спектром вещественных сигналов u(t) и v(t) функцию

W_uv(ω) = U(ω)V*(ω), (6.4)

такую, что

. (6.5)

причем W_uv(ω) = W*_uv(ω).

При этом, вклад в интеграл (6.5) дает только вещественная часть, т.е. можно записать:

. (6.6)

Эта формула дает возможность проанализировать «тонкую структуру» взаимосвязи сигналов.

2.3. Связь между энергетическим спектром сигнала и его автокорреляционной функцией

В соответствии с формулой (6.1) АКФ есть скалярное произведение: B_u(τ) = (u, u_τ). Здесь символом u_τ обозначена смещенная во времени копия сигнала и(t – τ).

Используя обобщенную формулу Рэлея (6.3), можно записать равенство:

.

Спектральная плотность смещенного во времени сигнала

U_τ (ω) = U (ω) ехр (–jωτ), откуда .

Таким образом, приходим к результату

. (6.7)

Квадрат модуля спектральной плотности, как известно, представляет собой энергетический спектр сигнала. Т.е., энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны преобразованием Фурье:

.

Ясно, что имеется и. обратное соотношение:

. (6.8)

Эти результаты принципиально важны по двум причинам. Во-первых, оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже основной лепесток автокорреляционной функции и тем совершеннее сигнал с точки зрения возможности точного измерения момента его начала. Во-вторых, формулы (6.7) и (6.8) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра.

2.4.Взаимокорреляционная функция

В ряде теоретических и прикладных разделов радиотехники бывает удобным ввести особую характеристику совокупности двух сигналов – их взаимокорреляционную функцию (ВКФ), которая описывает как различие в форме сигналов, так и их взаимное расположение на оси времени.

Обобщая формулу (6.1), назовем взаимокорреляционной функцией двух вещественных сигналов u(t) и v(t) скалярное произведение вида

. (6.9)

Некоторые свойства взаимокорреляционной функции

1. B_uv(τ) = B_vu(–τ). В отличие от АКФ одиночного сигнала (6.2), ВКФ, описывающая свойства системы двух неодинаковых сигналов, не является четной функцией аргумента: B_uv(τ) ≠ B_uv(–τ).

2. Если рассматриваемые сигналы имеют конечные энергии, то их ВКФ ограничена: |B_uv(τ)| ≤ || u || · || v ||.

Связь между ВКФ и взаимной спектральной плотностью

ВКФ и взаимный спектр двух сигналов связаны парой преобразований Фурье:

, (6.10)

. (6.11)

ВКФ дискретных сигналов

По аналогии с (6.9)

, (6.12)

где n – целое число, положительное, отрицательное или нуль.