4 Методические рекомендации и ответы

К заданию 3.3. Ответ.

К заданию 3.4. Указание.

Математическое ожидание дискретной случайной величины , где a_i – возможные значения случайной величины ξ, p_i – их вероятности. Дисперсия случайной величины ξ: Dξ = M(ξ – Mξ)² = M(ξ²) – (Mξ)².

Ответ. M_μ = 3,368; M_μ2 = 25,033; D_μ = 13,69; P(μ ≥ 4) = 0,641.

К заданию 3.5. Указание и ответ. Пусть T – время прохождения приемником диапазона (f₁, f₂). Тогда искомая вероятность равна отношению заштрихованной площади к площади прямоугольника ABCD (рис. 4), т.е.

5 Домашнее задание

5 .1. Найти вероятность пеленга (засечки) передатчика в условиях задачи 3.6, если известна частота сигнала, а антенна пеленгатора равномерно вращается и угол раствора диаграммы направленности антенны β = 18º.

Ответ. p = 18º/360º = 0,05.

5.2. Точка засечки источника сигнала появляется в эллипсе . Найти вероятность того, что она окажется внутри эллипса , |k| < 1, считая, что вероятность появления точки в области пропорциональна ее площади.

Ответ. p = k².

5.3. По цифровому каналу передается текст. В силу наличия помех вероятность ошибочного приема любой цифры не изменяется в течение всего приема и равна 0,01. Считая приемы отдельных цифр независимыми событиями, найти а) вероятность того, что в тексте, содержащем 1100 цифр, будет равно 7 ошибок; б) вероятность того, что число неверно принятых цифр будет меньше 20.

Ответ. а) 0,08; б) 0,9953.

5.4. Найти вероятность обнаружения сигнала в условиях задачи 3.6, если сигнал не является импульсным, а имеет конечную длительность τ_с (считая, что регистрация сигнала приемником происходит мгновенно).

Ответ. (рис. 7.2).

Практическое занятие № 8

Показатели и критерии оценки эффективности защиты информации от утечки по техническим каналам

1 Цель занятия

Количественная оценка эффективности защиты информации от утечки по техническим каналам ИТКС.

2 Теоретические сведения

В качестве общего показателя для оценки эффективности защиты информации от утечки по различным техническим каналам наиболее часто используется вероятность обнаружения сигнала Р₀ соответствующим средством разведки.

Вероятность обнаружения сигнала характеризует возможность средства разведки за определенный временной интервал наблюдения при фиксированной (допустимой) вероятности ложного обнаружения (ложной тревоги Р_лт) осуществлять выделение сигнала на фоне шума, действующего на входе приемного устройства, без определения параметров сигнала. Числовое значение этого показателя при его сопоставлении с нормативным уровнем позволяет оценить степень опасности средств разведки в конкретной разведывательной ситуации и исключить из дальнейшего рассмотрения неопасные средства разведки.

Если сигнал действительно имеется на входе приемника, то решение о его наличии называется правильным обнаружением; вероятность этого решения равна Р_по. При наличии сигнала может быть принято ошибочное решение о его отсутствии (сигнал замаскирован шумом); такое решение называется пропуском сигнала и характеризуется вероятностью Р_п. В силу того, что оба названные события образуют полную группу несовме­стимых событий, справедливо равенство

Р_по + Р_п = 1. (8.1)

Если сигнала нет на входе приемника, то решение о его отсутствии называют правильным необнаружением; ему соответствует вероятность Р_пн. Ошибочное решение о наличии сигнала в этом случае называется ложной тревогой; оно характеризуется вероятностью Р_лт. Оба указанных события также составляют полную группу:

Р_пн + Р_лт = 1. (8.2)

Если Р(С) и Р(О) априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала на входе приемника, то полные вероятности Р_пр правильного решения и ошибки Р_ош при обнаружении равны

Р_пр = P(С) Р_по + P(О) Р_пн,

Р_ош = P(C) Р_п + P(О) Р_лт.

Сумма полных вероятностей равна единице:

Р_пр + Р_ош = 1.

Из четырех условных вероятностей, характеризующих всю совокупность возможных событий, в силу равенств (8.1) и (8.2) независимыми являются только две; обычно в качестве независимых используют вероятности – Р_по правильного обнаружения и Р_лт ложной тревоги.

Примем следующие допущения.

Процесс на выходе тракта регистрации средства разведки является случайным и подчиняется нормальному закону распределения.

Амплитудно-частотная характеристика тракта регистрации имеет П-образную форму:

, (8.3)

где k – чувствительность тракта приемника. Учитываются только внутренние шумы приемника. Ширина спектра сигнала ΔF_с согласована с шириной полосы пропускания приемника средства разведки ΔF, т.е.

ΔF_с = ΔF_пр

Время усреднения (анализа) процесса Т_а не превышает среднего интервала между ложными тревогами Т_лт, т.е.

T ≤ T_лт.

Значимость ошибок первого и второго рода (ложной тревоги и пропуска сигнала) одинакова, то есть возможный ущерб при пропуске сигнала соизмерим с неоправданными расходами при ложной тревоге. При данных допущениях вероятности правильного обнаружения сигнала с неизвестными параметрами Р₀ и ложной тревоги Р_лт можно рассчитать по формулам:

, (8.4)

где – математическое ожидание процесса на выходе тракта регистрации в ситуации θ = 1 (аддитивная смесь сигнала и шума);

– дисперсия процесса на выходе тракта регистрации в ситуации θ = 1 (аддитивная смесь сигнала и шума);

– математическое ожидание процесса на выходе тракта регистрации в ситуации θ = 0 (только шум);

– дисперсия процесса на выходе тракта регистрации в ситуации θ = 0 (только шум); Т_а – время усреднения (анализа), с; ΔF_np – ширина полосы тракта регистрации (приемника), Гц; П – порог обнаружения;

; (8.5)

q – отношение сигнал/шум на выходе тракта приемника;

Т_лт – средний интервал между ложными тревогами, с.

Принимая во внимание, что

, (8.5)

получаем формулу для вероятности правильного обнаружения:

, (8.6)

где Φ^-1(х) – функция, обратная Φ(х). Задаваясь вероятностью ложной тревоги Р_лт, можно рассчитать средний интервал между ложными тревогами Т_лт [1, 7]:

. (8.7)

Учитывая условия ΔF_пр×T_а ≥ 10 и T_а < T_лт можно сделать вывод, что величина ΔF_пр×T_а является величиной ограниченной. Снизу ее ограничивает условие применимости нормального распределения к случайному процессу на выходе тракта регистрации средства разведки, а сверху – условие отсутствия ложных тревог в течение времени анализа процесса.

При ΔF_с×T_а = 10 и P_лт = 10³ формула (5) примет вид:

, (8.8)

Выбор порогового значения вероятности правильного обнаружения сигнала целесообразно осуществлять с точки зрения минимизации вероятности полной ошибки Р_ош, которая рассчитывается по формуле:

P_ош = Р* × (1 – P_о) + (1 – Р*) × P_лт, (8.9)

где Р* – априорная вероятность наличия сигнала на входе приемного устройства;

Р₀ – вероятность правильного обнаружения сигнала;

Р_лт — вероятность ложной тревоги.

Для случая наибольшей неопределенности (Р* = 0,5) формула (8.9) примет вид:

P_ош = 0,5 × (1 – P_о + P_лт), (8.10)

Анализ формулы (8.10) показывает, что значения вероятностей полной ошибки Р_ош значительно превышают значения вероятностей правильного обнаружения сигнала Р₀ (Р_ош >> Р₀) при Р₀ < 0,05, становятся соизмеримы с ними (Р_ош = Р₀) при Р₀ = 0,33 (1 + Р_лт) и становятся значительно меньше их (Р_ош << Р₀) – при Р₀ > 0,83 (1 + Р_лт). Случай, когда вероятность ошибки соизмерима с вероятностью правильного обнаружения сигнала, является случаем наибольшей неопределенности при принятии решения о наличии или отсутствии сигнала. Поэтому в качестве порогового значения при решении задачи обнаружения сигнала целесообразно принять значение вероятности правильного обнаружения Р_о = 0,3.

(5)

Задача технической защиты информации	Критерий эффективности защиты
Полное скрытие информационных сигналов, которые возникают при обработке информации или ведении переговоров (скрытие факта обработки конфиденциальной информации на объекте)	Р0 < 0,3
Скрытие параметров информационных сигналов, которые возникают при обработке информации или ведении переговоров, по которым возможно восстановление конфиденциальной информации (скрытие информации, обрабатываемой на объекте)	Р0 < 0,8

Рассмотрение чисто гипотетической ситуации – обнаружение сигнала с полностью известными параметрами – позволяет оценить теоретический предел улучшения характеристик обнаружения. При обнаружении указанного сигнала неизвестным является сам факт наличия или отсутствия сигнала на данном отрезке времени. При обнаружении одиночного сигнала с полностью известными параметрами характеристики обнаружения могут быть построены с помощью формул:

, (8.11)

, (8.12)

где Φ(x) – функция Лапласа (8.5);

q – отношение сигнал/шум на выходе тракта приемника, q = 2E_с/N₀;

E_с – полная энергия сигнала длительностью τ_с, выделяемая на сопротивлении 1 Ом: ;

N₀ – спектральная плотность мощности шума, N₀ = k_ш k T₀;

k_ш – коэффициент шума приемника;

k – постоянная Больцмана, равная 1,38×10^-23 Вт·с/град.

Значения порогового уровня β могут изменяться от – ∞ до + ∞. Минимум полной вероятности ошибки решения имеет место при вполне определенном значении порогового уровня, равном

β_опт = ln P(O) / P(C) + E_с / N₀. (8.13)

Характеристики обнаружения могут быть оценены и с помощью приближенной формулы:

. (8.14)

Погрешность вычислений по этой формуле не превышает 15% для Р_лт ≤ 0,1 и Р_по ≥ 0,9; если Р_по → 1, а Р_лт → 0, то погрешность вычислений стремится к нулю.

При приеме одиночного сигнала со случайной начальной фазой простейшая схема оптимального приемника включает: фильтр, согласованный с принимаемым сигналом, амплитудный детектор и пороговое устройство. Характеристики обнаружения сигнала с неизвестной начальной фазой описываются приближенной формулой [42]:

. (8.15)

Погрешность вычислений по этой формуле не превышает 15% для Р_лт ≤ 0,1 и Р_по ≥ 0,9.

При заданных значениях вероятностей Р_по и Р_лт для обнаружения сигнала с неизвестной начальной фазой требуется большее значение отношения сигнал-шум, чем для обнаружения сигнала с полностью известными параметрами. Это различие мало при большой вероятности правильного обнаружения и малой вероятности ложной тревоги. Но при уменьшении Р_по и увеличении Р_лт различие требуемых значений величины q может стать весьма существенным.