6. Лабораторные работы
Неде- ля семе- стра
|
Наименование лабораторной работы |
Объ- ем ча- сов |
В том числе в интерактивной форме (ИФ) |
Виды контроля |
|
3 семестр |
18 |
18 |
|
||
1-5 |
Решение задач уравнений математической физики |
6 |
6 |
отчет |
|
7 |
Решение задач теории вероятности |
2 |
2 |
отчет |
|
9 |
Решение задач математической статистики |
2 |
2 |
отчет |
|
11-17 |
Решение задач вариационного исчисления |
8 |
8 |
отчет |
|
7. Темы, выносимые на самостоятельное изучение тема №1 операционное исчисление и задачи тау, тоэ.
Литература: [1], [4].
Пример
. В контуре,
состоящем из последовательно соединенных
катушки индуктивности
,
конденсатора емкости
и резистора сопротивления
в момент времени
включается Э.Д.С.
(рис. 1). В этот момент ток в контуре и
заряд конденсатора равны нулю. Найти
законы изменения напряжения на
конденсаторе
и тока в цепи
.
Рис. 1
Решение. Поскольку элементы цепи соединены последовательно, то из закона Кирхгофа имеем равенство
(1)
где соответствующие напряжения выражаются через ток в цепи по формулам:
,
(2) (2)
(3)
(4)
(5)
В
силу (2),(3) и (5) имеем
,
и поэтому из (1) получаем дифференциальное
уравнение
(6)
с начальными условиями
(7)
Рассмотрим
случай постоянной Э.Д.С.
.
Совершая преобразование Лапласа с
учетом (7) получим:
В
нашей задаче от дифференциального
уравнения (6) перейдем к операторному
уравнению
,
откуда находим изображение напряжения
на конденсаторе:
(8)
В квадратном трехчлене выделим полный квадрат:
где
.
Раскладывая дробь в (8) на сумму простейших
дробей, получим
(9)
Далее рассмотрим различные возможные случаи.
а)
Если
(сверхпроводимость), то
и выражение (9) примет вид
Переходя от изображения к оригиналу,
получим искомое напряжение:
Отсюда в силу (5) находим ток в контуре:
Таким образом, при имеют место гармонические колебания тока в контуре и напряжения
б)
Если сопротивление мало (
),
то
и
можно считать действительным положительным
числом. В этом случае в формуле (9)
выражение в скобках имеет следующий
оригинал
Получаем искомое напряжение на конденсаторе:
Отсюда в силу (5) находим ток в контуре:
В
этом случае имеют место затухающие
колебания тока в контуре и напряжения
на конденсаторе, причем напряжение на
конденсаторе стремится к
,
а ток к нулю.
в)
Если
,
то
и выражение (9) примет вид
переходя от изображения к оригиналу,
получим искомое напряжение:
Отсюда в силу (5) находим ток в контуре:
В этом случае колебания в контуре отсутствуют, напряжение на конденсаторе стремится к , а ток в цепи стремится к нулю.
г)
Если сопротивление велико (
),
то
.
Обозначим
,
где
можно считать действительным
положительным числом. В этом случае в формуле (9) выражение в скобках имеет следующий оригинал
Получаем искомое напряжение на конденсаторе:
Отсюда в силу (5) находим ток в контуре:
В
этом случае колебания в контуре
отсутствуют, напряжение на конденсаторе
стремится к
,
а ток в цепи стремится к нулю, так как
.
Замечание. Операционный метод используется и при решении интегро-дифференциальных уравнений. В нашей задаче можно вначале находить ток , для которого в силу уравнений (1) (4) имеем
(10)
Если
,
то с учетом начальных условий (7) и
свойства интегрирования оригинала
получим
Производим преобразование Лапласа уравнения (10):
Отсюда получаем
(11)
где
Далее рассмотрим различные возможные
случаи.
а)
Если
(сверхпроводимость), то
и выражение (11) примет вид
Переходя от изображения к оригиналу,
получим искомый ток:
Таким образом, при имеют место гармонические колебания тока в контуре.
б)
Если сопротивление мало (
),
то
и
можно считать действительным положительным
числом. В этом случае
.
В
этом случае имеют место затухающие
колебания тока в контуре, так как
в)
Если
,
то
,
и выражение (11) примет вид
.
Переходя от изображения к оригиналу,
получим искомое значение тока:
В этом случае колебания в контуре отсутствуют, ток в цепи стремится к нулю, так как
г)
Если сопротивление велико
,
то
.
Обозначаем , где можно считать действительным положительным числом. В этом случае выражение (11) имеет следующий оригинал
В этом случае колебания в контуре отсутствуют, ток в цепи стремится к нулю, так как .
Форма отчетности: устный опрос