Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 415

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

411.64 Кб

Скачать

☆

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Воронежский государственный технический университет»

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

116-2018

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

для организации самостоятельной работы по дисциплине «Высшая математика» для студентов направления

20.03.01 «Техносферная безопасность» (профили «Защита в чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности в техносфере», «Защита окружающей среды»)

очной формы обучения

Воронеж 2018

УДК 517.219(07) ББК 22.1я7

Составитель канд. физ.-мат. наук И. Н. Пантелеев

Функции			нескольких			переменных: методические
указания		для	организации			самостоятельной			работы		по
дисциплине «Высшая математика» для студентов направления
20.03.01	«Техносферная			безопасность» (профили				«Защита		в
чрезвычайных ситуациях», «Безопасность жизнедеятельности
в техносфере», «Защита окружающей среды») очной формы
обучения	/	ФГБОУ ВО			«Воронежский государственный
технический		университет»;			сост.	И. Н. Пантелеев. Воронеж:
Изд-во ВГТУ, 2018. 42 с.
В	методических				указаниях		приведен		теоретический
материал, необходимый для выполнения заданий и решения
типовых примеров.
Предназначены в качестве руководства для организации
самостоятельной			работы			по	дисциплине«Высшая
математика» по разделу «Функции нескольких переменных»
для студентов 20.03.01				«Техносферная			безопасность» во			2
семестре.
Методические			указания подготовлены					в	электронном
виде и содержатся в файле Vmfmm_FNP _18.pdf.
Библиогр.: 7 назв.							УДК 517.219(07)

							ББК 22.1я7

Рецензент − Г. Е. Шунин, канд. физ.-мат. наук, проф. кафедры высшей математики и физико-математического

моделирования ВГТУ

Издается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета

Примеры решения типовых задач

Частные производные

Постановка задачи. Найти частные производные до

второго порядка включительно функции z = f(x1,x2,…,xn).
План решения.
1.	Чтобы	найти	частную	производную		функции
z = f(x1,x2,…,xn)		по переменнойхк,		фиксируем	остальные
переменные и		дифференцируем f		как функцию		одной
переменной хk.		производные	высших	порядков	вычисляются
2.	Частные

аналогично последовательным дифференцированием, т.е.

¶f

¶x 2

¶x

ç ¶x

÷,

¶f

¶x2 ¶x1

¶x

÷,

¶x1 è

2 ø

¶f

¶x ¶x

= ¶x

¶x

÷,

¶f

¶x

2 è

2 ø

Замечание.				Частные			производные можно обозначать
¢	,	¢	, …,	¢¢	,	¢¢	¢¢	и т. д.
также z x1		z x 2		z xn		z x1x1	, z x1x 2

Пример. Найти частные производные до второго порядка включительно функции z = xy (x > 0).

Решение.

1. Для того чтобы найти частную производную хпо, фиксируем у и дифференцируем функцию z = xy как функцию одной переменной х. Используя формулу для производной степенной функции (хα)' = αхα-1, получим

z ¢x = yx y -1 .

Для того чтобы найти частную производную поу, фиксируем х и дифференцируем функцию z = xy как функцию одной переменной у. Используя формулу для производной показательной функции (аu ) = аu ln а (а > 0), получим

z ¢y = x y ln x.

2. Частную производную второго порядка z ¢xx¢ вычисляем,

дифференцируя z ¢x по х (при фиксированном у), т. е.

¢¢

y -1

= y( y -1)x

y -2

z xx = ( yx

) x

Частную производную второго порядка

¢¢

вычисляем,

z xy

дифференцируя z ¢x

по у (при фиксированном х), т. е.

¢¢

= ( yx

y -1

= x

y -1

+ yx

y -1

ln x.

z xy

) y

Частную производную второго порядка

¢¢

вычисляем,

z yx

дифференцируя z ¢y

по х (при фиксированном у), т. е.

¢¢

y -1

y 1

= yx

ln x + x .

z yx =

(x ln x) x

¢¢

Частную производную второго порядка

вычисляем,

z yy

дифференцируя z ¢y

по у (при фиксированном х), т. е.

¢¢

= x ln x.

z yy

= (x ln x) y

= yx

y -1

¢¢

y -1

Ответ.

= x

ln x ,

= x

+ yx ln x ,

z x

z y

z xy

= z yx

¢¢

y -1

= y( y

-1)x

y -2

¢¢

z xx = ( yx

) x

z yy = x

Условия задач. Найти частные производные до второго

порядка включительно заданных функций.

z = e xy .

z = xli(x / y).

z = sin( xy).

z = e x cos y.

z = x 2 + y 2 .

z = ln( x 2

+ y).

7. z = 2xy + y 2 .

z = ln 3 xy.

z = x cos y + y sin x.

10.

z = (1 + x) 2 (1 + y) 4 .

Градиент

Постановка задачи. Найти градиент функции u = f(x,y,z)

в точке M(x0,,y0,,z0).

План решения. Градиент функции f(x,y,z) – это вектор,

r r r

координаты которого в базисеi , j , k являются частными производными функции f(x,y,z), т. е.

¶f

ì¶f

¶f

¶f ü

grad f =

i +

j +

k = í

ý .

¶x

¶y

¶z

¶x

¶y ¶z þ

1. Находим частные производные функции f(x,y,z)

¶f	,	¶f	,	¶f	.

¶x		¶y		¶z

2. Вычисляем частные производные функцииf(x,y,z) в

точке M(x0,,y0,,z0).

3. Вычисляем градиент функцииu = f(x,y,z) в точке

M(x0,,y0,,z0):

grad f

M = {f x¢(x0 , y0 , z 0 ),

f y¢(x0 , y0 , z 0 ),

f z¢(x0 , y0 , z 0 )}.

Записываем ответ.

Пример. Найти градиент функции u = x 2

- arctg( y + z) в

точке М (2,1,1).

Решение.

1. Находим частные производные функции

u = x 2 - arctg( y + z) :

¶f

= 2x,

¶f

= -

¶f

= -

+ ( y + z)2

¶x

¶y

¶z

2. Вычисляем частные производные функции

u = x 2

- arctg( y + z) в точке М (2,1,1):

f x¢(2, 1, 1) = 4,

f y¢(2, 1, 1) = -

f z¢(2, 1, 1) = -

u = x 2

Вычисляем

градиент

функции

- arctg( y + z) в

точке

М (2,1,1):

1 ü

grad f

(2,1,1) = {f x¢(2, 1, 1),

f y¢(2, 1, 1),

f z¢(2, 1, 1)}=

í4,-

ý.

Ответ. grad

5 þ

(2,1,1) =

í4,-

ý.

	Условия задач. Найти градиент функции u = f (x, y, z) в
точке М.
1.	u = x + ln( z 2 + y 2 ),				M (2, 1, 1).
2.	u = x 2 y -	xy + z 2 ,			M (1, 5, - 2).
3.	u = sin( x + 2 y) + 2			xyz , M (p / 2, 3p / 2, 3).
4.	u = x 3 +	y 2	+ z 2 ,		M (1, 1, 0).
5.	u = xy +	9 - z 2 ,			M (1, 1, 0).
6.	u = ln(3 - x 2 ) + xy 2 z,				M (1, 3, 2).
7.	u = x 2 y 2 z - ln( z -1),				M (1, 1, 2).
8.	u = ln( x 2 + y 2 ),			M (1, -1, 2).
9.	u = xy - x / z,		M (-4, 3, -1).
10.	u = ln( x +	z 2 + y 2 ),			M (1, - 3, 4).

Производная по направлению

Постановка задачи. Найти производную функции u(x,y,z) в точке А(x1, y1, z1) по направлению к точке В(x2, y2,z2).

План решения.

1. Если функция u(x,y,z) дифференцируема в точке

А(x1,y1,z1), то в этой точке существует ее производная

по любому направлению l , определяемая формулой

¶u

= (grad u

A , l0 ),

(1)

¶l

где

grad u = ì¶u

¶u

¶y

¶z

î¶x

. В данном случае

2. Находим координаты вектора l

l = A B = {x2 - x1 , y2 - y1 , z 2 - z1 }.

3. Находим единичный вектор (орт) l0 :

r	r		{x2 - x1 , y2	- y1 , z 2	- z1	}
	l
l0 =	r	=	(x2 - x1 ) 2 + ( y2			.

	l			- y1 ) 2 + (z 2 - z1 ) 2

4. Вычисляем частные производные и градиент функции u(x,y,z) в точке А(x1 , y1 , z1):

grad u A = {u¢x (x1 , y1 , z1 ), u¢y (x1 , y1 , z1 ), u ¢z (x1 , y1 , z1 )}.

5. Вычисляем скалярное произведение в формуле(1),

получаем ответ.
Пример.	Найти	производную

u = x 2 - arctg( y + z) в точке А(2, 1, 1) по направлению к точке В(2, 4, -3).

Решение.

1.Так как функция u = x 2 - arctg( y + z) дифференцируема

вточке А(2,1,1), то в этой точке существует ее производная по

любому направлению l , которая определяется формулой (1).

. В данном случае

2. Находим координаты вектора l

= {0, 3, - 4}.

l =

3. Находим единичный вектор (орт) l0 :

{0, 3, - 4}

4 ü

l0 =

0 2 + 32 + (-4) 2

= í0,

, -

ý.

î 5

5 þ

4. Вычисляем частные производные функции u = x 2 - arctg( y + z) в точке А(2, 1, 1):

	¶u	(2,1,1)	= 2x		(2,1,1)		= 4,			¶u			(2,1,1)	= -					1				(2,1,1)	= -	1	,
	¶u		= 2x				= 4,			¶u				= -					1					= -	1	,
	¶x										¶y						1+ ( y + z) 2							5
	¶x			¶u							¶y						1+ ( y + z) 2							5
						(2,1,1)		= -				1					(2,1,1)		= -		1	.
												1									1
				¶z
										1+ ( y + z) 2										5
Тогда										1+ ( y + z) 2						1			1	5
Тогда
						grad u						ì								ü
												ì								ü
									(2,1,1)			= í4,			-			, -		ý.
									(2,1,1)			= í4,			-	5		, -	5	ý.
												î				5			5	þ

5. Подставляя полученные значения в формулу(1) и вычисляя скалярное произведение, получим

¶u

1 ö

1 ö æ

4 ö

(2,1,1)

= (grad u

(2,1,1)

, l

) = 4 ×0 + ç

+ ç

×ç

¶l

Ответ.

¶u

(2,1,1)

¶l

Условия задач. Найти производную функцииu(x,y,z) в

точке А по направлению к точке В.

u = x + ln( z 2

- y 2 ),

A(2, 1, 1),

B(0, 2, 0).

u = x 2 y -

xy + z 2 ,

A(1, 5, - 2),

B(1, 7, - 4).

u = sin( x + 2 y) + 2

xyz ,

æ p

, 3

æ p

+ 3, 3

Aç

÷,

Bç

÷.

u = x 3 +

y 2

+ z 2 ,

A(1, 1, 0),

B(1, 2, -1).

u =

xy +

9 - z 2 ,

A(1, 1, 0),

B(3, 3, -1).

u = ln(3 - x 2 ) + xy 2 z,

A(1, 3, 2),

B(0, 5, 0).

u = x 2 y 2 z - ln( z -1),

A(1, 1, 2),

B(6, - 5, 2

5 + 2).

u = ln( x 2

+ y 2 ),

A(1, -1, 2),

B(2, - 2, 3).

u = ln( x +

z 2 + y 2 ),

A(1, - 3, 4),

B(-1, - 4, 5).

10. u = xy -

A(-4, 3, -1),

B(1, 4, - 2).

Производные сложной функции

Постановка

задачи.

Найти

производные z ¢x

z ¢y

функции z = z(u,u),

где u = u(x, y) и u = u(x, y).

План решения. Поскольку z является сложной функцией

двух

переменных х

у,

то

ее

производныеz ¢x

z ¢y

вычисляются по формулам

¶z

¶u

¶z

¶u

(2)

¶x

¶u ¶x

¶u

¶x

¶z

¶u

¶z

¶u

(3)

¶y

¶u ¶y

¶u

¶y

1. Вычисляем частные производные

¶z

¶u

¶u ¶x

¶y

¶x

¶y

2.Подставляем полученные результаты в формулы(2) и

(3)и записываем ответ.

Замечание. Формулы (2) и (3) можно обобщить на функции любого числа переменных. Например, если дана

функция

f (u,u, w) ,

где

u = u(x, y, t),

u = u(x, y, t)

w = w(x, y, t),

то

ее

частные

, f

производныеf , f

вычисляются по формулам

¶f

¶u

¶f

¶u

¶f

¶w

¶x ¶u ¶x ¶u ¶x ¶w ¶x

¶f

¶u

¶f

¶u

¶f

¶w

¶y ¶u ¶y ¶u ¶y ¶w ¶y

¶f

¶u

¶f

¶u

¶f

¶w

¶t

¶u ¶t

¶w ¶t

Пример. Найти производные z ¢x и z ¢y

функции z = u / u ,

где u = x y

и u =

xy .

Решение.

1. Вычисляем частные производные

¶z

= -

¶u

u 2

¶u = yx y -1 ,

¶u = x y ln x, ¶u =

y ,

¶u =

x .

¶x

¶y

¶x

2 x

¶y

2 y

2. Подставляя полученные результаты в формулы (8) и (9), получаем

¶z = 1 × yx y -1 - u

y , ¶z = 1 × x y ln x - u

x .

¶x u

u 2

2 x

¶y u

u 2

2 y

Ответ.

¶z = 1 × yx y -1 - u ×

¶z = 1 × yx y ln x - u

x ,

¶x u

u 2

2 x

¶y u

u 2

2 y

где u = x y , u =

xy.

Условия

задач. Найти

производные z ¢x

z ¢y

функции

z = z(u,u) , где u = u(x, y)

и u =u(x, y).

z = u 2 +u 2 ,

u = x + y, u = x - y.

z = ln(u 2

+u 2 ),

u = xy,

u = x / y.

z = uu ,

u = sin x,

u = cos y.

z = u 2 + 2u 3 , u = x 2 - y 2 , u = e xy .

z = arctg(u / u),

u = x sin y,

u = x cos y.

z = ln(u -u 2 ),

u = x 2

+ y 2 ,

u = y.

z = u 3 +u 2 ,

u = ln

x 2 + y 2 , u = arctg ( y / x).

z = uu ,

u = ln( x 2

+ y 2 ),

u = xy 2 .

z = euu , u = ln x, u = ln y.

10.

z = ln(u / u),

u = sin( x / y),

u =

x / y.

Производная неявной функции

Постановка

задачи.

Найти

производную

функции

y = y(x) , заданной неявно уравнением

F (x, y) = 0.

(4)

План решения. Если при каждом фиксированномх, принадлежащем некоторой областиD, уравнение (4) имеет единственное решение у, принадлежащее некоторой области

1 / 51 2 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022410.1 Кб8Учебное пособие 410.pdf
#
30.04.2022410.73 Кб2Учебное пособие 411.pdf
#
30.04.2022410.82 Кб4Учебное пособие 412.pdf
#
30.04.2022410.97 Кб2Учебное пособие 413.pdf
#
30.04.2022411.12 Кб2Учебное пособие 414.pdf
#
30.04.2022411.64 Кб5Учебное пособие 415.pdf
#
30.04.2022411.99 Кб2Учебное пособие 416.pdf
#
30.04.2022412.42 Кб2Учебное пособие 417.pdf
#
30.04.2022412.65 Кб3Учебное пособие 418.pdf
#
30.04.2022413.62 Кб3Учебное пособие 419.pdf
#
30.04.2022243.4 Кб2Учебное пособие 42.pdf