Учебное пособие 415

Вариант 15

2.Вычислить приближенно 3,034+1,985+15.

3.Найти частные производные и полный дифференциал

функции z = sin x - y3 + x . y

4. Вычислить значение производной сложной функции

u = x , где x = et, y = 2 - e2t при t = 0, с точностью до двух y

знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2 - 2y2 + z2 - 4x + 2z + 2 = 0, в

данной точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = e–(x+3y) sin(x + 3y) указанному уравнению

x2 ¶2u + 2xy ¶2u + y 2 ¶2u = 0 .

¶x2 ¶x¶y ¶y 2

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 4y2 - z2 + 3z + 4xy - xz = 9, M0(1,-2,1); б) S: x2 - 4y2 + z2 - 4 = 0, M0(-2,1,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции

z = 5x2 - 3x – y - 1 в т. M0(1,-1) в направлении, идущем от т. N(2,2) к т. M0.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 2xy - 2x2 - 4y2.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 - 2xy - y2 + 4x + 1 в области D: y = 0, x + y + 1 = 0, x = -3.

31

y

2.Вычислить приближенно 2,01 ∙ 1,03 / ((2,01)4+(2,97)2).

3.Найти частные производные и полный дифференциал

функции z = arcos(x - 2y2),

4. Вычислить значение производной сложной функции

знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x + y + z + 2 = xyz, в данной точке M0 (2,-1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

y

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функцияu = xe x

указанному уравнению x2 ¶2u + 2xy ¶2u + y 2 ¶2u = 0 .

¶x2 ¶x¶y ¶y 2

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к

заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = x2 + y2 - 3xy – x + y + 2, M0(2,1,0); б) S: x2 + y2 – z - 6 = 0, M0(2,1,-1).

8. Определить градиент и производную заданной функции

x2 + y2 + 2x = 0 в сторону возрастания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию z = x y –x2 –y + 6x +3.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 3x2 + 3y2 – x – y + 1 в области D: x = 5, y = 0, x - y - 1 = 0.

32

двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2 - 2xz = 2, в данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функцияu = arctg y x

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к

заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: 2x2 - y2 + 2z2 + xz + xy = 3, M0(1,2,1,); б) S: x2 + y2 - 4z2 = 4, M0(2,-1,1).

8. Определить градиент и производную заданной функции

z = arctg(xy) в т. M0(-1,4) в направлении линии y = -x + 3 в

сторону убывания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 2xy - 5x2 - 3y2 + 2.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 2x2 +2xy - 0,5y2 - 4x в области D: y = 2x, y = 2, x = 0.

33

2.Вычислить приближенно tg46°∙ sin29°.

3.Найти частные производные и полный дифференциал

y

двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y) , заданной неявно: ez – xyz – x + 1 = 0, в данной точке M0 (2,1,0) с точностью до двух знаков после запятой

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x+e –y)

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к

заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 - y2 + z2 - 4x + 2y = 14, M0(3,1,-4); б) S: x2 + y2 = 5z, M0(1,3,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции

z = x2 + y2 в т. M0(-6,8) в направлении линииy = (2/9)x2 в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = xy(12 - x - y).

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 + 2,5y2 - 2xy - 2x в области D: y = 0, y = 2, x = 0, x = 2.

34

двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y), заданной неявно: x3 + 2y3 + z3 - 3xyz - 2y - 15 = 0, в

данной точке M0 (1,-1,2) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = ln(x2 - y2)

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к

заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 + y2 - z2 + xz + 4y = 4, M0(1,1,2); б) S: x2 + 5y2 + z2 = 10, M0(1,-1,2).

9.Исследовать на экстремум функцию z = xy - x2 - y2 + 9.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy - 3x - 2y в области D: y = 0, y = 4, x = 0, x = 4.

35

2.Вычислить приближенно 2,03/((2,03)4+(2,97)2).

3.Найти частные производные и полный дифференциал

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к

заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 - y2 - z2 + xz - 4x = -5, M0(-2,1,0); б) S: x2 - y2 + z2 = 30, M0(3,2,5).

9.Исследовать на экстремум функцию z = 2xy - 3x2 - 2y2 + 10.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 + xy - 2 в области D: y = 4x2 - 4, y = 0.

36

(x + y)

2.Вычислить приближенно 3,09e 0,09.

3.Найти частные производные и полный дифференциал

функции z = arcsin(2x - y3) + x.

4. Вычислить значение производной сложной функции

u = x2 + y + 3 , где x = ln t, y = t2 при t = 1, с точностью до

двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2 = y – z + 3, в данной

точке M0 (1,2,0) с точностью до двух знаков после запятой. 6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к

заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

8. По какому направлению должна двигаться .тМ(x,y,z) при

9.Исследовать на экстремум функцию z = x3 + 8y3- 6xy +1.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 y (4 - x - y) в области D: y = 6 - x, y = 0, x = 0.

37

2.Вычислить приближенно 4/((1,03)2+(2,97)2).

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = x2 y sin x - 3y .

4.Вычислить значение производной сложной функции

до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2 + 2xy - 4x – yz - 3y - z =

0, в данной точке M0 (1,-1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

y3

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функцияu =

x

указанному уравнению x 2 ¶2u - y 2 ¶2u = 0 .

¶x 2 ¶y 2

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к

заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 + 2y2 + z2 - 4xz = 8, M0(0,2,0); б) S: 2x2 - y + 2z2 = 0, M0(1,10,2).

8. В направлении какой линии: xy = 4 или x = y в т. М0(2,2) функция z = x3 + y3 - 3xy изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?

9.Исследовать на экстремум функцию z = y x - y2 - x + 6y

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x3 - y3-3xy в области D: x = 0, x = 2, y = -1, y = 2.

38

Вариант 23

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций: а) z = x 2 - y2 – x; б) z = arcsin(1- x2 - y2)+

+ arcsin2xy.

2.Вычислить приближенно arсtg(0,96/1,05).

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(xy) - 3xy2.

точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2 - y2 - z2 + 2x - 4y + 6z + 12 = 0, в

данной точке M0 (0,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к

заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 - y2 - 2z2 - 2y = 0, M0(-1,-1,1);

б) S: x2 + y2 + 2z2 = 10, M0(-1,1,2).

8.В направлении какой линииy2 = 4x или x2 + y2 = 5 в т. М0(1,2) функция z = x3 + y3 изменяется скорее в сторону возрастания аргумента x?

9.Исследовать на экстремум функцию z=x2 - xy+y2+9x-6y+20.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 4(x - y) - x2 - y2 в области D: 2y + x = 4, x - 2y = 4.

39

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 + y2 - 3z2 + xy = -2z, M0(1,0,1); б) S: y2 - 4y + z = 0, M0(1,-2,-12).

8. В направлении какой линии: x2 + y2 = 8 или y = -x в т.

сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = xy(6 - x - y).

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 - y2 + 2xy - 4x в области D: y = x+1, y = 0, x = 3.

40