Учебное пособие 415

а) S: 2x2 - y2 + z2 - 4x + y = 13, M0(2,1,-1);

б) S: 25y2 - 4x2 - 4z2 - 5 = 0, M0(1,1,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = xey в т. M0(1,4) в направлении линииxy = 4 в сторону убывания аргумента x.

9. Исследовать на экстремум функцию

z = x3 + y2 - 6xy - 39x + 18y + 20.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 + 2xy - y2 - 4x в области D: x – y + 1 = 0, y = 0, x = 3.

21

2.Вычислить приближенно (2,05)2/((2,05)2+(3,01)2).

3.Найти частные производные и полный дифференциал

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 + y2 + z2 - 6y + 4z + 4 = 0, M0(2,1,-1);

б) S: x2 + z2 - 5y2 = 0, M0(-1,1,3).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = x2 + y2 +xy в т. M0(3,1) в направлении линии 4x-3y-9 = 0

в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 2x3 + 2y3 - 6xy + 5.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 + y2 - 2x - 2y + 8 в области D: y + x-1 = 0, y = 0, x = 0.

22

2.Вычислить приближенно 0,97 1,05.

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = arcsin(2x3y).

4. Вычислить значение производной сложной функции u = x y, где x = et , y = ln t при t = 1, с точностью до двух знаков после запятой.

5.Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y), заданной неявно: cos2 x + cos2y + cos2z = 1,5 в

после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = sin2(x-ay)

указанному уравнению a 2 ¶2u = ¶2u .

¶x 2 ¶y 2

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 + z2 - 5yz + 3y = 46, M0(1,2,-3); б) S: 3x2 + y2 = 9, M0( - 13 ,2 2,1).

8.Определить градиент и производную заданной функции z = xey в т. M0(2,2) в направлении линииxy = 4 в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 3x3+3y3-9xy+10.

23

2.Вычислить приближенно 5 2,973 + 2,022 +1 .

3.Найти частные производные и полный дифференциал

функции z = ln(3x2y - y2).

4. Вычислить значение производной сложной функции u = ey-2x, где x = sin t, y = t3 при t = 0, с точностью до двух знаков после запятой.

указанному уравнению x 2 ¶2u - y 2 ¶2u = 0 .

¶x 2 ¶y 2

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 + y2 – xz - yz = 0, M0(0,2,2); б) S: x2 + y2 - 4z2 = 4, M0(-2,2,1).

8. Определить градиент и производную заданной функции

y2 = 5x в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = x2 +xy+y2 + x –y +1.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 3x + 6y – xy - x2 - y2 в области D: y = 0, y = 1, x = 0, x = 1.

24

2.Вычислить приближенно ln((2,02)2+ 3 0,98 - 8 ).

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = e-(x3+y3)y.

4. Вычислить значение производной сложной функции u = x2e-y, где x = sint, y = sin2t при t = p , с точностью до двух

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

z = ln(x2+y2) в т. M0(1,1) в направлении линии x2 + y2 = 2 в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 4(x - y) - x2 - y2.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 - 2y2 + 4xy - 6x - 1 в области D: x + y = 3, y = 0, x = 0.

25

Вариант 10

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 + y2 _ z2 - 2xy + 2x = 0, M0(1,1,1);

б) S: 3x2 - 11y2 + 3z2 + 5 = 0, M0(1,1,1).

8. Определить градиент и производную заданной функции

z = x2 + y2 в т. M0(6,8) в направлении линии x2 + y2 = 100 в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = 6(x - y) - 3x2 - 3y2.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = x2 + 2xy - 10 в области D: y = 0, y = x2 - 4.

26

y

2.Вычислить приближенно (3,02)3 ∙ 5 0,97 .

3.Найти частные производные и полный дифференциал функции z = tg(y4x3).

4. Вычислить значение производной сложной функции

u = ey-2x-1, где x = cos t, y = sin t при t = p , с точностью до двух

2

знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z = z(x,y) , заданной неявно: x2 - 2y2 + 3z2 – yz + y = 2, в данной

точке M0 (1,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = x2 + y2 + 2x - 2xy - y, M0(-1,-1,-1);

б) S: x2 + y2 + 2z2 = 10, M0(1,1,2).

8. Определить градиент и производную заданной функции

в сторону убывания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = x2 +xy + y2 - 6x - 9y.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = xy - 2x - y в области D: y = 0, y = 4, x = 0, x = 3.

27

точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y) , заданной неявно: x2 + y2 + z2 + 2xz = 5, в данной точке M0 (0,2,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функцияarctg x + y

1 - xy

указанному уравнению ¶2u = 0 .

¶x¶y

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: z = y2 - x2 + 2xy - 3y, M0(1,-1,1);

б) S: x2 + y2 - 4z2 = 1, M0(1,2,-1).

8. Определить градиент и производную заданной функции z = arctg(xy) в т. M0(1,-1) в направлении линииy = -x в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = (x - 2)2 + 2y2 - 10.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 0,5x2 - xy в области D: y = 8, y = 2x2.

28

2.Вычислить приближенно ( sin1,56)∙(cos1,58).

3.Найти частные производные и полный дифференциал

а) S: z = x2 - y2 - 2xy – x - 2y, M0(-1,1,1); б) S: x2 - 5y + z2 = 0, M0(1,2,-3).

8. Определить градиент и производную заданной функции

сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = (x - 5)2 + y2 + 1

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 3x2 + 3y2 - 2x - 2y + 2 в области D: y + x - 1 = 0, y = 0, x = 0.

29

x 2

u = , где x = 1 - 2t, y = arctg t при t = 0, с точностью до y +1

двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции

z = z(x,y) , заданной неявно: 3x2 y2 + 2xyz2 - 2x3z + 4y3z = 4, в

данной точке M0 (2,1,2) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u = x 2 + y 2 + z 2 указанному уравнению

(¶¶ux )2 + (¶¶uy )2 + (¶¶uz )2 = 0 .

7.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S в точке M0 (x0,y0,z0). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x2 - 2y2 + z2 + xz - 4y = 13, M0(3,1,2); б) S: x2 - 7y + z2 = 4, M0(3,2,3).

8. Определить градиент и производную заданной функции

z = xey в т. M0(1,1) в направлении линииxy = 1 в сторону возрастания аргумента x.

9.Исследовать на экстремум функцию z = x3 + y3 - 3xy.

10.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 2x2 + 3y2 -1 в области D: y = 9 - 9 x 2 , y = 0. 4

30