Учебное пособие 2000

И.Л.Батаронов Е.Н.Провоторова Е.Г.Глушко В.В.Дежин

ВВЕДЕНИЕ

В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Учебное пособие

Воронеж 2002

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Воронежский государственный технический университет

И.Л.Батаронов Е.Н.Провоторова Е.Г.Глушко В.В.Дежин

ВВЕДЕНИЕ

В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Учебное пособие

Воронеж 2002

УДК 517.9

Введение в математический анализ: Учеб.пособие / И.Л.Батаронов, Е.Н.Провоторова, Е.Г.Глушко, В.В.Дежин. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2002. 142 с.

В пособии содержатся основные теоретические сведения по разделу «Введение в математический анализ». В каждой главе даны практические задачи, разбитые на три уровня сложности. Издание соответствует рабочей программе дисциплины «Математический анализ» и предназначено для студентов специальностей 075500 «Информационная безопасность» и 075200 «Компьютерная безопасность» дневной формы обучения.

Учебное пособие подготовлено на оптическом носителе в текстовом редакторе МS Word 97 и содержится в файлах «Начало и окончание.doc», «Глава_1_1.doc», «Глава_1_2.doc», «Глава_2.doc», «Глава_3_1.doc», «Глава_3_2.doc», «Глава_4.doc» и «Глава_5.doc».

Ил. 51. Библиогр.: 14 назв.

Рецензенты: кафедра математического анализа Воронежского государственного университета; канд.физ.-мат.наук, проф. М.Г.Завгородний

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

Батаронов И.Л., Провоторова Е.Н., Глушко Е.Г., Дежин В.В., 2002

Воронежский государственный технический университет, 2002

ВВЕДЕНИЕ

Раздел «Введение в математический анализ» является одним из наиболее важных и сложных при изучении курса математического анализа. Глубокое неформальное понимание таких основных понятий как функция, предел, непрерывность, знание основных теорем о пределах и непрерывных функциях, умение вычислять пределы необходимо для дальнейшего успешного изучения как курса математического анализа так и других математических и специальных дисциплин.

ВI главе пособия содержатся необходимые теоретические сведения по дополнительным главам математического анализа, теории множеств и отображений, рассматриваются понятия бинарных отношений, мощности множеств.

Во II главе вводится понятие предела числовой последовательности, верхнего и нижнего предела, изучаются свойства сходящихся числовых последовательностей, критерии сходимости.

ВIII главе подробно описываются свойства числовых функций, приводятся графики основных элементарных функций, изучаются методы преобразования графиков функций.

IV и V главы посвящены изучению предела и непрерывности функций, свойств непрерывных функций.

Вконце каждой главы приведены задачи для самостоятельного решения. Для удобства организации учебного процесса в группах с различным уровнем математической подготовки задачи приведены в трех уровнях сложности.

Вгруппе «А» содержатся типовые задания облегченного содержания, в группе «Б» более сложные стандартные задачи, в группе «В» предлагаются задачи, требующие глубокого понимания теоретического материала.

Решая задачи из разных групп, студенты могут самостоятельно контролировать уровень усвоения учебного материала.

Пособие может использоваться как студентами для подготовки к практическим занятиям, контрольным работам, экзаменам так и преподавателем при проведении практических занятий, коллоквиумов, экзаменов.

1.ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ

1.1. Множества. Операции над множествами

Понятие множества является одним из основных первичных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Будем считать множество заданным, если известен закон, по которому можно сказать принадлежит некоторый объект данному множеству или нет. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества при-

нято обозначать заглавными буквами алфавита A , B , , а их элементы – малыми a , b , . Если элемент x принадлежит множеству X , то пишут x X , запись x X - означает, что элемент x не принадлежит множе-

ству X .

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом . Элементы множества записываются в фигурных скобках, внутри которых они перечислены, либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного множества.

A A A , A BC A BA C.

Для наглядного представления операций над множествами используются диаграммы Эй-

лера-Венна (рис. 1).

имно однозначным. Иными словами, отображение является взаимно однозначным, если каж-

щее в последовательном выполнении сначала отображения f , а потом g , т.е. отображение,

Свойства бинарных отношений:

1. Бинарное отношение R на множестве A называется рефлексивным, если для a A пара a, a R . Если A - конечное множество, то рефлексивность бинарного отношения R означает, что на графе данного бинарного отношения вокруг каждой точки a A есть петля. Ес-

ношения R означает, что на графе данного бинарного отношения вокруг каждой точки a A отсутствует петля. Если A R , то антирефлексивность бинарного отношения с точки зрения декартовой диаграммы означает, что в число изображенных точек не войдет ни одна точка прямой y x x .

ки двусторонние. Если A R , то симметричность бинарного отношения с точки зрения декартовой диаграммы означает, что изображенное множество симметрично относительно пря-

антисимметричность бинарного отношения с точки зрения декартовой диаграммы означает, что изображенное множество расположено по одну сторону от прямой y x x .

все элементы множества связаны односторонними или двусторонними стрелками.

Пример 4. Для каждого из следующих бинарных отношений выяснить, какими свойст-

- не является антирефлексивным, так как оно является рефлексивным, т.е. содержит все точки прямой y x ;

- является симметричным, поскольку принадлежность любой пары x, y отношению R означает x y k Z , но тогда и y x k Z , т.е. y, x R ;

-антисимметричности;

-рефлексивности;

-транзитивности.

Отношение строгого порядка x y обладает свойствами

-антисимметричности;

-антирефлексивности;

-транзитивности.

Пример 5.

1)Отношения строгого порядка на множествах N , R и C являются связанными.

Итак, исследуемое бинарное отношение является отношением эквивалентности.

Для любых бинарных отношений выполняются следующие свойства:

1. R 1 1 R ;

Найти обратные к данным бинарным отношениям и композиции отношений.

Решение.

x, y : z x z Z, z y 2 x, y : z x z k Z, z y 2

x, y : k Z k x y 2 R R .

Остальные композиции постройте самостоятельно.

1.4. Счетные множества. Понятие мощности множеств

Для характеристики степени насыщенности бесконечных множеств элементами используются понятия эквивалентности и мощности множеств.

Определение 1. Два множества называются эквивалентными или равномощными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.

Определение 2. Если множество X эквивалентно множеству натуральных чисел N , то множество X называется счетным, т.е. все элементы множества можно перенумеровать с помощью натуральных чисел и запи-

Отметим наиболее важные свойства счетных множеств.

1.Каждое бесконечное подмножество счетного множества счетно.

2.Объединение конечной или счетной совокупности счетных множеств счетно.

3.Каждое бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Теорема 1. Множество Q рациональных чисел счетно.

Интересно доказательство этой теоремы. Расположим все рациональные числа в таблицу, содержащую бесконечное число строк и столбцов. Здесь в n -ю строчку помещены рациональные числа, записываемые несократимыми рациональными дробями со знаменателем n и упорядоченные по возрастанию их абсолютных величин, причем непосредственно за каждым положительным числом следует ему противоположное. Очевидно, что каждое рациональное число находится на каком-то месте в этой таблице.

Занумеруем теперь элементы получившейся таблицы согласно следующей схеме, в которой в кружочках стоят номера соответствующих элементов, а стрелки указывают направление нумерации:

В результате все рациональные числа оказываются занумерованными, т.е. множество Q счетно. Следствие 1. Множество всех многочленов с рациональными коэффициентами a0 , a1, , an счетно.

Следствие 2. Множество всех алгебраических чисел (т.е. корней многочленов с рациональными коэффициентами) счетно.

Бесконечные множества не являющиеся счетными называются несчетными множествами. Теорема 2 (Кантор). Множество всех точек отрезка 0, 1 несчетно.

Из этой теоремы и примера 3 следует, что множества всех действительных чисел R , а, следовательно, и всех комплексных чисел C несчетны.

Заметим, что, так как множество рациональных чисел отрезка 0, 1 счетно, следовательно, иррациональ-

ных чисел «значительно больше» чем рациональных. Более того, так как иррациональные алгебраические числа составляют счетное множество, то несчетное множество составляют числа, не являющиеся корнями многочленов с рациональными коэффициентами – трансцендентные числа.

Эквивалентные между собой два конечных множества состоят из одинакового числа элементов, т.е. конечные множества можно сравнивать по числу элементов. Но как сравнивать бесконечные множества? Если произ-

вольные множества A и B эквивалентны, то говорят, что множества A и B имеют одинаковую мощность, таким образом, мощность – это то общее, что есть у всех эквивалентных между собой множеств. Мощность мно-

жества A обозначается A . Мощность счетного множества обозначается א0 (алеф-нуль). Множества эквива-

лентные отрезку 0, 1называются множествами мощности континуум. Мощность континуум обозначается бук-

вой C .

Примеры 1 и 3 показывают, что часть множества может быть эквивалентна всему множеству. Это свойство характерно для всех бесконечных множеств. Пусть множества A и B неэквивалентны, но в A есть под-

множество эквивалентное B , тогда говорят, что мощность A больше мощности B : A B .

Из свойства 3 следует, что из всех бесконечных множеств счетные множества имеют наименьшую мощность, а из теоремы Кантора и свойства 3 следует, что C>א0.

При сравнении бесконечных множеств используются следующие две наиболее важнейшие теоремы – тео-

Теорема 4. Множество всех подмножеств множества M имеет мощность большую, чем мощность множества M .