Учебное пособие 2000

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Определение 4. Последовательность an

называется строго возрастающей, если

n : an an 1 , и строго убывающей, если n : an

Пример 2. Докажем, что последовательность an

с общим членом an

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

19	-	+	+		-	+
20	-	+	+		-	-
21	-	+	-		+	+
22	-	+	-		+	-
23	-	+	-		-	+
24	-	+	-		-	-
25	-	-	+		+	+
26	-	-	+		+	-
27	-	-	+		-	+
28	-	-	+		-	-
29	-	-	-		+	+
30	-	-	-		+	-
31	-	-	-		-	+
32	-	-	-		-	-
	5.
1) Доказать, что если A B , C D ,				A C	и B D	, то A C B D .
2) Доказать или опровергнуть, что если A B , C					D , A C и B D , то B \ A D \ C .

3)Доказать, что соединение счетного множества и конечного множества счетно.

4)Доказать, что соединение конечного числа счетных множеств счетно.

5)Доказать, что соединение счетной системы конечных множеств счетно.

6)Доказать, что соединение счетной системы счетных множеств счетно.

7)Доказать, что прямое произведение не пустых не более чем счетных множеств, хотя бы одно из которых счетно, является счетным множеством.

8)	Доказать, что если	M	- счетное множество и s N , то	M s счетно.
9)	Доказать, что если	M	- не пустое, не более чем счетное	множество, то M счетно.

10)Доказать, что система конечных подмножеств множества N счетна.

6.Найти точные верхние и нижние грани для множеств X или доказать, что они не существуют.

x :

N ,

3n 2

x :

N ,

2n4

x : x

, n N ,

n 1

x : x

N ,

x :

N ,

x :

N ,

3n2

x : x

2n 3

, n N ,

x : x

3n 5

, n N ,

x : x

n 4

, n N ,

10)

x :

N .

2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Определение 1. Последовательностью действительных чисел называется отображение f : N R , определенное на множестве всех натуральных чисел. Кратко ее обозначают сим-

волом an . Число an называется общим членом последовательности. Иными словами, последовательность считается заданной, если указан способ получения любого ее элемента.

Пример 1.	a			n3		. Тогда имеем a		13		1	, a			23	4	и т.д.
		n										2
			n2		10	1	12	10	11				22	10	7

Заметим, что обратная операция – нахождение выражения n -го члена последовательности по нескольким первым членам этой последовательности – не имеет однозначного решения.

Последовательности могут быть заданы и соотношением,	задающим выражение n -го
члена последовательности через ее предыдущие члены.
Пример 2. Равенства an an 1 d ; bn qbn 1 , q 0 , b1	0 ( n 2,3, 4, ) определяют
соответственно арифметическую и геометрическую прогрессии.	Рекуррентно задана и после-

довательность Фибоначчи 0,1,1, 2,3,5,8,13, , в которой каждый член (начиная с третьего) равен сумме двух предыдущих. Полное рекуррентное задание этой последовательности тако-

во: a1	0 ,	a2 1, an an 1	an 2 , n 3, 4,5, .
Определение 2. Последовательности an bn , an					bn ,			anbn и	an bn называются
соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух									последовательностей
an и	bn	(для частного bn	0 ).
			2.1. Предел последовательности
Рассмотрим последовательность с общим членом a						n	1	, при n	члены последо-
Рассмотрим последовательность с общим членом a				n		n		, при n	члены последо-
				n

вательности неограниченно приближаются к 1. На языке математического анализа выражение

«неограниченно приближается» означает, что какое бы малое число

мы ни взяли, начиная с

некоторого номера N все члены последовательности будут сколь угодно мало отличаться от

Определение 1. Число a называется пределом последовательности

, если для лю-

бого положительного числа

существует такой номер

N , что при всех n N выполняется

неравенство

. Обозначение

lim xn

a . Кратко определение предела записывается

так:

N :

n N (

) .

Неравенство

равносильно двойному неравенству

a , которое

показывает, что элементы xn

при n

N находятся в окрестности точки a . Поэтому геометри-

чески определение предела формулируется так.

Определение 2. Число a называется пределом последовательности

, если для лю-

бой -окрестности точки a найдется такое натуральное число N

, что все значения xn , для

которых n

N , попадут в -окрестность точки a .

Ясно, что чем меньше

тем больше число N , но в любом случае внутри

-окрестности

точки a находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее находится лишь конечное число членов последовательности.

Последовательность, имеющая предел называется сходящейся, а последовательность, не

имеющая предела, называется расходящейся.
Например, последовательность x	n	1 n	не имеет предела.
	n

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Теорема 2. Если числовая последовательность имеет конечный предел, то она ограниче-

на.

Пример.

Используя

определение

предела

последовательности,

докажем,

что

lim

n 1

Решение. Зададим произвольное

0 и рассмотрим модуль разности между n -м чле-

ном последовательности и числом 1:

. В соответствии с определением предела

n 1

последовательности мы должны указать номер N такой, что

N выполняется неравенст-

во

(1)

Для отыскания номера N решим неравенство (1) относительно n . Получим

(2)

Из

неравенства (2) следует,

что

качестве

можно

взять

целую

часть числа

. В самом деле, если n

N ,

то n

, т.е. справедливо неравенство

(2), а значит,

N выполняется неравенство (1).

Итак,

для произвольного

0 мы указали такой номер

, что

N вы-

полняется неравенство

. Это и означает по определению предела последовательно-

сти, что lim

n 1

2.2. Монотонные и ограниченные последовательности

Определение 1. Последовательность

называется ограниченной сверху (снизу), если

0 такое, что

n : an

M (an

M ) .

Определение 2. Последовательность

an называется ограниченной,

если

0 та-

кое, что

n :

M .

С геометрической токи зрения это означает, что все члены последовательности нахо-

дятся в некоторой окрестности ( M -окрестности) точки a

0 .

Определение 3. Последовательность

называется неограниченной, если

такое, что

n :

M .

Теорема 1. (необходимое условие сходимости последовательности). Сходящаяся после-

довательность ограничена.

Пример 1. Докажем, что последовательность

с общим членом

ограни-

чена.

Решение. Мы имеем 0

9 , поэтому

1 .

Это означает, что заданная последовательность ограничена и сверху и снизу, т.е. является ограниченной.

ет.

Решение. Мы имеем a

, поэтому

n 1

an 1

0 .

n 1

n 1 n 2

Так как an 1

0 , то для всех n выполняется неравенство an an 1 , значит an возраста-

ет.

Определение 5. Последовательность

называется невозрастающей (неубывающей),

если n : an

an 1

an an 1 .

Все такие последовательности называют монотонными. Монотонные последовательности всегда ограничены хотя бы с одной стороны: невозрастающая последовательность ограничена сверху, а неубывающая последовательность - снизу своим первым членом. Если же монотонная последовательность ограничена и с другой стороны, то она сходится.

Теорема 2 (Вейерштрасс). Монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Важнейшим примером применения признака Вейерштрасса является доказательство су-

ществования предела последовательности с общим членом xn	1	1	n	. Несложно показать,

		n

что данная последовательность является монотонной и ограниченной xn				3 , поэтому на осно-
					1	n
вании теоремы она имеет предел, обозначаемый буквой	e :		lim 1			e . Число
					n
		n

e 2,718281828 - иррациональное и даже трансцендентное, т.е. оно не является корнем никакого уравнения с целыми коэффициентами.

2.3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

Свойства сходящихся последовательностей

Определение 1. Последовательность		xn	называется бесконечно малой, если ее предел
равен нулю, т.е. lim xn 0 .
n
Определение 2. Последовательность		xn	называется бесконечно большой, если для вся-
кого сколь угодно большого числа M	0 существует такой номер N				N M , начиная с ко-
					M .
торого все члены последовательности удовлетворяют неравенству				xn	M .
С геометрической точки зрения это означает, что в любой окрестности нуля находится
лишь конечное число членов последовательности, а вне ее - бесконечно много.
Если последовательность xn -	бесконечно большая, то пишут				lim xn	. Если при
					n

этом, начиная с некоторого номера, все члены бесконечно большой последовательности поло-

жительны (отрицательны), то пишут		lim xn	( ). Отметим, что бесконечно большая
		n
последовательность не является	сходящейся и		символическая запись lim xn	означает
			n
только, что последовательность	xn	является бесконечно большой, но вовсе не означает, что

она имеет предел.

Всякая бесконечно большая последовательность является неограниченной, поскольку вне любой окрестности нуля имеется член последовательности (даже все члены, начиная с некоторого номера). Обратное неверно: неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.

Пример 1. Пусть	x	n 1 n	. Доказать, что последовательность	x	: а) неограниченная;
	n			n

б) не является бесконечно большой.

Решение.

а) Заметим, что M 0 член последовательности с номером n 2 M 1 равен n и

больше M . Это и означает по определению, что xn - неограниченная последовательность. б) Очевидно, что в интервале 2, 2 находятся все члены последовательности xn с

нечетными номерами, а значит, в этом интервале находится бесконечно много членов последовательности. Отсюда следует, что xn не является бесконечно большой.

Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью.

Теорема 2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью.

Следствие. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей яв-

ляется бесконечно малой последовательностью.

Теорема 3. Если последовательность

- бесконечно большая, то начиная с некоторо-

го номера n определена последовательность

1 xn

, которая является бесконечно малой. Если

последовательность

- бесконечно малая и

n xn

0 , то последовательность

1 xn

явля-

ется бесконечно большой.

Пример 2. Доказать, что последовательность

является: а) бесконечно большой

1 ; б) бесконечно малой при

1 .

при

Решение.

а) Докажем, что последовательность

удовлетворяет определению

бесконечно

большой, т.е.

N такое, что

N выполняется неравенство

M .

(1)

Зададим произвольное M

0 . Для отыскания номера N решим неравенство (1) относительно

n . Получим

log

M . Тогда

log

M .

(2)

Положим

N выполняется неравенство (2),

а значит,

и (1). Таким

образом,

log

такое, что

N :

M . Это и требовалось доказать.

то an

б) Если a 0 ,

n и,

следовательно,

- бесконечно малая. Пусть a

0 .

Тогда an

1 a n

Так как

1 a

то последовательность

является бесконечно

1 a n

большой, а последовательность

- бесконечно малой в силу теоремы 3. Таким об-

разом, последовательность an

1 .

- бесконечно малая при

Свойства сходящихся последовательностей.

Теорема 4. Пусть lim xn

a и lim yn

b . Тогда:

а)

lim

b ;

б)

lim

xn yn

ab ;

в) если b

0 , то начиная с некоторого номера определена последовательность xn

lim xn

a b .

Если

lim xn

lim yn

0, то lim

называют неопределенностью типа 0 0 . Ана-

логично определяются неопределенности типа

. В этих случаях теорема 4

неприменима.

Теорема 5.

Если

lim xn

и начиная с некоторого номера

( xn

b ),

то

( a

b ).

Теорема 6 (теорема о трех последовательностях). Если

lim xn

a , lim yn

a и начиная

с некоторого номера выполняются неравенства xn zn

yn , то

lim zn

a .

Пример 3. Доказать, что последовательность

sin n

расходится.

Решение. Доказательство проведем методом от противного. Пусть

lim sin n

a . Тогда

lim sin n

a , откуда

lim

sin

sin n

0 .

(1)

Так как sin

sin n

2sin1cos

1 , то, учитывая равенство (1), получаем

lim cos

0 .

(2)

Из равенства

cos n

cos n cos1 sin n sin1

находим

sin n

cos n cos1

cos

1 .

sin1

Отсюда в силу (2) следует, что

lim sin n

0 . Таким образом, получаем

lim cos n

lim sin n

0 , что противоречит тождеству

cos2 n sin2 n

1 .

Следовательно, последовательность

sin n

расходится.

Пример

Найти

пределы:

а)

lim

10n

;

б)

lim

;

в)

lim

5 3n

;

г)

n cos n

lim

; д) lim

Решение.

а)

lim

10n

lim

, так как последовательность n

- бесконечно боль-

шая;

б)

lim

;

в)

lim

5 3n

lim

;

lim

г)

lim

;

lim 1

д)

Последовательность

cos n

ограничена,

бесконечно

малая,

так

как

lim

0 . Отсюда по теореме 2 следует, что произведение этих

lim

последовательностей является бесконечно малой, т.е.

lim

n cos n

0 .

n 1

2.4. Предельные точки последовательности. Верхний и нижний пределы

	Пусть xn	- некоторая числовая последовательность. Рассмотрим произвольную возрас-
тающую последовательность целых положительных чисел k1, k2 , ,								kn , ( kn n ). Выберем
из	xn члены с номерами k1, k2 , , kn , :
			xk	, xk	2	, , xk	, .
			1		2		n
Полученная числовая последовательность						xkn называется подпоследовательностью после-
довательности		xn .
	Теорема 1. Если lim xn		a , то любая подпоследовательность					xkn сходится к a при
		n
n	.
	Определение 1. Число a		называется предельной точкой (или частичным пределом) по-

следовательности xn , если из последовательности xn можно выделить подпоследователь-

ность xkn , сходящуюся к a .

Сравните с определением 6 из п. 1.7.

Можно и по другому сформулировать определение предельной точки.

Определение 2. Число a	называется предельной точкой последовательности xn , если
в любой -окрестности точки	a содержится бесконечно много членов последовательности
xn .

На языке последовательностей теорема 1 из п. 1.6. формулируется так.

Теорема 2 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Из теоремы 1 следует, что сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку, совпадающую с ее пределом.

Из теоремы 2 следует, что всякая ограниченная последовательность имеет, по крайней мере, одну предельную точку.

Определение 3. Наибольшая (наименьшая) предельная точка последовательности xn , ограниченной сверху (снизу), называется верхним (нижним) пределом этой последовательно-

сти и обозначается

lim xn

lim xn .

Очевидно, если xn

сходится, то lim xn

lim xn

lim xn . Если последовательность

не ограничена сверху (снизу), то полагают

lim xn

Пример 1. Доказать расходимость последовательности

1 n .

Решение. Рассмотрим две подпоследовательности этой последовательности x2k

x2k 1

1 ( k

1, 2, ). Очевидно, что lim x2k 1,

lim x2k 1

1. Таким образом, по-

следовательность

1 n имеет две предельные точки:

1 и

1, а поэтому не может

быть сходящейся, поскольку сходящаяся последовательность имеет только одну предельную точку.

Пример 2. Найти все предельные точки последовательности			sin n	, верхний и ниж-
ний пределы этой последовательности.
Решение. Каждое из чисел 0 , sin1 ,	sin 2 , ,	sin 89 ,	1 встречается в последо-
вательности бесконечно много раз, поскольку	n, k N :	sin n sin	360 k	n	. Поэтому ка-
ждое указанное число является предельной точкой последовательности sin n					. Других пре-

дельных точек последовательность не имеет, так как если число a не совпадает ни с одним из этих 181 чисел, то существует окрестность точки a , не содержащая ни одного члена последо-

вательности. Из найденных 181 предельных точек наименьшей является

1, а наибольшей 1,

т.е.

sin n

lim sin n

lim

2.5 Фундаментальные последовательности.

Критерий Коши

Определение

Последовательность

называется

фундаментальной,

если

N такое, что

N и

N выполняется неравенство

Это определение эквивалентно следующему.

Определение

Последовательность

называется

фундаментальной,

если

N такое, что

N и

N выполняется неравенство

Геометрически это означает, что если последовательность

фундаментальна,

то

N такое, что расстояние между любыми двумя членами последовательности с номе-

рами, бóльшими, чем N , меньше .

Теорема (критерий Коши). Для того, чтобы последовательность сходилась, необходимо

и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Пример 1. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость последовательности

xn ,

где x

sin k

k 2

Решение. В силу критерия Коши достаточно доказать, что последовательность

фундаментальная. Для этого оценим

xn xn

. Имеем

sin k

k 2

1 k 2

k n

Так как

, то

k 2

k n 1 k 2

n 1 2

n 2 2

n p 2

n n 1

n 1 n 2

n p 1 n p

n n p n

Поэтому

n, p

N имеем

(*)

Зададим теперь произвольное

0 и положим

. Тогда

N выполняется нера-

венство n

откуда 1 n

. Следовательно,

N и

N , используя нера-

венство (*), получаем

xn p

1 n . Это доказывает фундаментальность последователь-

ности

, а значит и ее сходимость.

Пример 2.

Пользуясь критерием Коши,

доказать

расходимость последовательности

, где

Решение. В силу критерия Коши достаточно доказать, что последовательность xn

не

является фундаментальной. Для этого оценим

. Имеем

n p

xn xn p

k n 1

В частности, при p n получаем

x2n

n .

(*)

Возьмем

2 . Тогда

N, p

N такие,

что

. В самом деле,

в силу

неравенства (*)

достаточно взять любое n

N и

n . Это доказывает, что последователь-

ность

не является фундаментальной, а, следовательно, она расходящаяся.

2.6. Задачи

Группа А

1. Доказать, что

lim an

a (указать N

1) an

3n 2

, a

;

2) an

4n 1

, a 2 ;

3) an

7n 4

, a

;

4) an

2n 5

, a

;

5) an

, a 7 ;

6) an

4n2

;

3n2

7) an

;

8) an

, a 2 ;

2n3

9) an

2n2

;

10) an

5 .

4n2

2. Доказать ограниченность или неограниченность последовательностей xn .

1 n

;

2) x

2n ;

3) x

ln n ;

sin n ;

1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, ;

6) x

1 n n

;

9) x

n ;

10)

3. Установить, являются ли последовательности

бесконечно большими, бесконеч-

но малыми или не являются ни бесконечно большими, ни бесконечно малыми.

k 0 ;

1 n n ;

1 n

0, 999n ;

1 n ;

;

2n3

2 n ;

1, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, ;

log2

log2 n

;

10)

4. Вычислить пределы числовых последовательностей.

1)	lim	3	n 2	3	n 2
			n 2		n 2
	n	3		3
3)	lim	1	n 4	1	n 4
			n 3		n 3
	n	1		1

;	2)	lim	3	n 4	2	n 4
				n 4		n 4
		n	1		1
;	4)	lim	6	n 2	6	n 2
				n 2		n 2
		n	6		1

;

lim

n 1 3

n 1 2

;

lim

n 1 3

n 2

;

n 1 3

n 4 3

n 5 3

lim

n 3 3

n 4

;

8) lim

n 1 4

n 1

;

n 3 4

n 4 4

n 1 3

lim

n 6 3

n 1

;

10)

lim

n 10 2

3n 1

2n 3 2

n 4 2

n 6 3

n 1 3

5. Вычислить пределы числовых последовательностей.

3 125n3

lim

;

lim

;

5 n

n 2

6n3

lim

n 2

;

lim

;

4 4n 4

3 n4

4n6

3 n

3 27n3

9n2

lim

4n 1

;

lim

;

3 n5

4 9n8

4 n

3 n3

lim

n 3

;

lim

n 1

3 n5

4 n4

5 n5

4 n 1

lim

4n2 4 n3

;

10) lim

n 2

3 n6

1 5n

2 n

Группа Б

Для каждой из последовательностей

найти все предельные точки, lim xn ,

inf

xn .

lim xn , sup xn

1)	xn			2		1 n			;					2)	xn
1)	xn	2				1 n			;					2)	xn
		2				1 n
3)	xn			arcsin				1 n				;		4)	xn
3)	xn			arcsin			2					;		4)	xn
							2
5)	xn	1			n sin			n		;				6)	xn
5)	xn	1			n sin		2			;				6)	xn
							2
7)			n		1		2			n			;	8)
	xn					cos									xn
	xn			n		cos		4							xn
				n				4
9)	xn	2				1 n				1				;
9)	xn				2						n			;
					2						n

cos

;

sin

3 ;

1 n

;

cos

;

10) xn

cos

2 n

Для каждой из последовательностей

найти все предельные точки, lim xn ,

inf

xn .

lim xn , sup xn

cos

;

1 n 1

;

1 n 1

3 1 n n 1

2 ;

4) x

cos

;

6) x

1 n

n sin

;

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.7 Mб6Учебное пособие 1998.pdf
#
30.04.20223.72 Mб3Учебное пособие 1999.pdf
#
30.04.2022157.23 Кб7Учебное пособие 2.pdf
#
30.04.2022214.94 Кб1Учебное пособие 20.pdf
#
30.04.2022326.11 Кб2Учебное пособие 200.pdf
#
30.04.20223.82 Mб2Учебное пособие 2000.pdf
#
30.04.20223.83 Mб8Учебное пособие 2001.pdf
#
30.04.20223.83 Mб4Учебное пособие 2002.pdf
#
30.04.20223.84 Mб3Учебное пособие 2003.pdf
#
30.04.20223.86 Mб10Учебное пособие 2004.pdf
#
30.04.20223.87 Mб5Учебное пособие 2005.pdf