Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 2000

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Рассмотрим конечное множество M , содержащее n

элементов, и подсчитаем, сколько

у него будет подмножеств. Имеется пустое подмножество

, кроме того, имеются:

- Cn1 n одноэлементных подмножеств,

- Cn2

двухэлементных подмножеств,

2! n

2 !

…………………………………………………….

- Ck

k -элементных подмножеств,

k ! n

k !

…………………………………………………….

- Cn 1

n n 1-элементных подмножеств,

1 ! 1!

- само множество

M . Итого у множества M имеется C0

Cn 1

2n подмножеств.

Если теперь M - бесконечное множество мощности

, то по аналогии со случаем ко-

нечного множества мощность множества всех его подмножеств обозначают 2 .

На основании теоремы 3 можно показать, что множество всех вещественных функций на

отрезке 0, 1

имеет мощность большую чем C , а именно 2C , и более того,

множеств с наи-

большей мощностью не существует.

1.5.Действительные числа. Свойства

Вматематическом анализе наиболее часто используются следующие числовые множе-

ства:

- N 1, 2, 3, , n, - множество натуральных чисел;

-	Z	0,			1,	2, ,	n, - множество целых чисел;
-	Q		m	, m		Z, n	N - множество рациональных чисел;

			n
-	R - множество действительных чисел;
-	I	x : x			R, x Q - множество иррациональных чисел.

Между этими множествами существует соотношение

N Z Q R .

В школьном курсе математики действительные числа определяют как множество рациональных и множество иррациональных чисел, рациональные числа представляются в виде периодических десятичных дробей, а иррациональные в виде непериодических бесконечных десятичных дробей. Точное определение действительного числа было дано только в 19 веке Р.Дедекиндом, К.Вейерштрассом и Г.Кантором, причем различными способами. Так Дедекинд вводил действительные числа как разбиение множества рациональных чисел на два непустых подмножества. Кантор определял действительные числа с помощью сходящихся последовательностей рациональных чисел. Вейерштрасс рассматривал для этой цели системы стягивающихся отрезков. Для математического анализа существенное значение имеет не способ введения и записи, а свойства множества действительных чисел. Перечислим эти свойства.

Свойства сложения.
1. Для любых чисел	a, b	R определено единственное число			a	b	R ,	называемое
суммой чисел a и b .
2. Для любых чисел	a, b	R имеет место соотношение	a	b	b	a	(коммутатив-
ность).
3. Для любых чисел a, b, c		R имеет место соотношение a		b	c		a	b c (ассо-
циативность).
4. Существует число 0	R такое, что a 0 a для всех a		R . Число 0 носит название
нуль.
5. Для любого числа a	R существует число b R такое, что a				b	0 .

Свойства умножения.

6. Для любых чисел a, b

R определено единственное число a b

R , называемое про-

изведением чисел a и b .

7. Для любых чисел a, b

R имеет место соотношение a b b a (коммутативность).

8. Для любых чисел a, b, c

R имеет место соотношение a

b c

a b

(ассоциа-

тивность).

9. Существует число 1

R такое, что 1 a a для всех a

R . Число 1 носит название

единица.

10. Для любого числа a

R существует число b

R такое, что a b

11. Для любых чисел a, b, c

R имеет место соотношение a

b c

a c

b c (дист-

рибутивность).

Следствия из свойств сложения и умножения.

1) Для любых чисел a, b

R имеется ровно одно число x

R такое, что a

b . Чис-

ло x называется разностью чисел b и a и обозначается b

a . При этом 0

a .

2) Для любого числа a

R имеем a

a ,

0 .

3) Для любых чисел a, b, c, d

R имеем:

c эквивалентно a

c ,

c .

Из a b 0 следует, что либо a

0 , либо b

0 .

Для любых чисел a, b R ,

где a

0 существует единственное число

R такое,

что a

b . Число x называется частным от деления b на a и обозначается

или b a .

Для любого числа a

R \

имеем

a .

1 a

Для

любых

чисел

a, b, c, d

R \

равенство

эквивалентно

тому, что

a d

b c ; кроме того,

b d

b a

b c

a c

d c

Для

любых

чисел

a, b

любого

R \ 0

выполняется

соотношение

9) Для любого числа a R справедливо равенство a		1	a .
10) Для любых чисел a, b R выполняется равенство		a b	a b .
11) 1	1 1.

Свойства порядка.
12.	Множество R - определено отношением строгого порядка: для любых двух различ-
ных чисел a и b имеет место одно из двух соотношений a									b , или b a .
13.	Для любых чисел a, b, c				R таких, что		a	b и	b	c , справедливо соотношение
a c (транзитивность).
14. Для любых чисел a, b, c				R таких, что a			b , справедливо соотношение a c b c .
15.	Для любых чисел a, b, c				R таких, что		a	b и	c	0 , справедливо соотношение
a c b c .
Следствия из свойств порядка.
1)	Если a	b . то	a b .
2)	Если a	b и c	d , то a		c b	d .
3)	Если a	b и c	d , ( b	0 и c		0 ), то a c		b d .

4)1>0.

5)Если a 0 , то 1a 0 .

16.Множество R - плотное: между любыми двумя различными числами a и b содержится хотя бы одно действительное число.

17.Множество R - непрерывное. Пусть множество R разбито на два непустых множества A и B таких, что каждое действительное число содержится только в одном множестве и

для каждой пары чисел a A и b B выполнено неравенство a b . Тогда существует единственное число c , удовлетворяющее неравенству a c b .

Свойство непрерывности множества действительных чисел позволяет установить взаимно однозначное соответствие между множеством R и множеством точек на прямой. На прямой выберем точку O - начала отсчета, укажем направление отсчета и единицу измерения, тем самым полностью определив числовую ось. На ней вещественные числа изображаются в виде точек. Каждой точке M соответствует координата точки – число x равное по величине

длине отрезка OM со знаком "

" , если точка находится справа от начала отсчета и со знаком

" ", если слева.

Пример 1. Доказать, что

2 - иррациональное число.

Доказательство. Если бы существовало рациональное число r

2 , то его можно было бы

записать в виде несократимой дроби r

, причем должно было бы выполняться равенство

m 2

2 , т.е. m 2

2n 2 , но

тогда

должно быть четным

числом m 2k , а потому

2k 2 2n2 , т.е. 2k 2

n 2 .

Отсюда следует,

что и число n

четно. Но тогда дробь

вопреки предположению со-

кратима. Таким образом, пришли к выводу, что 2 - иррациональное число.

Пример 2. Если

A - множество площадей многоугольников, вписанных в окружность

радиуса r , а B - множество площадей многоугольников, описанных вокруг той же окружности, то эти числовые множества разделяются единственным числом – площадью круга радиуса r .

В современном математическом анализе чаще используют аксиоматический подход к определению действительного числа, предложенный немецким ученым Д.Гильбертом.

Определение 1. Множество элементов, обладающих свойствами 1-17 и содержащее более чем один элемент, называется множеством действительных чисел, а все его элементы – действительными числами.

Это определение однозначно задает множество действительных чисел.

Расширенная область

R действительных чисел или, говорят, расширенная числовая

прямая состоит из всех действительных чисел R и двух символов или точек

и .

Возьмем два числа a,b

R , такие, что a

b . Отметим их точками на числовой прямой.

Если a x

b , то множество

x : a

обозначают a, b и называют интервалом

(или открытым промежутком).

Множество

x :

обозначают

a,b

и называют отрезком (или замкнутым

промежутком).

Множества

x :

x : a

b обозначают соответственно

a, b и a, b и

называют полуинтервалами (или полуоткрытыми промежутками).

Множества x : a x

и x :

x b обозначают соответственно a,

, b и назы-

вают лучами.

Множества x : a x

и x :

x b обозначают соответственно a,

, b и назы-

вают открытыми лучами.

Луч и открытый луч называют также бесконечными промежутками.

Числовая прямая, интервал, отрезок, полуинтервал, луч и открытый луч объединяются общим термином

числовой промежуток (числовой интервал).

В математическом анализе многие важные утверждения доказываются на основании следующего принципа вложенных отрезков.

Определение 2. Система числовых отрезков

a1, b1 , a2 , b2 , …, an , bn , …, ai				R , bi	R ,	i 1, 2,
называется системой вложенных отрезков, если
a1	a2 an	bn	b2		b1 ,
т.е., если
a1, b1	a2 , b2	an , bn		(рис.5).

a1 a2

b2 b1

Рис. 5

Теорема.1. Всякая система вложенных числовых отрезков имеет непустое пересечение.

Теорема 2. Для всякой системы вложенных отрезков, длины которых стремятся к нулю, существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам данной системы.

Напомним понятие модуля действительного числа и его свойства.

Определение 3. Модулем действительного числа a называется неотрицательное действительное число, удовлетворяющее условию

a при a 0, a при a 0.

Для любых a, b R справедливы следующие свойства абсолютных величин

0 ,

a ;

2. если

0 , то это эквивалентно тому, что a 0 ;

a b

b 0 ;

(неравенство треугольника);

1.6.Ограниченные числовые множества. Точные грани числовых множеств

Определение 1. Числовое множество E называется ограниченным сверху (снизу), если существует число M R ( M R ) такое, что для всех x E выполняется неравенство x M ( x M).

Определение 2. Числовое множество, которое ограничено и сверху и снизу, называется ограниченным. Примерами ограниченных числовых множеств являются отрезок, интервал, полуоткрытый промежуток.

Число M ( M ) называется верхней (нижней) границей множества E .

Определение 3. Наименьшая из верхних границ непустого ограниченного сверху множества E называет-

ся точной верхней гранью этого множества и обозначается		sup E	sup x (supremum).
			x E
Теорема 1. Непустое множество, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань, притом единствен-
ную.
Теорема 2. Для того чтобы число	было точной верхней гранью непустого числового множества E , не-
обходимо и достаточно, чтобы:
1) для всех x E выполнялось неравенство x		;

2) для любого действительного числа	0 нашлось такое x		E , что x	.
Определение 4. Наибольшая из нижних границ непустого ограниченного снизу множества E называется
точной нижней гранью этого множества и обозначается		inf E	inf x (infimum).
			x E

Теорема 3. Непустое множество, ограниченное снизу, имеет точную нижнюю грань, притом единствен-

ную.

Теорема 4. Для того чтобы число было точной нижней гранью непустого числового множества E , не-

обходимо и достаточно, чтобы:
1)	для всех x E выполнялось неравенство x			;
2)	для любого действительного числа		0 нашлось такое x		E , что x	.
Пример 1. Пусть a R , b		R и a	b , тогда
	sup a, b	sup a, b	b	и inf a, b	inf a, b	a .

Этот пример показывает, в частности, что нижняя и верхняя грани могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству.

Пример 2. Пусть X

x :

N . Докажем, что sup X

1 , inf X

Решение. Для любого натурального числа

имеем

1, а потому 1 – одна из

верхних

граней

для

X .

Предположим

теперь,

что

1. Тогда

найдется такое m , что

другой

стороны,

потому

при n

2 10m

имеем

10m

. Из этого неравенства следует,

что

c . Мы

n 2

2 10m

10m

нашли, таким образом, элемент

X , такой, что

c .

Итак,

для множества

X и

числа 1 выполнены оба сформулированных выше утверждения, и потому sup X

1 . Само чис-

ло 1 не принадлежит X .

Далее, имеем

. Отсюда видно,

что при увеличении n

раз-

n 2

ность 1

увеличивается. Значит, наименьшее значение разности достигается при n

1, и

это значение равно

. Таким образом,

наименьший элемент множества

X , а потому

inf X

1.7. Открытые и замкнутые множества

на числовой оси

Определение 1. Для любого

-окрестностью точки a

R называется множество

x : a

В случае a

x : x

, а в случае a

x : x

1 .

Определение 2. Проколотой

-окрестностью точки a

R называется множество, по-

лучающееся удалением точки a из ее

-окрестности:

x : x a , a a, a

U a U a \ a

Определение 3. Точка a называется внутренней точкой множества A ,

если существует

-окрестность U

целиком принадлежащая A .

Определение 4. Точка a

называется граничной точкой множества

A , если в каждой ее

окрестности существуют точки как принадлежащие множеству A ,

так и не принадлежащие

множеству A .

Определение 5. Точка a называется точкой прикосновения множества A , если в каждой

ее окрестности существует хотя бы одна точка, принадлежащая множеству A .

Если точка прикосновения является одной из бесконечностей

или

, то она

называется бесконечно удаленной точкой прикосновения.

Очевидно, что все элементы числового множества являются его точками прикосновения. Точками самого множества не исчерпываются, вообще говоря, все его точки прикосновения: могут существовать точки прикосновения и не принадлежащие ему. Например, точки x a и x b являются точками прикосновения интервала a, b и не содержатся в нем.

Определение 6. Точка a называется предельной точкой множества A , если в каждой ее проколотой окрестности существует хотя бы одна точка, принадлежащая множеству A .

Предельная точка всегда является точкой прикосновения, но не наоборот.

Определение 7. Точка a называется изолированной точкой множества A , если у нее существует окрестность, не содержащая других точек множества A , кроме самой точки a .

Определение 8. Множество, содержащее все свои предельные точки, называется замкнутым.

Определение 9. Множество, у которого все точки являются внутренними, называется

открытым.

Определение 10. Совокупность всех точек прикосновения множества A называется его замыканием A . Определение 11. Ограниченное замкнутое множество называется компактом.

Пример. Рассмотрим множество A 0, 1 5 . Для этого множества: 0, 1, 5 – граничные точки;

0, 1 и 5 - точки прикосновения;

0, 1 - предельные точки;

5 – изолированная точка.

Теорема 1 (Больцано-Вейерштрасса). Всякое бесконечное ограниченное числовой множество имеет хотя бы одну предельную точку.

Эта теорема выражает принцип компактности числовой прямой.

Теорема 2. Объединение конечного числа и пересечение произвольного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Теорема 3. Дополнение замкнутого множества есть множество открытое.

Теорема 4. Объединение произвольного числа и пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.

Теорема 5 (Бореля-Лебега). Всякое открытое множество на числовой оси представляет собой сумму конечного или счетного числа попарно непересекающихся интервалов.

Перечислим также некоторые следствия, вытекающие из рассмотренных выше определений.

1)Конечное множество не имеет предельных точек.

2)Каждое рациональное число является точкой прикосновения множества иррациональ-

ных чисел.

3)Каждое действительное число является точкой прикосновения множества рациональных чисел.

4)Пустое множество замкнуто и открыто одновременно.

5)Множество Q не открыто и не замкнуто в R .

6)Множество R является как открытым, так и замкнутым.

7) Любая -окрестность точки a R - открытое множество.

8)Отрезок a, b R является замкнутым множеством.

1.8.Задачи Группа А

		1.			Даны				множества							A 0, 1, 2, , 7						,		B	3, 4, , 9 , C	3, 2, , 3, 4 ,
D 2, 3, 4, 5, 6 . Определить элементы множеств:
1)		A B C D ,												2) A B C D ,
3)			A B C D ,											4) A B C D ,
5)			A \ B B \ A ,											6) A B \ C ,
7)		C \ A D ,										8) A C D ,
9)		A \ C D ,										10) B \ D A \ C .
		2. Изобразить на числовой оси множества A B ,																				A B ,			A \ B , B \ A .
1)	A		4	, 1 , B						3	, 2 .					2) A	1		,	1	, B		1		, 2 .
1)	A			, 1 , B							, 2 .					2) A			,		, B				, 2 .
			5						4								2			3			3
3)	A 1, 2 , B 1, 4 .															4) A 0,		5		, B			4	, 1 .
3)	A 1, 2 , B 1, 4 .															4) A 0,	2			, B			7	, 1 .
																	2						7
5)	A			1		,	2	, B				1	, 2 .			6) A	2, 4 , B 3, 7 .
5)	A					,		, B					, 2 .			6) A	2, 4 , B 3, 7 .
				3		3						3
7)	A				5	, 0 , B								1	, 3 . 8) A			3, 1 , B 0, 4 .
7)	A			2		, 0 , B						2			, 3 . 8) A			3, 1 , B 0, 4 .
				2								2

9)	A		4, 0 ,						B				2, 7 .					10)				A			3	, 2 ,				B		7		, 3 .
9)	A		4, 0 ,						B				2, 7 .					10)				A		2		, 2 ,				B	6			, 3 .
																								2							6
		3. Являются ли данные отображения f																									x		множества R взаимно однозначными? Найти обратные к
ним.
1)	f x		2x 3 , 2) f x														4x 1 , 3) f x												2 3x ,
4)	f x		5x 1, 5) f x														2 4x , 6) f x												7x 4 ,
7)	f x		3 5x , 8) f x														6x 5 , 9) f x												1 2x ,
10)	f	x			4				6x ,				11)		f		x	1 x3 ,						12)		f		x		ex	1 ,
																				1						f	x			ln	x				2 ,
13)	f	x					x		1 ,				14)			f	x			1			,	15)
13)	f	x					x		1 ,				14)			f	x						,	15)
																			x			1
					e2x																										1
16)	f	x									1,		17)			f	x		3 x			1 , 18)					f		x	1	1				,
16)	f	x									1,		17)			f	x		3 x			1 , 18)					f		x	1			x		,
																																	x
																	f	x					ln	x		1 .
19)	f	x			1					x			2 ,		20)		f	x					ln	x		1 .
		4. Построить суперпозиции g f и																						f g следующих отображений.
1)	f x		13 6x									,		g x			x2			6x 1;
1)	f x			2				3x				,		g x			x2			6x 1;
				2				3x
2)	f x		11 3x									,	g x				x2			4x 1;
2)	f x			2				3x				,	g x				x2			4x 1;
				2				3x
3)	f x			6x 5							,		g x				x2			8x 3 ;
3)	f x			3x					2		,		g x				x2			8x 3 ;
				3x					2
4)	f x			3x 7							,		g x				x2			2x 5 ;
4)	f x			2x					3		,		g x				x2			2x 5 ;
				2x					3
5)	f x				3 x						,		g x				x2			4x 3 ;
5)	f x		3					2x			,		g x				x2			4x 3 ;
			3					2x
6)	f x			7 3x							,		g x				x2			10x 2 ;
6)	f x		4					3x			,		g x				x2			10x 2 ;
			4					3x
7)	f x			4 3x							,		g x				x2			6x 7 ;
7)	f x				2				x		,		g x				x2			6x 7 ;
					2				x
8)	f x			3x 1							,		g x				x2			5x 3 ;
8)	f x			5x					4		,		g x				x2			5x 3 ;
				5x					4
9)	f x					4x					,		g x				x2			x 8 ;

				2x					3
				2x					3
10)	f	x			11				4x				, g			x	x2				7x			4 .
10)	f	x				3			2x				, g			x	x2				7x			4 .
						3			2x
		5. Перечислить элементы множеств A																								B и B				A .
1)	A	1, 3			,			B					2, 3, 4			;	2)	A				3, 2,1 ,					B			4,1	;
3)	A	4, 3			,			B					1, 3, 5			;	4)	A				3, 5, 6 ,					B			4, 6	;
5)	A	1, 5			,			B					2, 5,8			;	6)	A				7, 2, 3				,	B			3, 5	;
7)	A	2,5			,			B					1,5, 4			;	8)	A				5,8,1 ,					B			6,8	;
9)	A	9, 2			,			B					2, 4, 7				; 10)			A		4, 6, 7					,	B		7, 2 .

6. Для каждого из следующих бинарных отношений, определенных на множестве R , найти область определения, область значений, нарисовать декартову диаграмму и выяснить, какими свойствами оно обладает.


	R	x, y : x x2			y y2
1)	R	x, y : x x2			y y2	, 2) R	x, y : y		x	,
3)	R	x, y	: xy 1 ,			4) R	x, y : x2	y2			1 ,
5)	R	x, y : x2		y2 ,		6) R	x, y : x2	4y2			1 ,
7)	R	x, y	: x 2 y 3 ,			8) R	x, y : 3x y 2 ,
9)	R	x, y : x		y2	1 ,	10) R	x, y : x3		y .

		7. Какому из множеств N, Z, Q, I принадлежат числа?

1)	15 ,								2) sin30 ,				3)	cos30 ,							4)						tg30 ,					5)	0,75 ,

6)	3 7 ,							7) lg5 , 8)					lg2 lg5 ,								9)						3 5 ,					10)	4 3 .
		8. Решите неравенства.

1)		x		2x 3							1 ,			2)			x 5							x		,
3)		x 1							3x 1			2 ,		4)				2x 4				1,
3)		x 1							3x 1			2 ,		4)				2x 4				1,
		x 5				3 ,									x					x 3								1		,
5)													6)															1
5)													6)														2
7)		3x 1								1	,		8)			x			1				1		,		2



																			3
							3														4
					1		3														4
9)		2x						1,					10)			5x			1		3 .



					4																										Группа Б
					4

		1. Даны множества
													A	1					,		B						1				,	C	1			, где	n N .
													A						,		B										,	C				, где	n N .
																		n											2n					2n	1
Определить элементы следующих множеств.
1) A \					B \ C C \ B ,									2) A B \ C C \ B ,
3)			A \ C C \ A C ,											4)						A \ B B \ A C ,
5)			A \ C C \ A B ,											6)						A \ B B \ A B ,
7)			A \ C C \ A \ B ,											8) A \							A \ B B \ A ,
9)	A					B \ C C \ B							,	10)						B \ C C \ B \ C .

2.Доказать следующие равенства:

1)A B C A C B C ,

2)A B C A C B C ,


				A \ B A
3)	A B	A B ,	4)	A \ B A	B	,

5)	A \ B A B ,		6)	A A \ B	A B ,
7)	A \ B A B A ,		8) A \ B A B				,
9)	A \ B B ,		10)	A \ B A \	A B ,

3.Перечислить все элементы бинарного отношения R , заданного на множестве A , нарисовать его граф

иустановить, какими свойствами оно обладает.

a,b : a b , A 1, 2, 3, 4, 5 ;

a,b : b

1 , A

5, 6, 7,8,9

;

a,b : a

b делится на 2 ,

1, 2, 3, 4, 5

;

a,b :

делится на a

b ,

1, 2,3, 4,5

;

a,b : a

1,3, 7,8

;

a, b : ab

7, 2,

3, 4, 5

;

a,b : a b 0 , A 6, 2, 7, 4, 5 ;

a,b : a

b делится на 3 ,

1, 6,8, 4,5 ;

a,b :

делится на a

b ,

8, 6,3, 4,5

;

10) R

a,b :

1,3, 2,1 ;

4. Найти обратные к данным бинарным отношениям, заданным на множестве R , и композиции отноше-

ний.

1)	R	x, y : x2 2y , R			x, y : x y 1 ;
	1	2

2)	R1	x, y : y	x	, R2	x, y : 2x y 1 ;

3) R1 x, y : xy 1 , R2 x, y : x y 1 ;

4) R	x, y : x2 y2 1 , R	x, y : 2x 3y 3 ;
1	2

5)	R	x, y : x2			y2 , R			x, y : y x 1 ;
	1						2
6)	R1	x, y : x 2 y , R2						x, y : x 2 y 7 ;
7)	R	x, y : x2			y2	1 , R			x, y : 2x y 1 ;
	1						2
8)	R	x, y : x3			y 0 , R				x, y : x 7 y 4 ;
	1						2
9)	R	x, y : x y2 , R						x, y : 2x y 2 ;
	1					2
10) R		x, y : x2			y , R			x, y : x 2 y 3 .
	1					2
	5. Для данных множеств указать граничные точки, точки прикосновения, предельные точки, изолирован-
ные точки.
1)	A	,1		5,10 20, 30, 40					,
2)	A	2,1 2, 4			6,8		,
3)	A	9, 0 1,3			5, 6, 7,8 ,
4)	A	25,	5		1,1 2,3, 4,5				,
5)	A	5,1 2, 4			10,		,
6)	A	2, 3, 4		5, 25		55,		,
7)	A	3,1		1,3,5 5,9			,
8)	A	,	4	0,1, 3		3,		,
9)	A	4,	2,		2, 2	2,8		,

10) A 9,1 2,5 6,8,9 .

Группа В

1. Доказать следующие равенства:

A B \ C

A B A C ,

A B B A

A ,

A \ B A \ B

A B \ A B ,

A \ B A \ B

B A A B ,

A \ A \ B

A B ,

B A \ B

A B ,

A \ B B \ A

A B \ A B ,

A \ B A \ C

A \ B C ,

A C \ B

A C \

B C ,

10)

A B C

A C C A B

A B C A B C

2.Выполнить следующие задания.

1)Задайте отображение множества треугольников в множество окружностей.


2)	Пусть X - множество неотрицательных, а Y - множество действительных чисел. Каждому x X по-
ставим в соответствие такое y		Y , что y4 x . Является ли это соответствие отображением? Будет ли это со-
ответствие отображением, если Y - множество неотрицательных чисел?
3)	Пусть X - множество неотрицательных рациональных чисел и Y X . Каждому x X поставим в со-
ответствие такое y Y , что y2		x . Является ли это соответствие отображением X в Y ?

4)	Пусть X - множество всех окружностей на плоскости, а Y - множество точек этой плоскости. Каждой
окружности поставим в соответствие ее центр. Является ли это соответствие отображением X на Y ? Является
ли оно взаимно однозначным?
5)	Пусть X - множество всех точек плоскости, а Y - множество точек оси ординат. Каждой точке		x X
поставим в соответствие ее проекцию на ось ординат. Является ли это соответствие отображением		X	на Y ?
Является ли оно взаимно однозначным? Что является полным прообразом точки y Y ?
6)	Пусть X - множество всех точек плоскости и l - прямая на этой плоскости. Каждой точке x	X поста-

вим в соответствие точку y X , симметричную x относительно прямой l . Является ли это соответствие ото-

бражением X на X ? Является ли оно взаимно однозначным? Что является образом квадрата, представленного на рис. 6, при указанном отображении? Какие точки переходят сами в себя при этом отображении?

	x3		x1	y
				y
			x2	1
	y2		x2
	y2	l
		l	x3	y
			x3	y
	x1			2
	x1		x4
			x4
			x5	y3
	x2	y3	x
	y1		6
		Рис. 6		Рис. 7
7)	На рис. 7 стрелки идут от x	к y f	x . Найдите f	X . Является ли это соответствие отображением
X на Y ? Является ли оно взаимно однозначным? Чему равны прообразы элементов y1 и y2 ?
8)	Пусть X - множество студентов в аудитории, а Y - множество столов в аудитории. Каждому студенту

ставим в соответствие стол, за которым он сидит. Что является прообразом элемента y Y ? Является ли это

соответствие отображением X на Y ? Является ли оно взаимно однозначным? В каком случае это отображение будет взаимно однозначным?

9) Существует ли отображение, обратное отображению f , которое ставит в соответствие: а) каждому тре-

угольнику описанную около него окружность; б) каждому квадрату описанную около него окружность; в) каждому квадрату, стороны которого параллельны осям координат, вписанную в него окружность?

10)	Докажите, что если f					- отображение				X на Y ,			g - отображение Y на Z , то g f - отображение X
на Z .
	3. Доказать, что нижеприведенные числа иррациональны.
					3 ,
1) 2	3 ,		2)	5	3 ,	3)	log 5 ,		4)	3 2 ,			5) lg2 ,
							2

6) sin10 ,			7) cos20 ,			8)	tg1 , 9)		2	3 ,			10)			n .
6) sin10 ,			7) cos20 ,			8)	tg1 , 9)		2	3 ,			10)	2		n .
		4. Для каждой строки таблицы найти пример отношения, обладающего (+) или не обладающего (-) тем
или иным свойством, или доказать, что такого соотношения не существует.

№		Рефлек-		Антиреф-				Симмет-			Антисим-			Связан-
стро-		сивность			лексив-			ричность			метрич-				ность
ки					ность							ность
1			+	+				+		+						+
2			+	+				+		+						-
3			+	+				+		-						+
4			+	+				+		-						-
5			+	+				-		+						+
6			+	+				-		+						-
7			+	+				-		-						+
8			+	+				-		-						-
9			+	-				+		+						+
10			+	-				+		+						-
11			+	-				+		-						+
12			+	-				+		-						-
13			+	-				-		+						+
14			+	-				-		+						-
15			+	-				-		-						+
16			+	-				-		-						-
17			-	+				+		+						+
18			-	+				+		+						-

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.7 Mб6Учебное пособие 1998.pdf
#
30.04.20223.72 Mб3Учебное пособие 1999.pdf
#
30.04.2022157.23 Кб7Учебное пособие 2.pdf
#
30.04.2022214.94 Кб1Учебное пособие 20.pdf
#
30.04.2022326.11 Кб2Учебное пособие 200.pdf
#
30.04.20223.82 Mб2Учебное пособие 2000.pdf
#
30.04.20223.83 Mб8Учебное пособие 2001.pdf
#
30.04.20223.83 Mб4Учебное пособие 2002.pdf
#
30.04.20223.84 Mб3Учебное пособие 2003.pdf
#
30.04.20223.86 Mб10Учебное пособие 2004.pdf
#
30.04.20223.87 Mб5Учебное пособие 2005.pdf