Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 2000

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

3.82 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Группа Б

1. Вычислить пределы функций.

16x2

1 3x2

4x4

1 3x

lim

;

lim

;

lim

4x2

;

lim

3x4

;

2x2

lim

;

lim

3 x

;

4x 1

9x 2

5 2x 1

3 x2 3

2x x x3 4

lim

x 1

;

lim

;

6 3x4

4x5

2x3

lim

3 x6

;

10)

lim

2. Вычислить пределы функций.

lim

2) lim

tg x

tg a

sin2 x

x 0

a ln x

ln a


x	4 2x8		x3
				.
x2
		9x	5
		9x	5

3)	lim			1 x sin x					1	.	4)	lim				sin x	cos x		.
3)	lim				x	2				.	4)	lim							.
	x	0		e	x	2	1					x		4 ln tg x
				e			1
			sin 2x				2sin x								esin 2x		esin x
5)	lim									.	6)	lim								.
5)	lim			x ln cos5x						.	6)	lim				tg x				.
	x	0		x ln cos5x								x	0			tg x
7)	lim		sin bx				sin ax			.	8)	lim			log3 x		1	.
7)	lim									.	8)	lim						.
	x	0 ln tg					4		ax			x	3			tg x
9)	lim			ex		e		.			10)	lim		ln x h ln x h 2ln x							.
9)	lim							.			10)	lim						sin h2			.
	x	1 sin x2					1					h	0					sin h2

3. Вычислить пределы функций.

											3

1)	lim 1		ln 1		x3				x2 arcsin x .					2)	lim 2
	x	0													x	0
											3

3)	lim 1		x sin2 x					ln 1				x3 .		4)	lim 2
	x	0													x	0
								1
5)	lim 2		3sin2 x			ln cosx .								6)	lim 1
	x	0													x	0
											1
7)	lim 1		sin	2	x			ln 1				tg2 3x	.	8)	lim 2
7)	lim 1		sin		2								.	8)	lim 2
	x	0			2										x	0
												x


					3					sin4 3 x .
9)	lim 1		ln 1		3		x			sin4 3 x .				10)	lim 2
	x	0													x	0

2 3arctg2 x sin x

esin x ctgπx .

ln cos xtg2 x .

ex2 1-cos x .

cosec2 x 5arcsin x3 x

4. Вычислить пределы функций.

e3x 1

sin 4x

cos2

4 x

lim

2 .

lim

ln 1

tg4x

lim

x 2 .

lim

x 3 .

ex3

8x 3

ln 1 x2

lim

x .

lim

8 .

	7) lim	arcsin x
	7) lim	x
	x 0	x

9)lim arctg3x

x0 x

x 1

x 5

									e x 1

.	8)	lim		tg		x			x .
.	8)	lim		tg		x			x .
		x	0	4
				22x	1	1

.	10)	lim					x	1 .
.	10)	lim		x			x	1 .
		x	0	x

Группа В

1. Построить графики функций.

xtg2n

lim

;

lim

0 ;

22n

x2n

tg2n

lim

n 1

, x

0 ;

lim

0 ;

1 arctg xn ;

lim

, x

0 ;

lim

enx

lim

n x 1

;

lim

;

enx

lim

, x

0 ;

10)

lim

0 .

x t

2. Найти односторонние пределы.

lim

;

lim

;

x 3 0

x 3

x 2 0 4 x2

x 1 x ;

3) lim

lim

7 2

x ;

lim

;

x lim

;

0 1

cos x

0 2x

lim arctg

;

lim

;

1 0

lim

;

10)

lim

x 1 0

x 1

x 3 0 x2

3. Определить порядок малости

относительно x при x 0 .

cos x

;

3 x2

x3 ;

tg x

sin x ;

sin

;

3sin3 x

x4 ;

3 1

3 x

1 ;

x 3 x

1 2x 1 x ;

cos x ;

10)

x .

5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

5.1. Непрерывность функции в точке

Определение 1. Функция

называется непрерывной в точке x

a , если она опреде-

лена в точке a

и ее окрестности и

lim f

. Это равенство можно переписать в сле-

дующем виде lim f

lim x

. Это означает, что под знаком непрерывной функции мож-

но переходить к пределу.

Пример 1. Докажем, что функция

n x непрерывна в любой точке a 0 .

Решение. Так как lim n x

n a

, то функция n x

непрерывна в точке a .

Определение 2. Функция

называется непрерывной в точке x

a , если для любого

0 существует такое

, что для всех

x ,

удовлетворяющих неравенству

выполняется неравенство

Пример 2. Докажем, что функция

sin x

непрерывна в любой точке a

R .

Решение.

Известно,

что для любого x

;

выполняется неравенство

sin x

Возьмем теперь произвольное

0 . Нам надо найти такое

, чтобы из неравенства

следовало

неравенство

sin x

sin a

Но

sin x

sin a

cos

Так

как

sin

cos

1, а

sin

то

sin x

sin a

. Значит, если выбрать

то из

следует, что

sin x

sin a

. Но это и означает непрерывность функции sin x в

точке x

a .

Определение 3. Функция

называется непрерывной в точке x

a , если для любой

окрестности U

точки

существует окрестность U

точки

такая,

что

f x

f a

для всех x

a .

Определение 4. Функция

называется непрерывной в точке x

a , если для любой

последовательности

значений аргумента,

сходящейся к a ,

последовательность соответ-

ствующих значений функции

сходится к значению

a .

Приращением

аргумента

точке

называется

разность

x0 ,

разность

f x

f x0

называется приращением функции.

Определение 5. Функция

называется непрерывной в точке x

a ,

если бесконечно

малому приращению

аргумента в точке a

соответствует бесконечно малое приращение

функции

, lim

0 .

Пример 3. Докажем непрерывность функции

f x

во всех точках a

0 .

Решение. Имеем f

. Так как

lim

0 ,

x a

то функция непрерывна.

Определение 6. Функция

называется непрерывной в точке

x a

справа (слева),

если правый (левый)

предел этой функции в точке a

равен значению функции в этой точке.

Символически это записывается так

, f

a .

Теорема 1. Для того, чтобы функция была непрерывна в точке a , необходимо и доста-

точно, чтобы она была непрерывна в этой точке справа и слева. В этом случае

lim

a 0

lim

f x

f a .

Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва

функции.

Теорема 2.

Пусть функции

g x

непрерывны в точке x

a . Тогда функции

x , f

x g

x , f

g x

также непрерывны в точке a

(частное - при условии

0 ).

Теорема 3. Пусть функция

непрерывна в точке a , а функция u

непре-

рывна в точке b

. Тогда сложная функция u

F x

также непрерывна в точ-

ке a .

Теоремы 2 и 3 дают лишь достаточные условия непрерывности суммы, произведения,

частного функций и сложной функции.

Приведем также следующие важные свойства функций, непрерывных в точке.

Теорема 4. Если функция

непрерывна в точке x

a , то она ограничена в некото-

рой окрестности этой точки.

Теорема 5. Если функция

непрерывна в точке x

a и f

0 ( f

0 ), то су-

ществует окрестность точки a , в которой

0 ( f x

0 ).

Кратко эту теорему можно сформулировать так: функция, непрерывная в точке x

a , в

достаточно малой окрестности этой точки имеет тот же знак, что и f

a .

Обратим внимание, что из непрерывности функции в точке a не следует непрерывность

этой функции в достаточно малой окрестности точки a . Например, функция

рациональное число

иррациональное число

непрерывна в точке x

0 и разрывна во всех точках отличных от нуля.

Определение 7. Функция

называется непрерывной на множестве D , если она не-

прерывна в каждой точке x

D .

Так, в примере 1 функция непрерывна на множестве точек x

0, , в примере 2 функ-

ция непрерывна на множестве

R ,

в примере 3

функция непрерывна на множестве точек

, 0

0, .

Теорема 6. Пусть функция

x непрерывна и строго монотонна на промежутке

X и

y ,

тогда обратная функция x

y также непрерывна и монотонна на промежутке

Y .

Теорема 7. Все основные элементарные функции непрерывны при всех значениях аргу-

мента x , для которых они определены.

Следствие. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она

определена.

5.2. Классификация точек разрыва функции

Существуют следующие типы точек разрыва.

Устранимый разрыв. Точка a

называется точкой устранимого разрыва функции

x ,

если предел функции в этой точке существует, но в точке x		a функция либо не определена,
либо ее значение f a не равно пределу в этой точке (рис. 50,а).
а)	б)	в)
	Рис. 50

Пример 1. Функция sin x x в точке x 0 , как известно, имеет предел равный единице.

Однако в самой точке эта функция не определена, этот разрыв можно устранить, если доопределить функцию в этой точке значением предела в ней, тогда функция будет непрерывной на всей числовой оси.

Разрыв первого рода. Точка a называется точкой разрыва 1-го рода функции f x , если

в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы (рис.

50,б).

Пример 2. Для функции		f	x =sign x точка x 0 является точкой разрыва первого рода,
так как f 0 0	1 , а f 0	0	1 .

Разрыв второго рода. Точка a называется точкой разрыва 2-го рода функции f x , ес-

ли в этой точке функция не имеет, по крайней мере, одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен (рис. 50,в).

Пример 3. Для функции f		x	1 x точка x 0 является точкой разрыва 2-го рода, по-
скольку lim	.
x 0
Пример 4. Для функции sin		1	точка x 0 является точкой разрыва 2-го рода, так как ни
Пример 4. Для функции sin		x	точка x 0 является точкой разрыва 2-го рода, так как ни
		x

левого, ни правого предела функции в этой точке не существует.

5.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение. Функция f x называется непрерывной на отрезке a, b , если она не-

прерывна в каждой внутренней точке отрезка, в точке a справа, а в точке b слева.

Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то

она ограничена на этом отрезке.
Для интервала теорема 1 не имеет места. Так, например, функция f x	1	непрерывна
	x	непрерывна
	x
на 0, 1 , но не ограничена на этом интервале.

Разрывная функция, определенная в любой точке отрезка, может не быть ограниченной на этом отрезке, например,

f x	1 x, если 0	x 1 .
	0, если x	0

Теорема 2 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений: M sup f x ,

m inf f x .

Теорема 2 не решает вопрос о числе точек, в которых непрерывная на отрезке функция имеет наибольшее (наименьшее) значение, она утверждает о существовании по крайней мере

одной	такой точки. Так, функция f x sin x на	отрезке				0, 4				имеет sup f x 1 и
inf f x	1 и достигает их соответственно в точках		,	5	и	3	,	7	.
		2		2		2		2

Если функция непрерывна на интервале или разрывна на отрезке, то теорема 2 не верна. Приведите примеры.

Теорема 3 (первая теорема Больцано-Коши). Если функция непрерывна на отрезке a, b и на концах его принимает значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка

c a, b , в которой f x обращается в нуль: f c 0 .

Теорема 4 (вторая теорема Больцано-Коши). Если функция непрерывна на отрезке

a, b и на концах его принимает значения

f a

A и

f b

B , то для любого числа C , за-

ключенного между A и B :

B , найдется такая точка c

a, b

,что

C .

Теоремы 3 и 4 называют теоремами о промежуточных значениях. Они могут быть ис-

пользованы для приближенного вычисления корней уравнений. Пусть надо решить уравнение

f x

0 . Если найден отрезок

a, b

, на котором

f a

и f

имеют разные знаки, то мож-

но утверждать, что на этом отрезке уравнение имеет хотя бы один корень; если при этом

функция строго монотонна, то этот корень единственный. Далее отрезок делят пополам и вы-

бирают половину, на концах которой функция имеет разные знаки и т.д. Так получают значе-

ние корня уравнения f

0 с любой наперед заданной точностью.

5.4. Равномерная непрерывность

Пусть функция

непрерывна на некотором промежутке

X . В определении 2 не-

прерывности функции в точке величина

зависит не только от

но и от a . Причем, чем

круче график функции в окрестности точки a , тем меньше

(рис. 51). Отказ от зависимости

от точки a

X приводит к понятию равномерной непрерывности.

)

(

a- a a+

a+ x

Рис. 51

Определение.

Функция

называется равномерно-непрерывной на промежутке X ,

если для любого

0 найдется такое

0 , что для любых двух точек x , x

X , удовле-

творяющих неравенству

, выполняется неравенство f

f x

Иными

словами,

равномерная

непрерывность

означает

выполнение

неравенства

f x

независимо от положения точек

x и

на промежутке

X , лишь бы раз-

ность

была достаточно малой.

Для равномерно-непрерывной функции величина

зависит только от

и является об-

щей для всего промежутка X .

Теорема Кантора. Если функция непрерывна на отрезке

a, b , то она равномерно не-

прерывна на этом отрезке.

Отметим, что эта теорема неверна для интервала или полуинтервала.

Пример. Функция

sin

непрерывна на интервале

0, 1 , однако она не является

равномерно-непрерывной на этом интервале. В самом деле, если x

1 ,

, то

sin

0 ,

sin

1 ,

1, 2, .

Так как

lim xn

lim xn 0 , то

lim

xn xn

0 .

(*)

Если 0

1, то, каково бы ни было

0 , из условия (*) следует, что всегда найдется такое

n0 , для которого

0, 1

, xn

0, 1

, а

f xn

Это и означает, что функция

sin

не является равномерно непрерывной на интервале

0, 1 .

5.5. Задачи

Группа А

1. Задана функция y f x и два значения аргумента x1 и x2 . Требуется: 1) устано-

вить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.

1)	f x	91 2 x , x1		0 , x2	2 ;
2)	f x	41 3 x , x1		1, x2	3;
3)	f x	121 x , x1	0 , x2 2 ;
4)	f x	31 4 x , x1		2 , x2	4 ;
5)	f x	81 5 x , x1		3 , x2	5 ;
6)	f x	101 7 x , x1		5 , x2	7 ;
7)	f x	141 6 x , x1		4 , x2	6 ;
8)	f x	151 8 x , x1		6 , x2	8 ;
9)	f x	111 4 x , x1		4 , x2		2 ;
10)	f x	131 5 x ,	x1	5 ,	x2	3.

2. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

2) f

2x,

cos x,

f x

x 1 2 , 0 x 2,

4) f x

1, 0 x 1,

x2 ,

6) f

sin x,

0 x

x 1,

;

f x

x 1 2 ,

1 x 0, 8) f x

tg x, 0 x

4 ,

	2x,	x	0,		2x,		x	0,
9) f x	x2 1, 0		x 1,	10) f x
9) f x	x2 1, 0		x 1,	10) f x		x, 0	x	4,
	2,	x	1;		1,		x	4;

Группа Б

1.Найти точки разрыва функции, исследовать их характер, изобразить график функции

вокрестности точки разрыва.

;

f x

;

f x

cos x

;

4 x2

;

sin x

cos x

;

ln 1

;

10)

2. Найти точки разрыва функции и определить их характер.

			21 x 2		1										x ;
1)	f		21 x 2		1	;			2) f x		2	x
1)	f		21	x 2		;			2) f x		2	x
			21	x 2	1
3)	f x			1			;		4) f x		1						;

			1 x 2		1										1 x
			2		1						1 e
5)	f	x		1	;				6) f	x						1				;

			1	21 x							2					arctg 1 x
				1														x2
7) f x								;	8) f x			ln									;
7) f x			1 ex 1 x					;	8) f x			ln				x 1 x 3					;
											1					1
				1
9)		f x		1			;		10)	f x				x			x	1	.
9)		f x					;		10)	f x				x			x	1	.
			1	ex	1 x								1					1
														x		1		x

3. Выполнить следующие задания.

1) Докажите, что нижеприведенное уравнение имеет решение на указанном отрезке:

x3 3x 1 0, x

1, 0 .

2) Докажите, что нижеприведенное уравнение имеет решение на указанном отрезке: x5 6x2 3x 7 0, x 0, 2 .

3) Докажите, что нижеприведенное уравнение имеет решение на указанном отрезке:

3sin3 x 5sin x 1 0, x 0,		.
	2

4) Докажите, что нижеприведенное уравнение имеет решение на указанном отрезке:

8x 3 2x 16 0, x 0, 2 .

5)Докажите, что каждый многочлен четной степени принимает наименьшее или наибольшее значение. Что можно сказать о коэффициенте при старшем члене этого многочлена, если многочлен принимает наибольшее значение?

6)Докажите, что каждое алгебраическое уравнение нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень.

7) Для функции f

имеем

f 7

. Следует ли отсюда

существование такого c , что 5

7 и

f c 0 ?

8) Для функции f

имеем

4 ,

f 2

10 , f 4 6 .

4 2

Существует ли значение c

такое, что

1 и

7 ?

9) Будет ли функция f

1 в какой-либо точке отрезка

1, 2

принимать зна-

чение, равное нулю?

10) Принимает ли функция

наименьшее и наибольшее зна-

1, 0

чения на отрезке 1, 1 ?

4. Ответьте на следующие вопросы.

1)Можно ли утверждать, что функция, определенная во всех точках отрезка, будет ограничена на нем? Приведите примеры.

2)Всегда ли функция, определенная во всех точках отрезка и ограниченная на нем, достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значений? Приведите примеры.

3)Можно ли утверждать, что функция, непрерывная на отрезке, достигает на этом отрезке наибольшего (наименьшего) значения лишь в единственной точке?

4)Можно ли утверждать, что функция, определенная на некотором отрезке и принимающая на концах этого отрезка значения разных знаков, будет в некоторой точке отрезка принимать значение, равное нулю? Приведите примеры.

5)Может ли функция, непрерывная на отрезке a, b и принимающая значение, равное

нулю, лишь в единственной точке интервала

a, b , не принимать на

a, b

значений разных

знаков?

6) Множество значений функции, определенной на отрезке

a, b , есть отрезок. Можно

ли утверждать, что функция непрерывна на a, b ?

7) Может ли функция, непрерывная на множестве X , принимать на этом множестве

только два различных значения, если: а) X - отрезок; б) X

1, 2

4, 5

; в)

0, 1 3 ?

8) Существует ли непрерывная функция, отображающая отрезок

a, b

на всю число-

вую прямую?

9) Существует ли непрерывная функция, отображающая отрезок

a, b

на интервал

c, d

10) Существует ли непрерывная функция, отображающая отрезок

a, b

на множество

0, 1 3, 4 ?

Группа В

Функция

f x

не

определена в точке

0 .

Постройте функцию

F x

x , x

так, чтобы функция была непрерывной при x

0 .

1) f

x 1 x ;

x arctg

;

3) f

23x

;

ln 1 3x

;

5) f

5 1

;

arcsin x

;

sin x

2 tg x

arctg

f x

4 x 2

;

8) f x

;

arcsin 2x

1 cos x

1 x 1

;

10) f x

f x

tg x

ln 1

2. Исследовать на непрерывность и нарисовать эскизы графиков следующих функций.

sign

sin x

;

sign

cos

;

sign

sin

;

x sin

x ;

;

sin x ;

10)

sec

3. Исследовать на равномерную непрерывность в заданных областях следующие функ-

ции.

, 0

2) f

sin x2 ,

;

f x

; 1 x 1;

f x

ln x , 0 x 1;

4 x2

sin x

, 0

;

ex cos

, 0 x

arctg x ,

;

f x

x , 1

;

x sin x , 0

; 10)

sin x ,

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные понятия и методы математического анализа являются в настоящее время необходимым элементом образования любого специалиста в области компьютерных наук, независимо будет ли он заниматься исследовательской или практической деятельностью.

Надеемся также, что навыки строгих логических рассуждений, умение применять математические методы к решению задач, приобретенные в процессе работы с пособием, будут полезными как при изучении других математических и смежных с ними дисциплин, так и в процессе всего дальнейшего обучения в вузе, а также в будущей профессиональной деятельности.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20223.7 Mб6Учебное пособие 1998.pdf
#
30.04.20223.72 Mб3Учебное пособие 1999.pdf
#
30.04.2022157.23 Кб7Учебное пособие 2.pdf
#
30.04.2022214.94 Кб1Учебное пособие 20.pdf
#
30.04.2022326.11 Кб2Учебное пособие 200.pdf
#
30.04.20223.82 Mб2Учебное пособие 2000.pdf
#
30.04.20223.83 Mб8Учебное пособие 2001.pdf
#
30.04.20223.83 Mб4Учебное пособие 2002.pdf
#
30.04.20223.84 Mб3Учебное пособие 2003.pdf
#
30.04.20223.86 Mб10Учебное пособие 2004.pdf
#
30.04.20223.87 Mб5Учебное пособие 2005.pdf