Учебное пособие 1816
.pdfФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет
С.М. Алейников, В.К. Евченко
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Учебно-методическое пособие
Рекомендовано редакционно-издательским советом Воронежского государственного архитектурно-строительного университета в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по специальности
270115 «Экспертиза и управление недвижимостью»
Воронеж 2009
УДК 517.9 (073) ББК 22.143я7 A458
Алейников, С.М.
A458 Линейная алгебра [Текст] : учеб.-метод. пособие/ С.М. Алейников, В.К. Евченко; Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т. – Воронеж, 2009. – 184 с.
ISBN 978-5-89040-242-4
Пособие написано в соответствии с программой курса высшей математики для специальности «Экспертиза и управление недвижимостью». Содержит основные теоретические сведения по линейной алгебре, решение типовых задач, а также задания для расчетно-графической работы.
Предназначено для студентов, обучающихся по специальности 270115 «Экспертиза и управление недвижимостью».
Ил. 10. Табл.1. Библиогр.: 4 назв.
УДК 517.9 (073) ББК 22.143я7
Рецензенты: кафедра информатики и прикладной математики Московского государственного строительного университета; В.Г. Звягин, д. ф.-м. н., проф., зав. кафедрой алгебры и топологических
методов анализа Воронежского государственного университета
ISBN 978-5-89040-242-4 |
© Алейников С.М., |
|
Евченко В.К., 2009 |
|
© Воронежский |
|
государственный |
|
архитектурно- |
|
строительный |
|
университет, 2009 |
Оглавление |
|
Введение ............................................................................................................................. |
5 |
Лекция 1. Матрицы и действия над ними ...................................................................... |
6 |
1.1. Основные определения .............................................................................................. |
6 |
1.2. Виды матриц ............................................................................................................... |
6 |
1.3. Действия над матрицами ............................................................................................ |
9 |
Лекция 2. Определитель n -го порядка. Обратная матрица ......................................... |
13 |
2.1. Определитель n -го порядка ...................................................................................... |
13 |
2.2. Обратная матрица ....................................................................................................... |
15 |
2.3. Вычисление обратной матрицы ................................................................................ |
16 |
Лекция 3. Системы линейных алгебраических уравнений .......................................... |
19 |
3.1. Основные определения .............................................................................................. |
19 |
3.2. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений ....................... |
20 |
3.3. Практический способ нахождения обратной матрицы ........................................... |
24 |
3.4. Ранг матрицы ............................................................................................................... |
26 |
3.5. Вычисление ранга матрицы ....................................................................................... |
27 |
3.6. Решение систем линейных алгебраических уравнений .......................................... |
30 |
3.7. Применение аппарата линейной алгебры для анализа |
|
балансовых моделей ................................................................................................... |
35 |
Лекция 4. Линейные пространства ................................................................................. |
39 |
4.1. Основные определения .............................................................................................. |
39 |
4.2. Линейная зависимость и независимость векторов .................................................. |
42 |
4.3. Размерность и базис линейного пространства ......................................................... |
44 |
4.4. Действия над векторами ............................................................................................. |
46 |
4.5. Переход к новому базису ........................................................................................... |
49 |
4.6. Преобразование координат векторов при переходе |
|
к новому базису ........................................................................................................... |
50 |
Лекция 5. Евклидово пространство ................................................................................ |
53 |
5.1. Определение евклидова пространства ...................................................................... |
53 |
5.2. Норма вектора ............................................................................................................. |
55 |
5.3. Угол между векторами ............................................................................................... |
58 |
Лекция 6. Координатное представление скалярного произведения ............................ |
59 |
6.1. Матрица Грама ............................................................................................................ |
59 |
6.2. Свойства матрицы Грама ........................................................................................... |
60 |
Лекция 7. Ортонормированный базис ............................................................................ |
63 |
7.1. Ортогональная система векторов .............................................................................. |
63 |
3
7.2.Выражение скалярного произведения через координаты
вортонормированном базисе ....................................................................................
7.3.Ортогональные матрицы в евклидовом пространстве ............................................
Лекция 8. Линейные преобразования .............................................................................
8.1.Основные определения ..............................................................................................
8.2.Матрица линейного преобразования ........................................................................
8.3.Примеры линейных преобразований ........................................................................
8.4.Операции над линейными преобразованиями .........................................................
8.5.Изменение матрицы линейного преобразования
при переходе к новому базису ..................................................................................
Лекция 9. Собственные векторы и собственные значения
линейных преобразований ..........................................................................
9.1. Определения и свойства собственных векторов и собственных
значений .......................................................................................................................
9.2. Нахождение собственных векторов и собственных значений
линейного преобразования ........................................................................................
Лекция 10. Симметричные преобразования ..................................................................
10.1.Определение и свойства симметричного преобразования ...................................
10.2.Диагональный вид матрицы линейного преобразования .....................................
10.3.Диагональный вид матрицы симметричного преобразования .............................
10.4.Ортогональные преобразования ..............................................................................
10.5.Построение ортогонального преобразования ........................................................
Лекция 11. Квадратичные формы ...................................................................................
11.1. Основные определения ............................................................................................
11.2. Изменение квадратичной формы при линейном
преобразовании переменных ..................................................................................
11.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ...................................
Варианты расчетно-графических работ .....................................................................
Заключение .......................................................................................................................
Библиографический список ...........................................................................................
Предметный указатель ...................................................................................................
67
68
71
71
71
73
81
84
87
87
89
96
96
99
100
106
108
111
111
114
116
121
181
181
182
4
Введение
Алгебра – раздел математики, исследующий операции, аналогичные сложению, вычитанию, умножению, делению и выполнимые не только над числами, но и над другими математическими объектами, например многочленами, векторами, матрицами и т.д. В центре внимания алгебры оказываются свойства операций, а не объекты, над которыми производятся операции.
Логическая структура линейной алгебры проста и основывается на небольшом числе удобных в обращении понятий и аксиом. Тем не менее, вследствие абстрактного характера ее понятий усвоение курса линейной алгебры представляет значительную трудность для студентов. Содержание и порядок изложения материала в пособии целиком подчинены решению проблемы понимания курса. Кроме того, в пособии учитывается специфика подготовки студентов инженерно-строительных специальностей.
Пособие будет также полезно студентам всех технических специальностей, желающим самостоятельно познакомиться с основными понятиями линейной алгебры или восполнить имеющиеся пробелы в знаниях по этой дисциплине.
Пособие представляет собой курс лекций по линейной алгебре, неоднократно читавшийся профессором С.М. Алейниковым на строительном факультете Воронежского государственного архитектурно-строительного университета. Задания расчетно-графических работ составлены совместно профессором С.М. Алейниковым и старшим преподавателем В.К. Евченко.
Материал разбит на отдельные лекции, каждая из которых иллюстрирована разобранными примерами.
Лекции 1 – 3 содержат сведения из теории определителей и систем линейных уравнений.
Лекции 4 – 7 посвящены линейным и евклидовым пространствам, в них излагаются такие важные понятия, как размерность, базис, ортогональность и т.д.
Влекциях 8 – 9 изучаются линейные преобразования. Подробно рассмотрены вопросы, связанные с собственными значениями и собственными векторами линейного преобразования.
Влекциях 10 – 11 основное внимание уделено симметричным преобразованиям и их свойствам. Показано, как теория симметричных преобразований используется при исследовании квадратичных форм.
Авторы выражают глубокую благодарность доцентам А.М. Дементьевой и А.А. Седаеву, многие ценные замечания которых были учтены в ходе работы над пособием.
5
Лекция 1
Матрицы и действия над ними
1.1. Основные определения
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел
|
a11 |
a12 |
K a1n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
A = |
a21 |
a22 |
K a2n |
= (aij ), i =1,2,...,m; j =1,2,...,n. |
||
|
|
M |
M |
O M |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
am1 |
am2 K amn |
|
|||
Числа aij называются элементами матрицы. Первый индекс указыва-
ет, в какой строке стоит элемент, а второй – в каком столбце. Строки и столбцы называются рядами матрицы. Рассмотреть два параллельных ряда означает рассмотреть две строки или два столбца. Отметим, что в общем случае число строк не равно числу столбцов, то есть m ≠ n .
Матрицы A = (aij ) и B = (bij ) называются равными A = B , если они
имеют одинаковые размеры m ×n и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.
aij = bij привсехi =1,...,m; j =1,...,n.
1.2. Виды матриц
Нулевой матрицей называется матрица, в которой все элементы являются нулями:
0 |
0 |
K 0 |
|
||
|
0 |
0 |
K 0 |
|
|
|
|
||||
O = |
M |
M |
O M |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
K 0 |
|
|
|
|
||||
6
a1
Матрица размеров m ×1 называется матрицей-столбцом: Am×1 = aM2 .
am
Матрица |
размеров |
1×n |
называется |
матрицей-строкой: |
A1×n = (a1 a2 K an ). |
|
|
|
|
Матрица AT называется транспонированной по отношению к матрице
A , если столбцами матрицы AT являются строки матрицы A с теми же номерами, и наоборот. Если размер матрицы A – m ×n , то размер транспони-
рованной матрицы AT – n ×m . Кроме того, справедливо равенство
(AT )T = A .
|
−1 |
0 |
3 |
−1 |
1 |
|
|||
Пример 1. Если A2×3 |
|
0 |
2 |
|
|||||
= |
1 |
2 |
−9 |
|
, то (A3×2 )T = |
. |
|||
|
|
|
|
3 |
−9 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если число строк и столбцов в матрице совпадает ( m = n ), то матрица называется квадратной
a11 |
a12 |
K a1n |
|||
a21 |
a22 |
K a2n |
|||
A = |
M |
M |
O M |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|||
an1 |
an2 |
K ann |
|||
Число n называется размером, или порядком, квадратной матрицы. Элементы с одинаковыми индексами a11,a22 ,...,ann образуют главную диагональ квадратной матрицы.
Важной характеристикой квадратной матрицы является ее определи-
тель (детерминант) ([1, гл. 1, §1-5], [3, §1]):
= det A .
Если определитель квадратной матрицы равен нулю, то такая матрица называется вырожденной (особенной), иначе – невырожденной (неособенной).
7
Квадратная матрица называется симметричной, если равны элементы, симметричные относительно главной диагонали:
aij = a ji , |
i, j =1,...,n . |
Для симметричной матрицы выполнено равенство: AT = A .
Если в матрице элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны по модулю и противоположны по знаку, то такая матрица назы-
вается антисимметричной или кососимметричной:
|
|
|
aij = −a ji , |
i, j =1,...,n . |
|
|
|
|
Очевидно, что элементы антисимметричной матрицы, стоящие на |
||||||||
главной диагонали, равны нулю. |
|
|
|
|
|
|||
Пример 2. |
1 |
7 |
– симметричная матрица; |
1 |
−7 |
|
– кососиммет- |
|
|
7 |
0 |
|
|
7 |
0 |
|
|
ричная матрица.
Если в квадратной матрице все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю, то такая матрица называется нижней треуголь-
ной.
Если в квадратной матрице все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, то такая матрица называется верхней треуголь-
ной.
Если в квадратной матрице все элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю, то такая матрица называется диагональной:
aij = 0, i ≠ j .
Если все элементы диагональной матрицы, стоящие на главной диагонали, равны между собой, то такая матрица называется скалярной:
aii = λ, i =1,...,n; aij = 0, i ≠ j .
Если при этом λ =1, то такая матрица называется единичной:
1 |
0 |
K 0 |
|
||
|
0 |
1 |
K 0 |
|
|
|
|
||||
En = |
M |
M |
O M |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
K 1 |
|
|
|
|
||||
8
Отметим, что det En =1. Аналогично легко вычисляются определители верхних, нижних треугольных и диагональных матриц, у которых определитель равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:
|
|
n |
||
|
|
det A = ∏aii . |
||
|
|
i =1 |
||
В частности, |
для |
скалярной матрицы A справедливо равенство |
||
det A = λn . |
|
|
|
|
Матрицы A |
и B |
называются согласованными ( A |
• |
B), если число |
• |
||||
столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B :
Am×n •• Bn×p .
Порядок согласования матриц здесь весьма важен, то есть если матрицы A и B согласованы, то B и A не обязательно будут согласованными.
Пример 3. Рассмотрим матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
3 |
4 |
|
|
||
|
, C = |
|
|
. |
||||||
A = |
2 |
|
, B = 2 |
|
|
0 |
9 |
|
||
0 |
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−8 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь A и B - согласованные матрицы, C и A также согласованные матрицы.
1.3.Действия над матрицами
1.3.1.Сложение матриц
Матрицы одинаковых размеров можно складывать по следующему правилу:
Cm×n = Am×n +Bm×n , если cij = aij +bij , i =1,2,...,m; j =1,2,...,n .
То есть при сложении матриц элементы, стоящие на одинаковых местах, складываются.
Сумма трех и более матриц определяется по следующему правилу: A + B +C = (A + B) +C.
9
1.3.2. Умножение матрицы на число
Пусть A – матрица размеров m ×n , а λ – число, тогда
Cm×n =λAm×n = Am×nλ, если cij = λaij , i =1,2,...,m; j =1,2,...,n .
Другими словами, при умножении матрицы на число все элементы матрицы умножаются на это число.
В частном случае, когда λ = −1, получаем C = −A , такая матрица назы-
вается противоположной матрице A .
Операцию разности матриц можно ввести так:
A − B = A +(−B) . |
|
|
||
Пример 4. Даны матрицы |
|
|
|
|
−1 0 |
3 |
0 |
0 |
1 |
A = |
|
, B = |
1 |
. |
1 2 |
−9 |
3 |
1 |
|
Найти C = 3A − B .
Складывая матрицы поэлементно, получаем
−3 |
0 |
8 |
|
|
C = |
0 |
5 |
−28 |
. |
|
|
|||
Легко проверить справедливость следующих свойств операций над матрицами:
1º. A + B = B + A ; |
2º. (A + B) +C = A +(B +C) ; |
3º. A +O = A ; |
4º. A +(−A) = O ; |
5º. 1 A = A ; |
6º. α(βA) = (αβ)A ; |
7º. α(A + B) =αA +αB ; |
8º. (α + β)A =αA + βA ; |
9º. (A + B)T = AT + BT ; |
10º. α O = O . |
10