Учебное пособие 1816

Теорема Кронекера3-Капелли4. Система линейных уравнений (3.6) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, т.е.

= ~ r(A) r(A) .

Доказательство теоремы можно найти, например, в [1, гл.1, §9, с. 45].

= ~ =

на. Если же условие теоремы выполнено r(A) r(A) r , а число неизвестных равно n , то r ≤ n .

Сначала рассмотрим случай, когда r = n .

В этом случае система (3.6) будет определенной, т.е. будет иметь единственное решение. Для отыскания решения требуется определить базисный минор и соответствующие ему базисные строки и столбцы. Уравнения, не отвечающие базисным строкам, отбрасываются (они являются следствием базисных уравнений). В итоге получается система n уравнений с n неизвестными и невырожденной матрицей. Решение данной системы можно найти либо по формулам Крамера, либо методом Гаусса, либо матричным способом.

Пример. Исследовать систему

и решить в случае совместности.

Очевидно, последнее уравнение есть следствие первых трех уравнений, так как получается сложением этих уравнений. В данном случае

стной. Число неизвестных системы совпадает с рангом матрицы, следова-

3КРОНЕКЕР Леопольд (1823-1891) – немецкий математик, член Берлинской академии наук (1861). Родился в Легнице. Профессор Берлинского университета, член-корреспондент Петербургской академии наук. Основные работы относятся к алгебре и теории чисел – к теории квадратичных форм и теории групп, а также эллиптическим функциям. В алгебре его именем называется критерий совместности произвольной системы линейных уравнений.

4КАПЕЛЛИ Альфред (1855-1910) – итальянский математик. Родился в Милане. Был профессором в Палермо и Неаполе. Оставил много трудов по теории алгебраических форм, теории подстановок, теории алгебраических уравнений. теории эллиптических функций.

31

тельно, система имеет единственное решение. В качестве базисного минора возьмем

1 1 1

M = 2 3 −1 ≠ 0 . 1 −1 1

Тогда первая, вторая и третья строки матрицы системы являются базисными.

Решим систему по формулам Крамера. Вычислим определители

Отсюда по формулам Крамера получаем x1 =1, x2 = −1, x3 = 3. Рассмотрим случай, когда r < n .

В этом случае система (3.6) будет неопределенной, т.е. будет иметь бесчисленное множество решений. Для нахождения решения требуется определить базисный минор и соответствующие ему базисные строки и столбцы. Уравнения, не отвечающие базисным строкам, отбрасываются (они являются следствием базисных уравнений). Переменные, соответствующие базисным столбцам, называются базисными, остальные – свободными.

Без ограничения общности можно считать, что базисный минор располагается в левом верхнем углу матрицы системы

32

Отбросим последние (m − r) уравнений. Перенесем свободные переменные в правую часть уравнений, им придадим произвольные действительные значения

xr +1 = Cr +1, xr +2 = Cr +2 ,..., xn = Cn , где − ∞ < Ci < +∞, i = r +1,...,n .

Получаем систему r линейных уравнений с r неизвестными, в которой правые части содержат (n − r) свободных параметров Ci . Полученная система

будет иметь бесчисленное множество решений.

Пример. Исследовать систему

5x1 +10x2 +7x3 + 2x4 =11.

и решить в случае совместности.

Очевидно, последнее уравнение есть следствие первых двух уравнений. Это подтверждается вычислением ранга расширенной матрицы системы:

33

Базисными переменными будут x2 и x3 , а x1 и x4 – свободными. Перенесем свободные переменные в правую часть. Таким образом, система примет вид

2x2 −3x3 = 7 − x1 −4x4 ,

4x2 +5x3 = 2 − 2x1 + x4 .

Будем считать, что x1 = C1 , x4 = C4 , и C1 и C4 принимают любые действительные значения, т.е. являются свободными параметрами

2x2 −3x3 = 7 −C1 −4C4 ,

4x2 +5x3 = 2 −2C1 +C4 .

Решим систему методом Гаусса:

Отсюда

x3 = −1211 + 119 C4 ,

Решение системы имеет вид

где C1 и C4 принимают любые действительные значения, не связанные между собой. Правильность полученного решения легко проверить.

34

3.7. Применение аппарата линейной алгебры для анализа балансовых моделей

Цель балансового анализа – ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой – как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Связь между отраслями, как правило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. экономистом В. Леонтьевым5.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного личного и общественного потребления.

Рассмотрим процесс производства за некоторый период (например, год). Введем следующие обозначения: xi – общий (валовый) объем продукции i -ой отрасли (i =1,2,..., n ); xij – объем продукции i -ой отрасли, потребляе-

мый j -ой отраслью в процессе производства (i, j =1,2,..., n ); yi – объем конечного продукта i -ой отрасли для непроизводственного потребителя. Так как валовый объем продукции любой i -ой отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то

n

xi = ∑xij + yi , i =1,2,..., n .

j =1

Такие уравнения называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в соотношения баланса, имеют стоимостное выражение.

5 ЛЕОНТЬЕВ Василий (1906-1999) - американский экономист, удостоенный в 1973 году Нобелевской премии по экономике. Родился в Мюнхене. В 1925г. окончил Ленинградский университет, в 1924г. работал на кафедре экономической географии, продолжил учебу в Берлине, в 1928г. получил степень доктора наук. С 1975г. работал в Нью-Йоркском университете, был директором Института экономического анализа при университете до 1986г. В 1970-х годах руководил работами по прогнозированию мирового экономического развития до 2000г.. В последние годы жизни посвятил себя исключительно науке. В 1988г. был избран иностранным членом АН СССР. Главным достижением ученого стала разработка теоретических основ метода "затраты - выпуск" (метода межотраслевого баланса), одного из направлений эконометрики, в котором впервые в истории экономической науки к анализу обширных статистических данных были применены элек- тронно-вычислительные машины.

35

Введем коэффициенты прямых затрат

показывающие затраты продукции i -ой отрасли на производство единицы продукции j -ой отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij будут постоянными и зависящими от сложившейся технологии

производства. Это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

xij = aij x j , i, j =1,2,..., n ,

вследствие чего простроенная на этом основании модель межотраслевого баланса получила название линейной. Теперь соотношения баланса примут вид

где X - вектор валового выпуска, Y - вектор конечного продукта, A - матрица прямых затрат (технологическая матрица).

Тогда систему (3.7) можно записать в матричном виде

Основная задача межотраслевого баланса состоит в нахождении такого вектора валового выпуска X , который при известной матрице прямых затрат A обеспечивает заданный вектор конечного продукта Y .

Перепишем уравнение (3.8) в виде

Матрица S = (E −A)−1 называется матрицей полных затрат. Каждый

36

элемент sij матрицы S есть величина валового выпуска продукции i -ой

отрасли, необходимого для обеспечения выпуска единицы конечного продукта j -ой отрасли. В соответствии с экономическим смыслом задачи

Пример. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период, усл. ден. ед.:

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

37

Матрица A продуктивна, так как все ее элементы неотрицательны и выполнен критерий продуктивности:

max{0,07 +0,12;0,14 +0,10}= max{0,19;0,24}= 0,24 <1,

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле (3.9). Сначала найдем матрицу полных затрат:

По условию вектор Y = 144123 . Тогда по формуле (3.9) получаем вектор валового выпуска

то есть валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить на 179 усл.ед., а в машиностроительной – до 160,5 усл.ед.

38

Лекция 4

Линейные пространства

4.1. Основные определения

Определение. Множество R ( R = {x, y, z,...}) элементов любой приро-

ды называется линейным (векторным) пространством, если для его элемен-

тов определены операции сложения x + y R и умножения на вещественное число λx R , удовлетворяющие следующим аксиомам:

1.x + y = y + x , где x, y R .

2.(x + y) + z = x + ( y + z) , где x, y, z R .

3. Существует нулевой элемент θ R такой, что x +θ = x для любого

xR .

4.Для каждого x R существует противоположный элемент x* R такой, что x + x* =θ .

5.1 x = x , где x R .

6. (α β) x =α (β x) = β (α x) , где x R , α, β – вещественные числа.

7.(α + β) x =α x + β x , где x R , α, β – вещественные числа.

8.α (x + y) =α x +α y , где x, y R , α – вещественное число.

Следствия из определения линейного пространства

1. В линейном пространстве существует единственный нулевой элемент.

Доказательство. Предположим, что в линейном пространстве сущест-

39

вует два нулевых элемента θ1 и θ2 . Согласно определению нулевого элемента получаем:

θ1 +θ2 =θ1 ,

θ2 +θ1 =θ2 .

Так как θ1 +θ2 =θ2 +θ1 , то θ1 =θ2 .

2. В линейном пространстве существует единственный противоположный данному элементу элемент.

Доказательство. Пусть для произвольно выбранного элемента x R существует два противоположных элемента x1* R и x2 * R . Согласно определению противоположного элемента получаем:

(x1 * +x) + x2 * =θ + x2 * = x2 * ,

x1 * +(x + x2 *) = x1 * +θ = x1 *.

Так как левые части равенств равны, то равны и правые части, т.е x1* = x2 * .

3. Для каждого x R произведение 0 x =θ .

В самом деле, для каждого x R имеем 0 x = (0 +0) x = 0 x + 0 x .

Прибавляя к левой и правой частям этого равенства элемент противоположный элементу 0 x , получим θ = 0 x .

4. Элемент (−1) x = x *.

Действительно, используя аксиому 7 и следствие 3,

x+ (−1) x = (1 −1) x = 0 x =θ .

5.Разность элементов в линейном пространстве вводится по правилу

x+ (−1) y = x − y = x + y *.

40