Учебное пособие 1816

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

№14. Найти собственные

собственные векторы линейного

преобразования, заданного матрицей

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.28 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

ВАРИАНТ № 4

		№1. Вычислить 3А – 2В + С, где																							№2. Найти произведение матриц
	1 0 −2								−1 1 0									3 4 5								5				−7 0							4					0		5
A=											2					, C =			1		− 3 2		.																7			− 2 9
A=		2 1 −3 , B =									2		−3 4			, C =			1		− 3 2		.			−3 1 0													7			− 2 9			.
																										−3 1 0
	−4 3 5										1 −5 6								8 − 6 7																				3			0		6
																										12 6 −									4
						№3.			Даны матрицы																№4. Найти значение многочлена
			5			− 7					0						1	1			−1						f(x)= x3 + 2x - 5													от матрицы
	A =		−3 1								0	,		B =			2 9				3	.														1				0
																															A =					1				0
			12			6			− 4								7	5			− 2										A =											.
			12			6			− 4								7	5			− 2															2				−
																																				2				−	1
Найти матрицу Х, из уравнения A +2X =4B.
			№5. Вычислить определители																								№6.				Найти x из уравнения
				4		−3		2					1		0		0	0													x					2				−1
													1		0		0	0
										,			− 2		1		0	0
				1		1		0												.																							=0.
				1		1		0																							x −1					3				5
				2		2		1					3		6		1	0													x −1					3				5
				2		2		1					2		1		3	2													1				−2					4
													2		1		3	2													1				−2					4

		№7. Найти det(AB) и проверить, что																						№8. Найти матрицу, обратную к матрице
						det(AB)=det(A) det(B)																												2			5			6
			1			2					3				1			−1 1																2			5			6
			1			2					3				1			−1 1
					−1 2																											1 2 5 .
		A =			−1 2						−3 , B				=	−1 1 1 .																1 2 5 .
					1 −1 0											−1 1 1																	1 3 2
					1 −1 0											−1 1 1																	1 3 2

		№9. Решить матричное уравнение																							№10. Найти ранг матрицы и указать
							3				− 3				1	0										какой-нибудь базисный минор
							3				− 3				1	0											−8 1								−7					−5 −5
						X								=			.										−8 1								−7					−5 −5
							1 2								2 3													−2				1			−3					−1 −1
							1 2								2 3													−2				1			−3					−1 −1				.
																													1			1			−1					1		1
																													1			1			−1					1		1
№11.			При каких значениях параметра “λ”																					№12. Решить системы уравнений: а) по
	ранг матрицы равен указанному числу																								формулам Крамера; б) матричным
						1		− 2						2												способом; в) методом Гаусса
						1		− 2						2										2x		−3x			+5x				=11 2x1 −x2 +5x3 =4
																								2x		−3x			+5x				=11 2x1 −x2 +5x3 =4
					− 2 λ +1 − 6 , r = 2.																				1		2				3									5x +2x +13x =2
					− 2 λ +1 − 6 , r = 2.																					−	x	+		5x		=		10 ,						5x +2x +13x =2
																								3x			x			5x				10 ,				2)				1		2	3
						− 2			4															1)	1 2						3							2)				1		2	3
						− 2			4					− 6														−4x3 =−7
																								x1 +2x2				−4x3 =−7												3x1 −x2 +5x3 =0

№13.

x1 − 2x2 а) 5x1 + x26x1 − x2

Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их

− x

+ 2x3 +3x4 = 2

3x1 + 4x2 − x3 = 0

= 0, б) x1 + 2x2 − x3 =

− x2 − x3 − 2x4 = 0,

+ x3

= 0 .

, в) x1

г) x1 + 2x2

x2 + x4 = 2

+ x2 + x4 = −1

+ x3

+3x

− 2x

= 0 x1

2x1 − x2

= 0

131

№15. Даны координаты векторов

a = (2,1,1) ,

= (−1,3,−2) ,

c = (3,−1,2)

= (−4,11,−7) в базисе e1 ,

e2 , e3 линейного пространства R ;

а) доказать, что векторы a ,

и c образуют базис;

б) найти координаты вектора d

в базисе a , b , c .

№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров

1×3

со

скалярным

произведением

(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ,

где

x = (x1

x3 ),

y = (y1

y3 )

по

данному

базису

g1 = (−1 − 2

1),

g2 = (2

0),

g3 = (0

2) построить ортонормированный базис e1, e2 , e3 .

Найти угол

между

векторами

x = 4e1 + e2 +8e3 , y = −6e1 + e2 + e3.

№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a и B x =[x, a ]

евклидова

пространства свободных векторов найти:

а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i

, j, k ,

если a = 3i

− j +2k ;

б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i

j, k , если x = 5i + k .

−3

№18. Дана матрица

e1 ,

A =

линейного преобразования в базисе

−2

e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a ,

c , указанном в

задании №15.

−8

№19.

Указать

базис

пространства, в

котором матрица

A =

−8

линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.

№20. Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить линию, определяемую данным уравнением:

5x2 +6xy +6 y 2 −16 2x −16 2 y −16 = 0 .

132

ВАРИАНТ № 5

		№1. Вычислить А + 2В – С, где																															№2. Найти произведение матриц
	1 0 −2						−1 1 0														3 4 5																		1 8
A=	2 1 −3 ,. B =								2 −3 4									,C =			1 −3 2 .																		4 3							5 6 11 3
A=	2 1 −3 ,. B =								2 −3 4									,C =			1 −3 2 .																		4 3							5 6 11 3
																																																							.
									1																														−2				5		−2 0 0 1
	−4 3 5								1		−5 6										8 −						6 7												−2				5
																																							6				0
																																							6				0
					№3.		Даны матрицы																										№4. Найти значение многочлена
			3			4			1					1			1			−1																f(x)= –x3 – 3x + 2 от матрицы
				0						,	B =			2 9 3										..																						1 0
		A =		0		2 5																																								1 0
				−1		− 2 3								7 5						− 2																							A =						.
				−1		− 2 3								7 5						− 2																										2
																																														2		−1
Найти матрицу Х из уравнения 5A–X–B=0.
		№5. Вычислить определители																																			№6. Найти x из уравнения
			−1 3 2								0 0 0 2																												x					1 2						2			1
			2		8		1	,			1		3				6			8		.																	3					2 −1				=		2			1			.
			1 1 2								1 2 3 4											.																	3					2 −1				=		−1 3						.
											2		2				−2			1																		x −5						1		1
											2		2				−2			1																		x −5						1		1


	№7. Найти det(AB) и проверить, что																												№8. Найти матрицу, обратную к матрице
				det(AB)=det(A) det(B)																																								1		2	2
				1 1 1										1 0 2																														2		1	5
		A =									B =					2 1 1																												2		1	5		.
		A =			2 2 1 ,						B =					2 1 1							.																					1		3	2
																3		1			4																							1		3	2
					1 1 3											3		1			4
	№9. Решить матричное уравнение																															№10. Найти ранг матрицы и указать
													1					2																	какой-нибудь базисный минор
						− 2 0							1					2																					1					2		−9 1 3
				X		− 2 0					=																												1					2		−9 1 3
				X							=		3					4	.
													3					4	.																				1					2		−4 0 1 .
						1 1																																	1					2		−4 0 1 .
												− 2 2																												−3			−2			−1 1 1
												− 2 2																												−3			−2			−1 1 1
																																								−1				2		−	14		2			5
																																								−1				2		−	14		2			5
№11. При каких значениях параметра “λ”																														№12. Решить системы уравнений: а) по
	ранг матрицы равен указанному числу																																формулам Крамера; б) матричным
				0			0					4																								способом; в) методом Гаусса
				−1		λ + 2 1											r = 3.															2x1 +3x2 +5x3 =12																		2x1 − x2 = 0
				−1		λ + 2 1							,				r = 3.															2x1 +3x2 +5x3 =12																		2x1 − x2 = 0
				1			3																						1) x						−4x						+3x				= −22, 2) x							+2x							− x =1.
				1			3				− 7																						1						2				3														2					3
																																	1						2				3							1							2					3
																																3x1 − x2 −2x3 = 0																		x2 + x3 = 0
		№13.				Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
	3x1 −7x2 =4								2x1 −3x2 + x3 = 0																				2x1 + x3 + 2x4 = 5																		3x				−	5x		2		− x				3		= 0
а)																												в)																		г)			1					2						3
а)							б) x2 − x3 − x4 =1																					в)				−					+					=				г)					−				−							=
	2x −3x =1,																													x		−		x			+		x			=	0 ,					2x			−	x			−			2x				=	0.
		1		2																							,			x	2			x		3			x	4			0 ,					2x				x	2					2x			3		0.
		1		2																							,				2					3				4									1				2								3
		−4x2 =3							x1 + x2 + 2x3 = 0
	x1	−4x2 =3							3x			− x			2		+ 2x			3	− x				4	= 0			2x1 + x2 +3x3 = 5																		x1 −4x2 + x3 = 0
											1				2					3					4

133

№15.

Даны координаты векторов a = (3,3,2) ,

= (−2,4,−1) , c = (4,−2,−1)

= (12,6,−9) в базисе e1 ,

e2 , e3

линейного пространства R ;

а) доказать, что векторы a ,

и c образуют базис;

б) найти координаты вектора d

в базисе a , b , c .

№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц

размеров

1×3

со

скалярным

произведением

(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ,

где

x =

(x1

x3 ),

y = (y1

y3 ) по

данному

базису

g1 = (0 1

2),

g2 = (2

−1),

g3 = (2

0) построить

ортонормированный

базис e1, e2 , e3 .

Найти

угол

между

векторами x = e1 −5e2 + 2e3 , y = e1 + e2 −4e3.

№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a

и B x =[x, a ]

евклидова

пространства свободных векторов найти:

а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i

, j, k ,

если a = −4i

+2k

;

б)

координаты векторов

u = A x и

v = B x

в базисе

если

, j, k ,

x = i

+5 j +k .

−1

№18. Дана матрица

A =

линейного преобразования в базисе e1 , e2 ,

e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a , b и c , указанном в задании №15.

2		−2	0
	−2	1	−2
№19. Указать базис пространства, в котором матрица A =
	0	−2	0

линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.

x2 + 2xy + y 2 −8 2x + 4 = 0 .

134

ВАРИАНТ № 6

	№1. Вычислить 0,5А + В + BС, где																																						№2. Найти произведение матриц
1 0 −2													−1 1 0												3 4 5									2 −6 13													9		1 0						0 −1					1 0 0 −1
1 0 −2													−1 1 0												3 4 5										4 0															0		−1 −1 2								0 1 0 0
	2 1			−									2 −3 4													1		−	3 2						4 0							0 −10								0		−1 −1 2								0 1 0 0
A =	2 1			−				3 B =					2 −3 4											C	=	1		−	3 2						5 1						−1 3									3										0 0 1 0
	−4 3 5																									8		−6 7							5 1						−1 3									3		−3 5 −5								0 0 1 0
	−4 3 5												1 −5 6													8		−6 7							2 −2 8											7				0 0					− 4 3					0 0 0 1
													1 −5 6																						2 −2 8											7				0 0					− 4 3					0 0 0 1

								№3.			Даны матрицы																												№4. Найти значение многочлена
			3							4			1								1			1	−1															f(x)= 4x3 – 4x2 + 1 от матрицы
	A =		0							2 5					, B =						2 9 3							..																								1			0
																					7 5 − 2																											A =				1			0
			−1 − 2 3																		7 5 − 2																											A =									.
																																																				2
Найти матрицу Х, из уравнения 3A–X=2B.																																																				2			−1
	№5. Вычислить определители																																									№6. Найти x из уравнения
		1 2 3															−2 0 0 0																														2 x + 2 −1
		2 1 1										,					−1		1					3	1		.																				1			1				−2		= 0..
		2 1 1															2		1					1	2		.																				1			1				−2		= 0..
		6				1				−8							2		1					1	2																						5		−3						x
		6				1				−8							4		0					−3	3
																	4		0					−3	3


	№7. Найти det(AB) и проверить, что																																		№8. Найти матрицу, обратную к матрице
						det(AB)=det(A) det(B)																																												0			2		1
					1 2 1														1 0 2																															0			2		1
					1 2 1														1 0 2
	A =						1 1 3															2 1 1																											−1 1 0 .
	A =						1 1 3							,				B =				2 1 1					.																						−1 1 0 .
							2 1 1															3 1 4																												1 1 0
							2 1 1															3 1 4																												1 1 0
	№9. Решить матричное уравнение																																	№10. Найти ранг матрицы и указать какой-
	−1 0												3 4										1 1																					нибудь базисный минор
	−1 0												3 4										1 1																								1			−3 5							8
										X									=							.
															2 1																																0 −1 1										2
	1 2														2 1								1 1																								0 −1 1										2
																																																0			2		−2			−4		.
																																																0			2		−2			−4
																																																		−5				1			4
																																															−2			−5				1			4
	№11.		При каких значениях “λ” ранг																																№12. Решить системы уравнений: а) по
	матрицы равен указанному числу																																					формулам Крамера; б) матричным
					λ						2					3																									способом; в) методом Гаусса
					λ						2					3					r = 3.														2x1 + x2 =3																				3x3 + x2 +6 = 0
																		,			r = 3.														2x1 + x2 =3																				3x3 + x2 +6 = 0
					1						0 −1																												+ x					= 5								, 2)			x		−2x					− x			=	5 .
					1						0 −1																						1) x						+ x					= 5								, 2)			x		−2x		2			− x		3	=	5 .
								−1			0					λ																					1				3														1				2					3
								−1			0					λ																								+ x						+2x				= 0							+4x						−2x			=13
																																				3x				+ x				2		+2x				= 0					3x		+4x				2		−2x			=13
																																							1					2				3								1					2				3
	№13.									Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их
2x + x					2				= 7				x1 − x2 + x4 =1																4x		2		+ 2x				3	−		3x			4		= 0								3x1 −5x2 −8x3 = 0
	1				2																										2						3						4								г)			− x			+3x + 2x = 0.
																																−						+					=
а) x +3x =1 , б) x2 + x3 − x4 = −1 в)																																−		3x				+		x			=			3				,
	1			2																							,		3x					3x		2				x	4					3				,					1				2						3
	1			2												2x − x + x = 0											,			1						2					4														1				2						3
																2x − x + x = 0																+ x2 + 2x3 − 2x4 =																	3							+ x2			− 4x3 = 0
x1 − 2x2 = 6													3x + x = 5																3x1			+ x2 + 2x3 − 2x4 =																	3				5x1			+ x2			− 4x3 = 0
																		1		3				4
																		1		4

135

№14. Найти собственные	значения		и	собственные векторы линейного
	−3		2	0
преобразования, заданного матрицей		− 2	1	0
	A =				.
		15	−7	4

№15. Даны координаты векторов

a = (8,1,4) ,

= (3,1,1) ,

c = (−6,−1,−3) и

= (−4,2,−5) в базисе e1 , e2 , e3

линейного пространства R ;

а) доказать, что векторы a ,

и c образуют базис;

c .

б) найти координаты вектора d

в базисе a , b ,

№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц

размеров

1×3

со

скалярным

произведением

(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ,

где

x = (x1

x3 ),

y = (y1

y3 ) по данному базису g1 = (3 0 4),

g2 = (3

−1

1), g3 = (1 2

построить

ортонормированный

базис

e1, e2 , e3 .

Найти

угол

между

векторами

x = e1 +3e2 −5e3 , y = e1 + 2e2 + e3.

№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a и B x =[x, a ]

евклидова

пространства свободных векторов найти:

а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i

, j, k ,

если a = 2i

+ j −8k ;

б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i

, j, k , если x = 9i

−5k .

−2

e2 ,

№18. Дана матрица A =

линейного преобразования в базисе e1 ,

e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a ,	b	и c , указанном в задании
№15.

		3		2	0
№19. Указать базис пространства, в котором матрица			2	2	2
№19. Указать базис пространства, в котором матрица	A =		2	2	2	линейного
			0	2	1
			0	2	1

оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.

8x2 −4xy +5y 2 + 4 5x −10 5y −41 = 0.

136

ВАРИАНТ № 7

№1. Вычислить 4А + 2В – 3С, где

	1	0	− 2		−1 1			0		3 4 5
	2	1	−3			2	−3	4			1	−3	2
A =				, B =					, C =					.
	− 4 3		5			1	−5	6			8	−6	7

		№3.		Даны матрицы
	3		4	1			1		1	−1
A =		0	2	5	,	B =		2 9		3	..

		−1						7	5 − 2
		−1	− 2 3					7	5 − 2

Найти матрицу Х из уравнения 5B = 2A +3X.

№5. Вычислить определители

2	− 2	3		6	2	0	3

6	1	1	,	0	9	0	3	.
2	− 2	3		1	2	d	2
				0	0	0	d

№7. Найти det(AB) и проверить, что det(AB)=det(A) det(B)

1 5 6					−1 3		2
	7	8			4	0	0
A = 1			,	B =				.
	8	9			6	3	1
1

№9. Решить матричное уравнение

−4		1		2	0
X			=			.
	1	4		−3	1
	1	4		−3	1

№11. При каких значениях параметра “λ” ранг матрицы равен указанному числу

№2. Найти произведение матриц

−10 54 36 0			−2	−3
0	−1 0	−2	0	−3
					.
− 3	18 11	0	2	1

№4. Найти значение многочлена f(x)= –x2 – 5x + 3 от матрицы

	1	0
A =		.
	2
	2	−1

№6. Найти x из уравнения

x2	3	2
x	−1	1	= 0.
0	1	4

№8. Найти матрицу, обратную к матрице

2	5	7
6	3	4
			.
5	−2
		−3

№10. Найти ранг матрицы и указать какой-нибудь базисный минор

0	1	−1	2	5
−3	0	4	2	2

1	2	4	0	0	.

− 2	3	7	4	7

№12. Решить системы уравнений: а)по формулам Крамера; б) матричным способом; в) методом Гаусса

4x +		2x −x =12	x +2x +3x =1
	1	2 3	1	2	3
1) x1	+2x2 + x3 =7 , 2)		5x1 +8x2 −x3 =7 .
	−x3 = −1			−3x2	+2x3 =9
x2			2x1

№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их

2x + x		2	= 0		4x1 + x3 +3x4 =1								2x	2	+ x		3	+ 4x		4	= 0	4x − x		2	− x		3	=		0
	1	2												2			3			4			1	2			3
а) x1	+ x2 = −3 , б) 3x1						− x3 + x4 = 2					, в) x1		− x3 + x4 =							2 , г) x1		+ x2 + x3 = 0 .
3x + 2x				= −3	x1 + 2x3 + 2x4 =							0	x	+ 2x				+5x			=1	3x −2x				−2x				= 0
	1		2		3x	2	− x	3	− x	4	= −1		1			2			4				1		2				3
						2		3		4

137

№15. Даны координаты векторов

a = (4,1,8) ,

= (1,1,3) , c = (−3,−1,−6)

= (9,−2,12) в базисе e1 ,

e2 , e3

линейного пространства R ;

а) доказать, что векторы a ,

и c образуют базис;

б) найти координаты вектора d

в базисе a , b , c .

№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц

размеров

1×3

со

скалярным

произведением

(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ,

где

x =

(x1

x3 ),

y = (y1

y3 )

по

данному

базису

g1 = (2

− 2

1),

g2 = (0

0),

g3 = (0

1) построить

ортонормированный

базис

e1, e2 , e3 .

Найти

угол

между

векторами x = e1 + 2e2 −2e3 , y = 4e1 + e2 + e3.

№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a

и B x =[x, a ]

евклидова

пространства свободных векторов найти:

а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i

j, k ,

если a = 6i

−4 j +k ;

u = A x

v = B x

б)

координаты векторов

базисе

j, k ,

если

x = 2i

−2 j +k .

−5

№18. Дана матрица

e2 ,

A =

линейного преобразования в базисе e1

−1

e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a ,

и c , указанном в задании

№15.

№19.

Указать

базис пространства, в

котором

матрица

−

A =

−4

линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.

x2 −8xy +7 y 2 +6 5x −6 5y −5 = 0 .

138

ВАРИАНТ № 8

№1. Вычислить А – 5В – 4С, где

	1	0	− 2		−1 1			0		3 4 5
	2	1	−3			2	−3	4			1	−3	2
A =				, B =					, C =					.
	− 4 3		5			1	−5	6			8	−6	7

		№3.		Даны матрицы
	3		4 1						1 1 −1
A =		0	2 5 ,				B =			2 9 3				..

		−1 −								7 5 − 2
		−1 −		2 3						7 5 − 2
Найти матрицу Х из уравнения A + 3X = 5B.
№5. Вычислить определители
	1		2		3	,			1	1	1	1
	1		2		3				1	1	1	1
	− 5		1		−1				1	2	1	2	.
	2		−3		1				1	1	3	1	.
	2		−3		1				1	2	1	4
									1	2	1	4
№7. Найти det(AB) и проверить, что
		det(AB)=det(A) det(B)
−1 2 1										3 5				7
	1						B =
A =	1		0 3 ,				B =			12		−8 −1 .
	3		−4 1
	3		−4 1							0 15 2
№9. Решить матричное уравнение
	1		2					4		3		2
				X =								.
	− 2 3
	− 2 3							1 0 −1

№11. При каких значениях параметра “λ” ранг матрицы равен указанному числу

− 2		0	6		r = 1.
				,	r = 1.
	1	λ	−3
	1	λ	−3

№2. Найти произведение матриц

6	−3	4 1	2	9
6	−3	4 1	−7	4
0	−2	−5 4	−7	4
0	−2	−5 4	13	0	.
			13	0
			−1	1
			−1	1

№4. Найти значение многочлена f(x)= 5x2 – 5x + 3 от матрицы

	1	0
A =		.
	2
	2	−1

№6. Найти x из уравнения

1 3 x

4 5 −1 = 0.

2 −1 5

№8. Найти матрицу, обратную к матрице

2	3	−1
3	−2	4
			.
1	−1	0

№10. Найти ранг матрицы и указать какой-нибудь базисный минор

−1		4	2	0
	1	8	2	1
					.
	2	7	1	−4

№12. Решить системы уравнений: а)по формулам Крамера; б)матричным способом; в) методом Гаусса

	2x +3x				2	− x = 4	x1 +5x2 + x3 = 0
		1				3
1)	x + 2x				+ 2x = 5 , 2)				−4x		−3x = −1.
				2			2x			2
		1				3		1			3
			+ 4x2 −5x3 = 2						+4x2		+2x3 =8
	3x1						3x1

№13. Исследовать системы уравнений и в случае совместности решить их

7x1 − x2 =1

2x2 + x3 + 4x4 = 0

3x1 + x2 + x3 = 4

+ x

−3x

= 0

а)

в)

+ x

− 2x

= 2 , г)

+ x2 = 3 ,

б) x1 + x3 −3x4

− x2 + x3 = 0 .

3x1

−2x3 =

4x1

− 2x2 = −2

2x1 − x2

+ 2x2 − 2x3 = 0

4x1

3x + 2x

+ x

= 5

2x1 + x2 + 2x4 = 2

3x1

139

№14. Найти собственные	значения			и	собственные векторы линейного
		1	8	23
преобразования, заданного матрицей		0	5	7
	A =				.
		0	3	1

№15. Даны координаты векторов

a = (2,7,4) ,

= (3,−5,0) ,

c = (4,0,11)

= (33,24,39) в базисе e1 , e2 ,

линейного пространства R ;

а) доказать, что векторы a ,

и c образуют базис;

б) найти координаты вектора d

в базисе a , b , c .

№16. В евклидовом пространстве вещественных матриц размеров

1×3

со

скалярным

произведением

(x, y)

= x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ,

где

x = (x1

x3 ),

y = (y1

y3 ) по данному базису

g1 = (1

2), g2 = (0

1), g3 = (2 2

построить

ортонормированный

базис

e1, e2 , e3 .

Найти

угол

между

векторами

x = −8e1 + e2 −3e3 , y = e1 +5e2 −e3.

№17. Задано линейное преобразование A x = (x, a )a

и B x =[x, a ]

евклидова

пространства свободных векторов найти;

а) матрицы линейных преобразований A и B в ортонормированном базисе i

j, k ,

если a = i

+3 j +k ;

б) координаты векторов u = A x и v = B x в базисе i

, j, k , если x = i + j .

№18. Дана матрица A =

линейного преобразования в базисе

e1 ,

−1

−3

e2 , e3 . Найдите матрицу линейного преобразования в базисе a ,

c , указанном в

задании №15.

−6

−3

№19.

Указать базис пространства, в

котором матрица

−6

A =

−3

линейного оператора A имеет диагональный вид, и привести ее к диагональному виду.

6x2 + 4xy +9 y 2 −15 5x −5 5y −50 = 0 .

140

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 1914 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.27 Mб6Учебное пособие 1811.pdf
#
30.04.20222.27 Mб4Учебное пособие 1812.pdf
#
30.04.20222.27 Mб3Учебное пособие 1813.pdf
#
30.04.20222.28 Mб4Учебное пособие 1814.pdf
#
30.04.20222.28 Mб2Учебное пособие 1815.pdf
#
30.04.20222.28 Mб6Учебное пособие 1816.pdf
#
30.04.20222.28 Mб3Учебное пособие 1817.pdf
#
30.04.20222.29 Mб4Учебное пособие 1819.pdf
#
30.04.2022314.93 Кб3Учебное пособие 182.pdf
#
30.04.20222.29 Mб19Учебное пособие 1820.pdf
#
30.04.20222.3 Mб3Учебное пособие 1822.pdf