Учебное пособие 1816

Тогда система (3.1) в матричной форме примет вид

В этом случае матрицей системы является квадратная матрица

Если матрица A невырожденная, т.е. ее определитель не равен нулю,

то для нее существует обратная матрица A−1 . Решим матричное уравнение (3.2) с использованием обратной матрицы, для чего умножим обе части урав-

нения (3.2) на матрицу A−1 слева:

A−1AX = A−1B,

EX = A−1B ,

21

Отметим, что решение X = A−1B единственно. Действительно, если X1 еще какое-нибудь решение матричного уравнения (3.2), то AX1 = B. Умно-

жим обе части уравнения на матрицу A−1 слева, получим X1 = A−1B , и, следовательно, X1 = X .

Отыскание решения системы по формулам (3.4) является матричным способом решения системы.

Пример. Решить систему

3x1 +5x2 −2x3 =1,

x1 −3x2 +2x3 = 2,6x1 +7x2 −3x3 =1,

используя формулу (3.4).

Выпишем соответствующие матрицы:

Обратная матрица имеет вид

Отсюда, используя формулу (3.4), получаем

Таким образом, x1 = 0,1; x2 =1,3; x3 = 2,9 .

Сделаем проверку. Для этого подставим найденные значения в каждое уравнение системы:

22

Рассмотрим подробнее равенство (3.4), переписав его в компонентной форме:

n

xi = ∑aij−1 bj , i =1,2,..., n ,

j =1

здесь aij−1 – это элемент обратной матрицы A−1 , стоящий на пересечении i - ой строки и j -ого столбца. Пользуясь определением обратной матрицы, получаем

Получили формулы Крамера1 для решения систем линейных уравнений с определителем , отличным от нуля. Теперь можно сформулировать следующую теорему.

Теорема. Если определитель системы (3.3) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам

(3.5).

1 КРАМЕР Габриэль (1704-1752) – швейцарский математик. Родился в Женеве. Был учеником и другом Иоганна Бернулли. Издатель трудов Иоганна и Якоба Бернулли, переписки Г.Лейбница с Иоганном Бернулли. Профессор математики и философии. Основные работы относятся к высшей алгебре и аналитической геометрии. В алгебре установил и опубликовал (1750) правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными, заложил основы теории определителей. Во «Введении в анализ алгебраических кривых» (1750) Крамер существенно развил идеи современников по аналитической геометрии; исследовал особые точки. ветви, кривизну и т.п. алгебраических кривых высших порядков.

23

Перепишем соотношения (3.5) в виде

xi = i , i =1,2,..., n .

Пусть система линейных уравнений (3.3) является однородной, тогда

нулевое решение, следовательно, условие = 0 является необходимым для существования ненулевых решений у однородной системы. Именно нахождение ненулевых решений при решении однородных систем представляет интерес. Для того, чтобы решение было ненулевым, необходимо, чтобы хотя

бы одно из xi было отлично от нуля. Тогда для того, чтобы было выполненоxi = 0 , необходимо, чтобы определитель был равен нулю, = 0 .

Теорема. Для того чтобы однородная система обладала ненулевыми решениями, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

3.3. Практический способ нахождения обратной матрицы

Рассмотрим квадратную невырожденную матрицу

24

Обозначим

Тогда решение систем

AX = B(i ) , i =1,2,...n

можно записать в матричном виде:

x2(1) = a21−1, xn(1) = an−11,

решая систему с правой частью B(2) , получим второй столбец обратной мат-

рицы, и т.д. Решая систему с правой частью B(n) , получим последний столбец обратной матрицы.

Таким образом, практический метод состоит в следующем: решается n систем линейных уравнений, матрицы которых совпадают с данной матрицей, а свободные члены образованы столбцами единичной матрицы. Решения таких систем являются столбцами обратной матрицы. Отметим, что наиболее эффективен для решения полученных систем метод Гаусса2 ([3, § 3, с. 27]).

2 ГАУСС Карл Фридрих (1777-1855) – великий немецкий математик, астроном, физик и геодезист. Родился в Брауншвейге. С раннего возраста обнаружил выдающиеся математические способности. В 1795-1798 учился в Геттингенском университете. В 1799 защитил докторскую диссертацию, содержащую первое доказательство так называемой основной теоремы алгебры. В разностороннем творчестве Гаусса органично сочетались исследования по теоретической и прикладной математике, его работы оказали большое влияние на все дальнейшее развитие высшей алгебры, теории чисел, дифференциальной геометрии, теории притяжения, классической теории электричества и магнетизма, геодезии, многих отраслей теоретической астрономии.

25

го. Рассмотрим все миноры третьего порядка, содержащие элементы данного определителя

Так как все миноры третьего порядка равны нулю, то согласно определению ранга, r(A) = 2 , ранг данной матрицы равен двум.

Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие опе-

рации:

1)умножение какого-либо ряда матрицы на число, отличное от нуля;

2)перестановка местами двух параллельных рядов;

3)Прибавление к некоторому ряду другого параллельного ряда, элементы которого умножены на число, отличное от нуля.

28

Теорема. Ранг матрицы инвариантен относительно элементарных преобразований.

Другими словами, ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях. На основе этой теоремы ранг матрицы можно вычислять, преобразуя исходную матрицу в матрицу, ранг которой легко находится.

Базисным минором матрицы называется ее отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы. Отметим, что базисный минор можно определить не единственным образом.

Строки и столбца матрицы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, называются базисными.

Пример. Вычислить ранг матрицы

Применим элементарные преобразования. Умножим первую строку на -3 и сложим со второй строкой, затем умножим первую строку на -5 и сложим с третьей. Умножим вторую строку на -1 и сложим с третьей, далее аналогично работаем со вторым, третьим и четвертым столбцами. Ранг полученной матрицы легко вычисляется:

В качестве базисного минора можно выбрать следующий:

29

3.6. Решение систем линейных алгебраических уравнений

Напомним, что система линейных алгебраических уравнений имеет вид

~

а через A – расширенную матрицу

через X – столбец неизвестных

x1 X = xM2 .

xn

Вопрос о совместности системы (3.6) в общем виде решается с помощью следующей теоремы.

30