Учебное пособие 1747

Трехчленная скользящая средняя вычисляется по формуле

Приведем пример расчета трехчленных скользящих средних на основе данных о производстве продукции по годам (табл. 12)

Мы видим, что при расчете скользящих средних необходимо последовательно сдвигать начало периода скольжения на один год (день, месяц).

После нахождения значений скользящих средних нам необходимо построить новый, сглаженный ряд динамики. Для этого каждую из скользящих средних мы

закрепляем за серединой того периода, для которого она была рассчитана. Так, y1 - это средний объем производства за три года: 1998, 1999, 2000. Серединой пер-

вого периода скольжения является 1999 г. Поэтому y1 записываем как сгла-

женный объем производства продукции в 1999 г., y2 - объем производства в 2000 г. и т.д. (табл. 13).

Таблица 13 Ряд динамики, сглаженный с помощью трехчленной скользящей средней

Как видно из табл. 9, трехчленная скользящая средняя демонстрирует выровненный динамический ряд с разнонаправленной тенденцией движения уровней: снижение до 2002 г. и далее рост их с некоторым нарушением в 2005 г. Чтобы исправить это нарушение закономерности, можно попытаться увеличить период скольжения до 5:

31

Таблица 14 Ряд динамики, сглаженный с помощью пятичленной скользящей средней

Однако в нашем примере увеличение периода скольжения не дало положительных результатов. Трехчленная скользящая средняя дает более сглаженный ряд, чем пятичленная.

Поскольку укрупнение интервала сглаживания приводит к уменьшению числа сглаженных уровней ряда, а длина динамического ряда в экономике часто ограничена (максимум 10-15 лет), то многочленные скользящие средние практически не применяются (исключение составляет применение 12-членных скользящих средних для устранения сезонных колебаний).

Простые скользящие средние в ряде случаев позволяют выявить тенденцию лишь в общих чертах, ибо при сглаживании исчезают изгибы линии тенденции и некоторые уровни показывают вместо спада, имевшего место реально, подъем или наоборот (см., например, табл. 12 - 2005, 2006 гг.).

Более совершенным приемом считается взвешенная скользящая средняя. Если при простой скользящей средней все уровни временного ряда считаются равноценными, то при исчислении взвешенной скользящей средней каждому уровню в пределах интервала сглаживания приписывается вес, зависящий от расстояния данного уровня до середины интервала сглаживания.

Веса для уровней ряда при сглаживании могут быть взяты как коэффициенты бинома Ньютона:

Таблица 15

Взвешенная скользящая средняя определяется как средняя арифметическая взвешенная:

32

где yt - скользящая средняя; yt - уровни динамического ряда, участвующие в

расчете за интервал n; fi - веса.

Для рассматриваемого примера трехчленная взвешенная скользящая средняя за 1999 г. окажется равной

y1999 (35 1 31 2 40 1) : 4 34,25 ;

для 2000 г. соответственно получим

y2000 (31 1 40 2 34 1) : 4 36,25 .

При пятичленной взвешенной скользящей средней для 2000 и 2001 гг. получим

y2000 (35 1 31 4 40 6 34 4 18 1) :16 34,56 ;

y2001 (31 1 40 4 34 6 18 4 30 1) :16 31,06 .

Аналогично рассчитываются и для других лет взвешенные скользящие средние, результаты которых приведены в табл. 16.

Для того, чтобы определить, какой из методов сглаживания дает меньшую погрешность, необходимо рассчитать сумму квадратов отклонений фактических значений ряда от их сглаженных значений - yt y 2 . Чем меньше полученная величина, тем точнее сглаженный ряд описывает исходные данные. Так, для нашего примера оптимальным является сглаживание по методу трехчленной

33

взвешенной скользящей средней.

При сглаживании ряда динамики по чётному числу возникает вопрос: к какому периоду относить скользящую среднюю (например, ко второму или к третьему уровню для четырехчленной скользящей средней). Для решения этой проблемы существует процедура центрирования, т.е. нахождение средней величины на основе двух скользящих средних.

На рис. 7 наглядно видно, если нецентрированная средняя y1 формально относится к середине между 2-м и 3-м уровнем, то центрированную скользящую среднюю y1 можно абсолютно оправданно присвоить третьему периоду.

Если исчисляется скользящая средняя с продолжительностью периода, равной 2, то расчет производится следующим образом.

Рис. 7. Графическое представление нахождения центрированной четырехчленной скользящей средней

Расчет четырехчленной скользящей средней ведется аналогичным образом.

Нецентрированные скользящие средние:

34

Рассчитаем двухчленные и четырехчленные скользящие средние по данным нашего примера (табл. 17, 18).

35

Условно принято записывать нецентрированные скользящие средние к тому уровню ряда, который лежит непосредственно перед серединой периода сглаживания.

Задача 9. Вычисление показателей ряда динамики

Вычислите показатели для ряда Gt :

•средний уровень ряда динамики;

•абсолютный прирост;

•темп (коэффициент) роста;

•темп прироста;

•средний абсолютный прирост;

•средний темп (коэффициент) роста;

•средний темп прироста.

Для нечетных вариантов Gt - интервальный ряд.

Для четных – моментный.

Методика решения

Для характеристики развития явления во времени применяются следующие показатели:

а) абсолютный прирост ; б) темп роста Tp;

в) темп прироста Tпр.

Рассматривая данные показатели, необходимо правильно выбирать базу сравнения, которая зависит от цели исследования. При сравнении каждого уровня ряда с предыдущим получаются цепные показатели; при сравнении каждого уровня с одним и тем же уровнем (базой) получают базисные показатели.

Для выражения абсолютной скорости роста (снижения) уровня ряда динамики исчисляют статистический показатель – абсолютный прирост . Его величина определяется как разность двух сравниваемых уровней. Она вычисляется по следующим формулам:

•цепной абсолютный прирост:

Ц yi yi 1

•базисный абсолютный прирост:

б yi y0

где y0 - уровень ряда динамики, выбранный за базу для определения базисных

абсолютных приростов; yi 1 - уровень ряда динамики i-го года. Интенсивность изменения уровней ряда динамики оценивается отноше-

нием текущего уровня к предыдущему или базисному, которое всегда представляет положительное число. Этот показатель принято называть темпом роста Tp. Он выражается в процентах:

36

Темпы роста могут быть представлены в виде коэффициентов (Kp). В этом случае он показывает, во сколько раз данный уровень ряда больше уровня базисного года или какую его часть он составляет.

Для выражения изменения величины абсолютного прироста уровней ряда динамики в относительных величинах определяется темп прироста (Tпр), который рассчитывается как отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню, т.е.

Существует связь между темпами роста и прироста:

Тпр = Т Р -100 %.

Между цепными и базисными показателями изменения уровней ряда существует следующая взаимосвязь:

а) сумма цепных абсолютных приростов равна базисному приросту:

Ц1 Ц 2 Ц 3 ( y2 y1 ) ( y3 y2 ) ( y4 y3 ) y4 y1 б4

произведение цепных коэффициентов роста равно базисному:

КЦ1 КЦ2 КЦ3 ( y2 / y1) ( y3 / y2 ) ( y4 / y3 ) y4 / y1 Кб4 ;

б) деление рядом стоящих базисных коэффициентов роста друг на друга равно цепным коэффициентам роста:

Кб3 / Кб2 ( y3 / y1 ) /( y2 / y1 ) y3 / y2 КЦ3 .

Взаимосвязь цепных и базисных темпов (коэффициентов) роста позволяет при анализе, если необходимо, переходить от цепных показателей к базисным и наоборот.

Для обобщения данных по рядам динамики рассчитываются:

•средний уровень ряда;

•средний абсолютный прирост;

•средний темп роста и прироста.

Для разных видов рядов динамики средний уровень рассчитывается неодинаково.

По интервальному динамическому ряду с равными интервалами средний уровень определяется по средней арифметической простой из уровней ряда:

37

y yi , n

где yi - уровни ряда для i-го периода; n – число уровней в ряду динамики.

По моментному динамическому ряду с равными интервалами средний уровень определяется по формуле средней хронологической:

Данная формула используется, например, для расчета среднегодовой стоимости имущества при уплате налога на имущество.

Пример. На балансе предприятия числится имущество: на 01.01 – 800 тыс.

руб., на 01.04 – 1000; на 01.07 – 1600; на 01.10 – 1100, на 01.01 следующего года –

1400 тыс. руб. Определим среднюю стоимость имущества для каждого квартала. Если мы знаем стоимость имущества на начало и на конец квартала, то средней оценкой стоимости на протяжении всего квартала будет простая арифметическая средняя из крайних значений:

Можно сказать, что таким образом мы перешли от моментных показателей к интервальным. Теперь рассчитать среднюю стоимость имущества за год не составит труда. Для этого можно сложить квартальные средние и поделить их сумму на 4:

Нетрудно видеть, что данная формула преобразуется в среднюю хронологическую, а именно:

Кроме среднего уровня, при анализе и прогнозировании широко используются средние показатели изменения уровней ряда, а именно: средний абсолютный прирост и средний темп роста.

Средний абсолютный прирост определяется как средняя арифметическая простая из цепных приростов:

38

Ц . n 1

Так как Ц б , то средний абсолютный прирост можно определять следующим образом:

y y

n 0 , n 1

где n - число уровней ряда динамики; y0 - уровень ряда динамики, взятый за

базу сравнения; yn - последний уровень ряда динамики.

Для обобщения характеристики интенсивности роста рассчитывается средний коэффициент (темп) роста по средней геометрической простой:

К р m K1 K2 ... Km ,

где К1 , К 2 ,…, Кm – цепные коэффициенты роста; m – число цепных коэф-

фициентов роста.

Учитывая взаимосвязь цепных и базисных коэффициентов роста, средний коэффициент (темп) роста можно представить следующим образом:

Т р К р 100% .

Средний темп прироста:

Т пр Т р 100 .

Задача 10. Индексный метод

Рассчитать по следующим данным (табл. 15) индивидуальные индексы изменения цены по каждому товару ip, сводные индексы цены Ip, объема Iq и товарооборота Ipq. Покажите взаимосвязь индексов.

Рассчитайте по данным табл. 20 и 21 сводные индексы изменения цены.

39

Значения xi, yi и zi для табл. 15-19 выписывают из соответствующих колонок (X, Y и Z) исходных данных. При этом yi и zi берут по модулю.

40