Учебное пособие 1747

лений на предприятии m.

1.Необходимо определить среднюю величину заработной платы по предприятию для того, чтобы просто было определять величину фонда заработной платы предприятия.

2.В качестве определяющего показателя выберем величину фонда заработной платы предприятия

m

Ф x j n j .

j 1

3.Выбираем вид средней степенной, руководствуясь правилом: значение определяющего показателя не должно измениться при замене индивидуальных значений признака на среднее значение, то есть должно выполняться следующее соотношение:

mm

Фx j n j xn j ;

Полученная величина является взвешенной средней арифметической.

Задача 6. Правило сложения дисперсий. Сравнение вариаций признаков

1.Имеются данные о выработке рабочих одной специальности в

зависимости от квалификации

2.

Определить степень влияния квалификации на величину выработки и сделать вывод.

3.Распределение рабочих двух участков по стажу работы приведено в таблице:

4.

Определить, на каком участке состав рабочих более однороден по стажу работы.

21

Методика решения

В том случае, когда известны значения средней величины х, М0, Me, возникает вопрос, в какой мере индивидуальные значения признака отличаются между собой и от средней. Для этого рассчитывают показатели вариации.

Вариацией признака называют отличие в численных значениях признаков единиц совокупности и их колебания около средней величины, что и будет характеризовать совокупность. Чем меньше вариация, тем более однородна совокупность и более надена (типична) средняя величина.

К основным абсолютным и относительным показателям, которые характеризуют вариацию, относятся такие, как размах вариации; среднее линейное отклонение; дисперсия; среднее квадратическое отклонение; коэффициент вариации и др.

Размах вариации – это разность между наибольшим и наименьшим зна-

чением признака: R=xmax-xmin.

Величина показателя зависит только от крайних значений признака и не учитывает всех значений, которые содержатся между ними.

Совершеннее является определение вариации через другие показатели, которые дают возможность устранить недостаток размаха вариации.

Среднее линейное отклонение представляет собой среднюю арифметическую из абсолютных значений всех отклонений индивидуальных значений признака от среднего:

Наличие абсолютных значений отклонений от средней объясняется так: средняя арифметическая имеет нулевое свойство, согласно которому сумма отклонений от среднего индивидуальных значений признака со своими знаками равняется нулю; чтобы иметь сумму всех отклонений, отличных от нуля, каждое из них следует брать по абсолютной величине (по модулю).

Основным недостатком среднего линейного отклонения является то, что в нем не учитываются знаки отклонений, то есть их направленность. Поэтому этот показатель вариации используется редко (анализ состава работающих, ритмичность производства, обращение средств во внешней торговле и т. п.). Показателями вариации, которые бы устранили недостатки среднего линейного отклонения, являются дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

Дисперсией называют среднюю арифметическую квадратов отклонений индивидуальных значений признака. В зависимости от исходных данных дисперсия может вычисляться по формулам средней арифметической простой или

Дисперсия – это один из наиболее распространенных в экономической практике обобщающих показателей размера вариации в совокупности. Дис-

22

персию используют не только для оценки вариации, но и для измерения связей между исследуемыми факторами; распределение дисперсии на составляющие позволяет оценить влияние разных факторов, которые обусловливают вариацию признака.

Среднее квадратическое отклонение, как и дисперсия, выступает в каче-

стве широко используемого обобщающего показателя вариации. Его вычисляют, извлекая квадратный корень из дисперсии:

Смысловое значение среднего квадратического отклонения такое же. как и линейного отклонения: оно показывает, на сколько в среднем отклоняются индивидуальные значения признака от их среднего значения. Преимущество этого показателя по сравнению со средним линейным отклонением заключается в отсутствии условного предположения по суммированию отклонений без учета их знаков, поскольку отклонения используются в квадратной степени. Кроме отмеченного, преимуществом данного показателя по сравниванию с дисперсией является то, что среднее квадратическое отклонение выражается в тех же единицах измерения, что и значение исследуемого признака (руб., кг, га и др.). Поэтому данный показатель называют также стандартным отклонением.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций разных признаков, полученные при исследовании различных совокупностей, описывающих изучаемое социально-экономическое явление или процесс. Причем элементы совокупностей имеют различную природу и, вполне возможно, различные единицы измерения. Например, большой интерес имеет сравнение возраста рабочих с их квалификацией, стажа работы с размером заработной платы, себестоимости и прибыли и т. п. При таких сравнениях рассмотренные показатели вариации признаков с разными единицами измерения не могут быть использованы (например, невозможно сравнивать колебание стажа работы в годах с вариацией заработной платы в руб.).

Для осуществления такого рода сравнений, а также при сопоставлении признака в нескольких совокупностях с разными средними арифметическими используют относительный показатель вариации — коэффициент вариации.

Коэффициентом вариации называют процентное отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической величине признака:

x 100% .

Чем больший коэффициент вариации, тем менее однородная совокупность и тем менее типична средняя для данной совокупности. Установлено, что совокупность количественно однородна, если коэффициент вариации не превышает

33 %.

Дисперсия занимает особое место в статистическом анализе социаль- но-экономических явлений и является важным элементом статистических ме-

23

тодов, в частности в дисперсном анализе.

В структурированной совокупности, которая разделена на т групп за факторным признаком х, общая дисперсия 2 результативного признака у может быть представлена составляющими: межгрупповой дисперсия 2 и средней из

групповых дисперсий 2j .

Согласно правилу разложения дисперсий имеет место уравнение:

2 2 2j .

Общая дисперсия 2 измеряет вариацию результативного признака в целом по совокупности под воздействием всех факторов, которые обусловливают эту вариацию. Общая дисперсия для взвешенного результативного признака у вычисляется по формуле:

Межгрупповая дисперсия 2 характеризует вариацию признака у за счет фактора х, положенного в основу группировки, и рассчитывается по формуле:

j 1

где y j , y – соответственно средняя j-й группы и общая средняя варьируемого

признака; fi – численность единиц (частота) j-й группы.

Для расчета средней из групповых дисперсий вначале вычисляется внутригрупповая дисперсия, которая характеризует вариацию результативного признака за счет других факторов, не учтенных в группировке:

где уj – значение признака отдельных элементов совокупности. Для всех групп в целом рассчитывается средняя из групповых дисперсий, взвешенных по частотам соответствующих групп:

Пользуясь правилом разложения дисперсий, можно по двум известным дисперсиям найти третью – неизвестную, а также иметь представления о силе влияния группировочного признака.

24

Для этой цели необходимо осуществить сравнение межгрупповой дисперсии δ2 с величиной общей дисперсией σ). Для подобных сравнений вводится понятие эмпирического корреляционного отношения, которое определяется величиной

где δ2 – межгрупповая дисперсия; σ2 – общая дисперсия.

Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Характеризует влияние признака, положенного в основу группировки.

Если η=0, то группировочный признак не оказывает влияния на вариацию изучаемого признака в статистической совокупности. Если η=1, то вариация изучаемого признака осуществляется только в зависимости от признака, положенного в основу группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю.

Эмпирическое корреляционное отношение может быть только положительным. Качественная интерпретация показателя осуществляется посредством

шкалы Чэддока (табл. 10).

Таблица 10

Пример. О рабочих одной из бригад известны следующие данные:

Определить по этим данным:

а) внутригрупповую дисперсию по выработке деталей одним рабочим, имеющим данный разряд; б) среднюю из внутригрупповых дисперсий по трем группам рабочих;

в) межгрупповую дисперсию; г) общую дисперсию выработки рабочих этой бригады;

25

д) степень влияния квалификации рабочего на выработку.

1. Для расчета внутригрупповых дисперсий вычистим средние по каждой группе:

4. Определим общую среднюю величину для расчета групповой дисперсии.

i 1

5.Теперь определим межгрупповую дисперсию:

i 1

6.Определим общую дисперсию обычным способом:

7. Проверим полученный результат, вычислив общую дисперсию по правилу сложения дисперсий:

2 2 2 541,3 300 841,3 .

Таким образом, общая дисперсия, вычисленная по правилу сложения дисперсий, в точности совпадает по числовому значению с результатом вычисления ее непосредственно на основе данных по всей совокупности рабочих.

26

На основании правила сложения дисперсий можно определить показатель тесноты связи между группировочным (факторном) и результативным призна-

ками. Он называется эмпирическим корреляционным отношением, обозначается

η («эта») и рассчитывается по формуле

Для нашего примера эмпирическое корреляционное отношение:

Таким образом, можно сделать вывод о том, что между дневной выработкой деталей и квалификацией рабочих существует тесная статистическая связь, так как корреляционное отношение равно 0,8.

Задача 7. Нахождение средней и предельной ошибки выборки

1.Найдите среднюю и предельную ошибки выборки X, Y, Z. Построить доверительные интервалы для генеральной средней с вероятностью р = 90 %; 95 %; 99,7 %.

2.Для изучения производительности труда токарей машиностроительного завода было проведено выборочное обследование

x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6 рабочих

методом случайного бесповторного отбора. В результате получены такие данные:

На основании приведенных данных определите с вероятностью 0,997 предельную ошибку и интервал, в котором находится средняя часовая выработка работающих.

Методика решения

Выборочное среднее значение ~ вычисляемое по выборке ограниченного объе- x ,

ма n, будет отличаться от идеального «точного» значения x , которое можно было бы получить для бесконечно большой выборки. Разница между выборочным средним и генеральным средним называется предельной ошибкой выборки:

~ . x x

Поскольку среднее значение генеральной совокупности x обычно неизвестно, а задача заключается именно в его нахождении, существует следующая процедура для расчета предельной ошибки выборки.

Сначала определяется средняя ошибка выборки (μ):

27

где σ2 - дисперсия признака в генеральной совокупности; п - объем выборочной совокупности.

Такая формула применяется для повторной выборки. При повторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию, а затем возвращается в генеральную совокупность и наравне с другими единицами участвует в дальнейшей процедуре отбора. Тем самым вероятность попадания каждой отдельной единицы в выборку остается постоянной на всем протяжении отбора.

При бесповторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует. Поэтому вероятность попасть в выборку для оставшихся единиц увеличивается с каждым шагом отбора.

В случае расчета средней ошибки бесповторной выборки применяется скорректированная формула

где N – численность генеральной совокупности. Величина (1 – n/N) всегда меньше единицы, поэтому сопоставление приведенных формул свидетельствует о том, что применение бесповторного отбора обеспечивает меньшую ошибку выборки.

Обычно, если объем выборки не превышает 5 % генеральной совокупности, к формуле для бесповторного отбора можно не переходить.

На практике величина дисперсии признака в генеральной совокупности σ2, как правило, неизвестна, поэтому ее заменяют выборочной дисперсией S2. Это возможно, поскольку доказано, что соотношение σ2и S2 определяется равенством

стремится к единице и им можно пренебречь.

После нахождения средней ошибки выборки μ можно переходить к оценке

предельной ошибки Δ, используя следующую формулу

t ,

где t – коэффициент доверия, показывающий, во сколько раз необходимо увеличить среднюю ошибку выборки, чтобы с заданным уровнем вероятности утверждать, что разница между выборочной и генеральной средними не превысит предельной ошибки выборки.

Коэффициент доверия t определяется по таблице значений интегральной функции Лапласа при заданной доверительной вероятности.

28

Приведем наиболее часто употребляемые уровни доверительной вероятности и соответствующие им значения t.

Проявление ошибки большей, чем утроенная средняя ошибка выборки, имеет крайне малую вероятность (1 – 0,997 = 0,003 или 0,3 %) и считается практически невозможным событием. Такой уровень доверительной вероятности применяется для расчетов, требующих особенной точности. В большинстве

случаев достаточными являются 90 % и 95~% вероятности.

Зная величину выборочной средней x и предельную ошибку выборки , можно определить доверительные интервалы, в которых с заданным уровнем вероятности находится значение генеральной средней:

Задача 8. Определение тенденции развития ряда динамики

Проведите сглаживание ряда динамики (табл. 11) с помощью простой и взвешенной скользящей средней:

-для нечетных вариантов: ССП(3) – скользящая средняя простая, трехчленная; ССП(4); ССВ(5) – скользящая средняя взвешенная, пятичленная, ССВ(7);

-для четных вариантов: ССП(2), ССВ(3), ССП(5), ССВ(7).

Определить, какой из сглаженных рядов точнее описывает исходные данные, и на основании этого сглаженного ряда сделать вывод о математическом выражении тренда, т.е. уравнении тренда путем построения графиков исходного ряда и выбранного сглаженного.

Таблица 11

29

Методика решения

Рядами динамики называются статистические данные, отображающие развитие изучаемого явления во времени. В каждом ряду динамики имеются два основных элемента:

1)показатель времени, за который или по состоянию на который приводятся числовые значения t ;

2)числовые значения того или иного показателя, называемые уровнями ряда y .

Обычно выделяют три компонента ряда динамики: тренд, сезонные колебания и случайную составляющую. Нахождение математического выражения основной тенденции ряда динамики (тренда) осуществляется аналогично построению уравнения регрессии для рядов распределения. Однако в некоторых случаях колеблемость значений исследуемого показателя во времени настолько велика, что обосновать форму кривой очень сложно (рис. 6).

120

100

80

60

40

20

0

Рис. 6. Графическое изображение ряда динамики

срезкими колебаниями

Втаких случаях для выделения основной тенденции используют метод

скользящих средних. Суть метода состоит в замене абсолютных данных средними арифметическими за определенные периоды.

Скользящие средние представляют собой средние уровни за определенные периоды времени (3, 5, 7 дней, месяцев, лет) путем последовательного передвижения начала периода на единицу времени.

Усреднение на небольшом интервале удаляет случайную составляющую. Усреднение на длительном интервале (12 месяцев) удаляет и случайную составляющую, и сезонные колебания.

30