Учебное пособие 1714

Согласно теореме 12.8 определяем число остовов орграфа, входящих в вершину υ1 . Для этого вычислим алгебраическое дополнение любого элемента

первой строки матрицы K + , например элемента k11+ :

Для того чтобы найти число остовов орграфа, выходящих из вершины υ1 , вычислим алгебраическое дополнение любого элемента первого столбца матрицы K − , например элемента k11− :

Следовательно, у данного орграфа имеется четыре остова (каркаса), выходящих из вершины υ1 , и два остова (каркаса), входящих в эту вершину.

Теоремы 12.7 (Кирхгофа) и 12.8 не дают ответа на вопрос о том, сколько ребер нужно удалить из графа, чтобы получит его остов. Ответ на этот вопрос дает теорема, которая вытекает из определения дерева.

Теорема 12.9. Число ребер произвольного неорграфа G, которые необходимо удалить для получения остова, не зависит от последовательности их удаления и равно m −n + p , где m – число ребер, n – число вершин, p – число

компонент связности графа G.

Число γ (G)= m −n + p называется цикломатическим числом графа G.

Следовательно, при любом выборе остова число хорд равно цикломатическому числу γ (G). Например, у псевдографа, изображённого на рис. 87, цикломати-

ческое число равно γ (G)= m −n + p =9 −7 + 2 = 4 (при вычислении цикломати-

ческого числа петля считается однократным звеном). Заметим, что под остовом несвязного графа понимается лес.

82

υ3 υ5

Рис. 87. Несвязный псевдограф

Для мультиграфа, изображённого на рис. 85, цикломатическое число равно γ (G)= m −n + p = 6 −4 +1 =3. Один из возможных его остовов представлен

на рис. 88.

υ2 υ3

Рис. 88. Один из остовов мультиграфа

Для орграфа, изображённого на рис. 86, цикломатическое число равно γ (G)= m −n + p =8 −5 +1 = 4 . Два остова, входящих в вершину υ1 , представле-

ны на рис. 89, а все четыре остова, выходящих из этой вершины, изображены на рис. 90.

Рис. 89. Остовы, входящие в вершину υ1

83

Рис. 90. Остовы, выходящие из вершины υ1

Теорема 12.9 имеет следующие два следствия.

Следствие 12.1. Неорграф G является деревом или лесом тогда и только тогда, когда γ (G)= 0 .

Следствие 12.2. Неорграф G имеет единственный цикл тогда и только тогда, когда γ (G)=1.

84

Пример 13.1. Построить автомобильные дороги, связывающие семь посёлков таким образом, чтобы их суммарная длина была минимальной. Любые два посёлка должны быть связаны дорогой либо непосредственно либо дорогой, проходящей через другие посёлки.

Решение. Если поселки обозначить точками, а все возможные автомобильные дороги, соединяющие эти поселки, линиями с указанием их длины в километрах, то получим взвешенный граф (рис. 91).

υ5 25 υ4

Рис. 91. Взвешенный граф

Данная задача сводится к нахождению остова минимального веса. Так как исходный взвешенный граф состоит из семи вершин, то искомый остов будет включать шесть ребер. Построим пустой граф на множестве вершин исходного графа и присоединим к нему ребро минимального веса – 13 (рис. 92,а).

Далее выбираем следующее ребро наименьшего веса – 14 (рис. 92,б). На третьем, четвертом и пятом шагах соответственно выбираем ребра с весами 16 (рис. 92,в), 17 (рис. 92,г) и 19 (рис. 92,д). Следующим ребром минимального веса из оставшихся является ребро с весом 20, но это ребро в остов включать нельзя, так как оно образует цикл с ребрами весом 13 и 14. Следовательно, в остов нужно включить ребро с весом 22 (рис. 92,е). На этом построение остова заканчиваем, так как уже отобрано шесть ребер.

Таким образом, минимальная длина дорог, связывающих посёлки, равна

13 +14 +16 +17 +19 + 22 =101 км.

Замечание 13.1. Экстремальное дерево может быть построено для произвольного графа, не обязательно полного, так как связи между некоторыми вершинами могут быть нежелательными или недопустимыми.

86

Алгоритм ближайшего соседа

Алгоритм Краскала требует для построения остова предварительной сортировки рёбер графа по весам на каждом шаге, что весьма затруднительно для графов с большим числом рёбер. Несколько проще алгоритм ближайшего соседа (алгоритм Прима).

1.Отмечаем произвольно выбранную вершину графа, с которой начинается построение. Строим ребро с наименьшим (наибольшим) весом, инцидентное этой вершине.

2.Ищем ребро минимального (максимального) веса, инцидентное одной из двух уже полученных вершин. В область поиска не входят уже построенные рёбра.

3.Продолжаем далее разыскивать каждый раз ребро с минимальным

(максимальным) весом, инцидентное построенным вершинам, не включая в круг поиска все рёбра, их соединяющие.

4.Третий пункт повторяем до тех пор, пока не отберем (n −1) ребро.

Пример 13.2. Решить задачу, рассмотренную в примере 13.1, с помощью алгоритма ближайшего соседа.

Решение. Выберем в качестве начальной вершины, например, вершину υ2 (см. рис. 91). Тогда инцидентным ей ребром минимального веса является

ребро с весом 19 (рис. 93,а).

Теперь выбираем ребро минимального веса, инцидентное вершинам υ2 и υ3 . Этим ребром служит ребро с весом 16 (рис. 93,б). На третьем, четвертом и

пятом шагах соответственно выбираем ребра с весами 13 (рис.93,в), 14 (рис. 93,г) и 17 (рис. 93,д). И, наконец, включаем в остов ребро с весом 22 (рис. 93,е).

Ребро с весом 20 в остов мы не включаем по тем же соображениям, что при использовании алгоритма Краскала (оно образует цикл с ребрами весом 13

и 14).

Следует отметить, что если в качестве начальной вершины выбрать вершину υ6 , то последовательность шагов, выполняемых по алгоритму ближайше-

го соседа, совпадет с алгоритмом Краскала.

88