Учебное пособие 1714

ребра строкой может быть произвольным, а в орграфе первыми записываются начальные вершины ребра и только потом – конечные. Так, для орграфа,

изображенного на рис. 7, список ребер выглядит следующим образом:

u1 =υ3 ×υ1 , u2 =υ2 ×υ3 , u3 =υ2 ×υ3 , u4 =υ2 ×υ4 и u5 =υ4 ×υ4 .

Неорграф, представленный на рис. 8, имеет тот же список рёбер, что и орграф, изображенный на рис. 7.

Граф называется простым (обыкновенным), если он не имеет кратных рёбер и петель (см. рис. 2).

Простой граф, содержащий кратные ребра, называется мультиграфом

(рис. 9).

Граф, содержащий петли, называется псевдографом (см. рис. 8). Граф называется смешанным, если содержит и дуги, и звенья (рис. 10).

Если граф не имеет рёбер, то он называется пустым, или нуль-графом

(рис. 11).

Одновершинный нуль-граф называется тривиальным, или (1,0)-графом.

При решении задач используются графы различного вида, что определяется спецификой задачи. Примером может служить организация движения автотранспорта в городе. Будем считать вершинами графа перекрёстки дорог, рёбрами же будем считать полосы движения, соединяющие перекрёстки. В этом случае имеем мультиграф. Если на перекрёстках имеется возможность разворота (петли), то имеет место псевдограф. Если имеются улицы как с односторонним движением (дуги), так и с двухсторонним (звенья), то имеет место смешанный граф.

11

Другими словами, геометрический граф есть просто геометрическая конфигурация в пространстве, состоящая из множества точек, взаимосвязанных множеством простых кривых. На рисунках вершинам графа соответствуют жирные точки. Пересечения рёбер графа отсутствуют, т.е. рисунки явля-

ются пространственными.

Соответствующий абстрактному графу геометрический граф называется

изображением абстрактного графа.

Отметим, что у абстрактного графа могут быть различные по виду изображения, даже не похожие друг на друга (рис. 13).

Рис. 13. Изображения абстрактного графа

Введение абстрактных графов позволяет избавиться от случайных, не принципиальных геометрических характеристик, сохраняя основные комбинаторные свойства графов. В результате многие вопросы теории графов могут быть приложены к объектам различной природы. Так, например, геометрическое представление задачи о кенигсбергских мостах (см. рис. 1) показано на рис. 14.

C

A

D

B

Рис. 14. Геометрическое представление задачи о кенигсбергских мостах

13

3. Степени вершин графа

Рассмотрим отдельно случаи, когда граф G является неориентированным

иориентированным графом. I. Пусть граф G неорграф.

Степенью вершины υi графа G называется число (0, 1, 2,…) звеньев

графа, инцидентных этой вершине.

Степень вершины υi графа G будем обозначать δ (υi ). Вершины графа,

имеющие степень ноль и один, соответственно называются изолированной и висячей вершинами.

Замечание 3.1. При подсчёте степеней вершин петлю можно считать как единственным, так и двойным звеном в зависимости от рассматриваемой зада-

чи с обязательным указанием кратности петли.

Пример 3.1. Найти степени вершин неорграфа, изображенного на рис. 15.

Рис. 15. Неорграф

Решение. Вершина υ1 инцидентна двум звеньям – u1 и u2 . Следователь-

но, δ (υ1 )= 2 . Аналогично определяем, что δ (υ2 )=1, δ (υ3 )= 0 и δ (υ4 )=3 (петля здесь считается двукратным звеном). В данном неорграфе вершина υ2

является висячей, а υ3 – изолированной.

Число δ (υi ,υj ), равное числу звеньев, соединяющих вершины υi и υj , называется кратностью этих вершин. Если вершины υi и υj не смежны, то

δ (υi ,υj )= 0 . Отметим, что для неорграфов δ (υi ,υj )=δ (υj ,υi ).

Из вышесказанного очевидны следующие выводы:

1. Степень любой вершины υi графа равна сумме кратностей всех пар вершин υi &υj , т.е.

14

υj V

2.Сумма степеней всех вершин графа есть удвоенное число рёбер графа,

т.е.

где m = U .

Формула (3.2) следует из того, что каждое звено графа принимается во внимание при вычислении степеней обоих его концов. Также формула (3.2)

справедлива и при наличии петель (при условии, что при подсчёте степеней вершин петля учитывается дважды).

Из (3.2) следует, что сумма степеней всех вершин графа всегда чётная.

Исторически первой теоремой теории графов является следующая теоре-

ма.

Теорема 3.1 (Эйлера). В любом конечном графе число вершин с нечётной степенью всегда чётно.

Иногда эту теорему называют теоремой о рукопожатии: число человек, сделавших нечётное количество рукопожатий, всегда чётное.

Пример 3.2. В офисе 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый из них был соединён с тремя другими?

Решение. Вершин в графе будет столько, сколько и телефонов, т.е. 15. По условию каждая вершина в графе соединена с тремя другими, т.е. степень каждой вершины графа равна трем. Найдем сумму степеней всех вершин графа:

3×15 = 45 .

Получили противоречие формуле (3.2), так как сумма степеней всех вершин графа должна быть всегда чётной. Следовательно, ответ на поставленный вопрос отрицательный.

Пример 3.3. В государстве 100 городов, из каждого исходят 4 дороги. Сколько дорог в государстве?

Решение. Ход решения этой задачи аналогичен рассмотренной ранее в примере 3.2. Воспользуемся формулой (3.2):

равное количеству дуг, исходящих из вершины υi .

15

Полустепенью захода вершины υi графа G называется число δ −(υi ), равное количеству дуг, заходящих в вершину υi .

Замечание 3.2. Вклад каждой петли, инцидентной вершине υi , равен как

δ+ (υi ), так и δ −(υi ).

Пример 3.4. Найти полустепени исхода и захода вершин орграфа, изображенного на рис. 16.

υ2

Рис. 16. Орграф

Решение. Из вершины υ1 исходит одна дуга – u1 . Следовательно, полустепень исхода δ+ (υ1 )=1. Полустепень захода δ −(υ1 )=1, так как в вершину υ1

заходит одна дуга – u2 . Аналогично определяем, что δ+ (υ2 )= 0 , δ −(υ2 )=3,

δ+ (υ3 )=1, δ −(υ3 )=1, δ+ (υ4 )=3 и δ −(υ4 )= 0 .

Очевидно, что для каждого орграфа суммы полустепеней исхода и захода равны количеству дуг:

δ (υi )=δ+ (υi )+δ −(υi ),

т.е. степени вершин орграфа есть степени вершин соответствующего неорграфа.

Вершина υi , для которой δ+ (υi )= 0 , называется стоком, а вершина, для которой δ −(υi )= 0 , называется истоком. В орграфе, изображенном на рис. 16,

вершина υ2 является стоком, так как для нее δ+ (υ2 )= 0 . Вершина υ4 – исток, так как δ −(υ4 )= 0 .

16

4. Изоморфизм графов

Изоморфизм в математике – это соответствие или отношение между объектами, отражающее в некотором смысле тождество их строения.

Графы G =<V , U > и G′=<V ′, U′> называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное соответствие между множествами их вершин V и V ′, что в одном из графов вершины соединены рёбрами тогда и только тогда, когда соответствующие им вершины другого графа соединены рёбрами. Если рёбра ориентированы, то их направления также должны соответствовать друг другу.

Геометрический граф, изоморфный абстрактному графу, называется его

геометрической реализацией.

Если графы G и H изоморфны, то пишут G H или H G . Пример изоморфных графов представлен на рис. 17.

Рис. 17. Изоморфные графы

Изоморфные графы, как правило, отождествляются. Им можно поставить в соответствие один и тот же геометрический граф. Изоморфные графы могут различаться конкретной природой элементов, что игнорируется при введении понятия графа.

Из определения изоморфности графов следует, что изоморфные графы могут различаться лишь обозначением вершин и рёбер, так как у них должно быть одинаковое количество вершин и одинаковое количество рёбер. Соответствующие друг другу вершины должны иметь одинаковые степени и полустепени исхода и захода.

Совершенно безразлично, какую геометрическую реализацию выбирать для изображения абстрактного графа.

17