Учебное пособие 1714

двумя ребрами – u1 и u7 , а элементы b23 =3 и b32 =3 потому, что вершины υ2 и υ3 соединены тремя ребрами – u2 , u3 и u4 .

Пример 5.5. Составить матрицу смежности для орграфа G, изображенного на рис. 19.

Решение. Так как в орграфе G четыре вершины, то матрица смежности будет квадратной матрицей четвертого порядка. Найдем элементы первой строки. В вершине υ1 петли нет. Значит, элемент b11 =0. Из вершины υ1 исходит

только одна дуга (u1 ), и заходит она в вершину υ2 . Следовательно, b12 =1.

Элементы b13 =0 и b14 = 0 , так как из υ1 в вершины υ3 и υ4 ни одна дуга не выходит. Аналогично находим все остальные элементы матрицы и в результате получаем

Матрица смежности, как и матрица инцидентности, однозначно определяет структуру графа.

Теорема 5.2. Графы изоморфны тогда и только тогда, когда их матрицы смежности получаются друг из друга одновременной перестановкой строк и столбцов.

Другими словами, на основе этой теоремы граф восстанавливается по матрице смежности с точностью до изоморфизма. Относительно перестановок следует отметить, что при перестановке i-й и j-й строк одновременно переставляются i-й и j-й столбцы.

22

6. Части графов. Операции над графами

Из графа при необходимости могут быть удалены некоторые ребра и (или) вершины. Операция удаления рёбер порождает новый граф с теми же вершинами, что и у исходного графа, но с меньшим количеством рёбер. Если отпадает необходимость принимать во внимание некоторую вершину, то её тоже следует удалить. Процесс удаления вершин более сложный, чем удаления рёбер, так как необходимо удалить все те рёбра, которые представляли связь удалённой вершины с другими вершинами графа, т.е. удалить все инцидентные ей рёбра.

Процесс удаления вершин и рёбер графа называется разборкой графа. Граф H =<V ′, U′>, полученный в результате удаления вершин и (или)

рёбер графа G =<V , U >, называется частью (подграфом) графа G (рис. 21), при этом говорят, что граф H содержится в графе G. Граф G в этом случае называется надграфом по отношению к графу H (рис. 21).

Рис. 21. Разборка графа: а) – надграф; б) – подграф (удалено ребро u1 ); в) – подграф (удалена вершина υ4 )

Нуль-граф является подграфом любого графа.

Граф H может быть ориентированным и неориентированным в зависимости от того, каким является граф G .

Подграф H =<V , U′>, где U′ U , называется остовным подграфом, или суграфом (рис. 22). Суграф получается из графа G после удаления некоторых (возможно даже всех) рёбер графа.

Для каждой части H графа G существует единственная дополнительная часть графа G (дополнение (рис. 22)), состоящая из всех рёбер графа G, которые не являются рёбрами графа H, и вершин, инцидентных этим рёбрам. Дополнение обозначается следующим образом:

H =G \ H .

23

общими для этих графов.

Симметрической разностью G1 G2 графов G1 и G2 называется граф

Построить исходные графы G1 и G2 , их пересечение, объединение и

симметрическую разность. Составить матрицы смежности полученных графов. Решение. Граф G1 содержит пять вершин: υ1,υ2,υ3,υ4,υ5 . Как видно из

матрицы смежности B1, вершина υ1 соединена с вершинами υ2 и υ5 . Вершина υ2 – с вершинами υ1 и υ4 . Вершина υ3 соединена только с υ4 , а вершина υ4 соединена с υ2 , υ3 и υ5 , и, наконец, вершина υ5 соединена с вершинами υ1 и υ4 . Используя полученную информацию, построим граф G1 (рис. 23). Граф G2 содержит четыре вершины: υ3,υ4,υ5,υ6 . Проводя аналогичные рассуждения, построим граф G2 (рис. 24).

25

Найдем пересечение графов G1 и G2 . Общими для этих графов будут только три вершины – υ3,υ4,υ5 . Добавив к этим вершинам соединяющие их ребра, получим граф G1 ∩G2 (рис. 25).

Рис. 25. Граф G1 ∩G2

Если к графу G1 добавить те ребра и вершины графа G2 , которые не содержит граф G1, то будем иметь граф G1 G2 (рис. 26). Чтобы получить граф G1 G2 , необходимо из графа G1 G2 удалить те ребра, которые являются общими для графов G1 и G2 . Такими ребрами в данном случае являются u1 и u2 . После этой операции (рис. 27) вершина υ3 стала изолированной. Она не инцидентна ни одному ребру полученного графа. Таким образом, ее также следует

26

и удалить нулевые строки и столбцы (если их несколько). В результате получим

G1 G2 , G1 ∩G2 , G1 G2 .

30