Учебное пособие 1714

●components(G) – список вершин в связных компонентах графа;

●connect({u,v},’weights’=L1,’names’=L2,’directed’,G)

–соединить две вершины – u и v. Можно указать вес, имя и выбрать орграф (directed) или неорграф. Оператор позволяет соединить сразу несколько вершин с одной, например connect(1,{2,3,4},G);

●connectivity(G) – число λ(G) реберной связности;

●contract(u,v,G) – совмещение вершин, или стягивание ребра, соединяющего вершины u и v графа G;

●counttrees(G) – вычисление количества остовов графа G;

●cycle(n) – циклический граф с n вершинами;

●delete(z,G) – удаление ребра или вершины z из графа G;

●departures(v,G) – множество ребер, выходящих из вершины v орграфа G;

●diameter(G) – диаметр графа G;

●dodecahedron() – создание додекаэдра, т.е. однородного графа порядка 20 степени 3;

●draw(G) – рисунок графа G;

●draw3d(G) – трехмерное изображение графа G. Координаты вершин принимаются в соответствии с собственными векторами матрицы смежности;

●duplicate() – создание копии графа. Изменение оригинала не влияет на копию;

●edges(G) – множество ребер графа G;

●ends(G) – множество пар концов ребер графа G (или ends(el,G) – концы ребра el);

●fundcyc(e,G) – определение цикла из подмножества е ребер графа G. Предполагается, что е содержит только один цикл;

151

●girth(G,scyc) – определение длины кратчайшего цикла в графе G или возвращение «бесконечности», если циклов нет. Номера ребер цикла помещаются в переменную scyc;

●graph(V,U) – граф, заданный списком вершин V и ребер U;

●gsimp(G) – создание простого графа из псевдографа или мультиграфа G. Удаление кратных ребер и петель;

●gunion(G,J,’SIMPLE’) – объединение двух графов. В полученном графе множество вершин является объединением множеств вершин графов G и J. Если опустить опцию SIMPLE, то в полученном графе допускаются кратные ребра (мультиграф);

●head(el,G) – конец дуги el (направленного ребра) орграфа G;

●icosahedron – создание икосаэдра, т.е. однородного графа порядка 12 степени 5;

●incidence(G) – матрица инцидентности графа G (строки – вершины, столбцы – ребра);

●incident(v,G,In) – множество ребер, инцидентных вершине v. В орграфе можно уточнить: incident(v,G,In) — входящие дуги, incident(v,G,Out) — исходящие дуги;

●indegree(v,G) – полустепень захода вершины v;

●induce(Eset,G) – создание подграфа по данному множеству вершин или ребер графа G;

●isplanar(G) – проверка планарности графа G;

●maxdegree(G) – максимальная степень вершин графа G;

●mindegree(G) – минимальная степень вершин графа G;

●neighbors(v,G) – множество вершин графа G, соседних с вершиной v;

●new(G) – создание нового графа G;

152

●nops(edges(G)) – число ребер графа;

●octahedron() – создание октаэдра, т.е. однородного графа порядка 6 степени 4;

●outdegree(v,G) – полустепень исхода вершины v;

●petersen() – граф Петерсена, т.е. однородный граф порядка 10 сте-

пени 3;

●random(n) – создание случайного графа с n вершинами;

●shortpathtree(G,v) – выделение из графа G дерева минимальных путей из вершины v;

●show(G) – информация о графе: названия вершин, ребер, таблица весов ребер и т.д.;

●shrink(vset,G,u) – стягивание множества вершин vset графа G

собразованием из них новой вершины (узла) u;

●span(eset,G) – определение множества ребер графа G, концы которых принадлежат множеству eset концов ребер графа G;

●spantree(G,s,w) – определение остова наименьшего веса графа G. Корень дерева – в вершине s, суммарный вес остова – в переменной w;

●tail(el,G) – начало дуги el орграфа G;

●tetrahedron() – создание тетраэдра, т.е. однородного графа порядка 4 степени 3, или, что то же самое, полного графа K4 ;

●vdegree(v,G) – степень вершины;

●vertices(G) – множество вершин графа G;

●void(n) – создание пустого графа с n вершинами. Возможно обращение по списку вершин, например void({$1..n}) или

void({a,b,cl,c2}).

153

Приложение 2

Биографические сведения об ученых, работавших в области теории графов

Гамильтон, Уильям Роуан (William Rowan Hamilton; 1806 –1865) – выдающийся ирландский математик XIX века.

Гамильтон родился в Дублине, в семье юриста. Из-за финансовых затруднений с трёх лет его воспитывал дядя по отцу, Джеймс Гамильтон, викарий и учитель в городе Трим.

Уже в детстве мальчик проявил необыкновенные дарования. В 7 лет он знал древнееврейский язык; в 12 – под руководством дяди Джеймса, хорошего лингвиста, знал уже 12 языков и среди них персидский, арабский и санскрит. В 13 лет он написал руководство по сирийской грамматике.

После языков настала пора увлечения математикой. Двумя годами раньше Гамильтону попался латинский перевод «Начал» Евклида, и он детально изучил это сочинение; в 13 лет он прочел «Универсальную арифметику» Ньютона; в 16 лет – большую часть «Математических начал натуральной философии» Ньютона, в 17 лет начал изучение «Небесной механики» Лапласа.

В 1823 году поступил в Тринити-колледж в Дублине. Он показал столь блестящие способности, что в 1827 году, ещё студентом, был назначен профессором астрономии в Дублинском университете и королевским астрономом Ирландии. Публикует ряд работ по геометрической оптике. В 1833 году женится на Хелен Бэйли. Брак оказался не слишком удачным, и Гамильтон начал злоупотреблять алкоголем. В 1834 – 1835 годах появились классические работы по гамильтоновой механике. В 1835 году вице-король Ирландии возвёл Гамильтона в достоинство баронета. В 1837 году избран президентом Королевской ирландской академии и членом-корреспондентом Петербургской академии наук. В 1843 году открывает кватернионы и углубляется в их исследование.

Следующие 20 лет он посвятил их подробному исследованию, в ходе которых Гамильтон попутно ввёл понятие векторного поля и создал основы векторного анализа. Он открыл векторное произведение, предложил оператор «набла». На основе работ Гамильтона Гиббс и Хевисайд систематизировали векторный анализ. Интересно отметить, что оба главных открытия Гамильтона – новая формулировка механики и кватернионы – сыграли существенную роль в XX веке при возникновении квантовой механики.

Сочинения Гамильтона носят печать гениальности, и можно сказать, что он далеко опередил своих современников.

154

Дейкстра, Эдсгер Вибе (Edsger Wybe Dijkstra; 1930 – 2002) – выдающийся нидерландский учёный, идеи которого оказали огромное влияние на развитие компьютерной индустрии.

Родился в Роттердаме, в семье учёных (отец – химик, мать – математик). По окончании школы поступил на факультет теоретической физики Лейденского университета. В 1951 году увлёкся программированием, поступил на трёхнедельные компьютерные курсы в Кембридже, с 1952 года работал программистом в Математическом центре Амстердама под руководством профессора Ван Вейнгаардена (впоследствии – автора одного из способов формального описания

грамматики формальных языков – так называемых двухуровневых грамматик Ван Вейнгаардена). Уже в 1952 году принял решение окончательно специализироваться на программировании, но курс теоретической физики закончил. В 1956 году принял участие в разработке ЭВМ X1. Эта машина была создана тремя энтузиастами за год. Именно для оптимизации разводки плат для X1 был придуман алгоритм поиска кратчайшего пути на графе, известный как «алгоритм Дейкстры».

В1958 – 1960 годах принимал участие в разработке языка программирования Алгол, в 1960-х – участвовал в создании ОС THE – первой операционной системы, построенной в виде множества параллельно исполняющихся взаимодействующих процессов. Именно в процессе этой работы появились понятия синхронизации процессов, идея семафора, а также была чётко осознана необходимость в структуризации процесса программирования и самих программ.

Длительное время работал в фирме Burroughs Corporation. В 1970-е годы вместе с Чарльзом Хоаром и Никлаусом Виртом разработал основные положения ставшей классикой методологии разработки программ – структурного программирования. Будучи одним из авторов концепции структурного программирования, он проповедовал отказ от использования инструкции GOTO. В 1972 году Дейкстра стал лауреатом премии Тьюринга.

Впоследние годы жизни преподавал в США, в Техасском университете. Дейкстра был активным писателем, его перу (он предпочитал авторучку

клавиатуре) принадлежит множество книг и статей, самыми известными из которых являются книги «Дисциплина программирования» и «Заметки по структурному программированию» и статья «О вреде оператора GOTO».

Дейкстра в своих статьях и книгах, помимо обсуждения специальных вопросов, последовательно отстаивал необходимость математического подхода к программированию. Этот подход предполагал точное предварительное всесто-

155

роннее математическое описание задачи и способа её решения, формальное доказательство правильности выбранного алгоритма и последующую реализацию алгоритма в виде максимально простой, структурированной программы, корректность которой должна быть формально доказана. По мнению Дейкстры, господствующий в компьютерной индустрии подход к программированию как к процессу достижения результата методом проб и ошибок («написать код – протестировать – найти ошибки – исправить – протестировать – ...») порочен, поскольку стимулирует программистов не думать над задачей, а писать код, при этом совершенно не гарантирует корректность программы, которая не может быть доказана тестированием в принципе.

Дейкстра многократно предостерегал от попыток превратить разработку программ в некий тривиальный процесс; по его мнению, программирование, в сути своей, чрезвычайно сложная научная и инженерная деятельность и никакие новые методы и инструменты не смогут кардинально изменить это положение – они лишь освобождают программиста от части рутинной работы. Попытки же превратить программирование в простое занятие, доступное каждому, обречены на провал.

Дирак, Габриэль Эндрю (Gabriel Andrew Dirac; 1925 – 1983) – матема-

тик, который, в основном, работал в области теории графов.

Габриэль Эндрю Дирак был пасынком Поля Дирака. Г. Дирак установил достаточное условие того, что граф является гамильтоновым. Г. Дирак получил ученую степень в 1952 в Лондонском университете, был профессором математики в Университете города Аархус (Дания).

Кирхгоф, Густав Роберт (Gustav Robert Kirchhoff 1824 – 1887) – один из великих физиков XIX века.

Родился в Кенигсберге; с 1842 по 1846 гг. изучал математику и физику в Кёнигсбергском университете, а в 1847 году уже был приватдоцентом в Берлине. В 1850 – 1854 гг., в качестве экстраординарного профессора, читал лекции в Бреславле, затем до 1874 года исполнял должность ординарного профессора в Гейдельберге; в 1875 году избран членом Берлинской академии, с 1862 года состоял членомкорреспондентом СПб. академии наук. Умер в Берлине 17 октября 1887 года.

Кирхгоф, будучи прекрасным знатоком математики, обладал в то же время редким умением плодотворно прилагать свои знания к

решению труднейших вопросов математической физики, в области которой

156

преимущественно работал.

Уже первые его работы о распространении электричества по пластинкам (1845 – 1847) послужили исходным пунктом для множества работ других учёных. Целый ряд последующих работ по электричеству был посвящен вопросам распределения электричества на проводниках, разряда конденсаторов, течения электричества по подводным кабелям и т.д. Особенно важна работа об индукции токов (1849), которая содержит описание способа определения электрического сопротивления проводников в абсолютной мере и два больших мемуара об индуктированном магнетизме (1853 и 1876). Одновременно Кирхгоф обнародовал ряд замечательных работ по механике, относящихся главным образом к теории деформации, равновесия и движения упругих тел.

Свои взгляды на основные принципы механики Кирхгоф изложил в весьма известных лекциях по механике, содержащих решение множества трудных вопросов теории упругости и течения жидкости. Наибольшей известностью пользуются работы Кирхгофа по радиации (излучению). Ряд опытных (совместно со знаменитым химиком Бунзеном) и теоретических работ по этому вопросу (1858 – 1860) привели к блестящему открытию обращения линий спектра, к объяснению Фрауенгоферовых линий и к созданию целого метода, чрезвычайно важного по своим приложениям в физике, химии и астрономии, спектрального анализа. Затем следовал целый ряд работ по термодинамике паров и растворов и по оптике. Последние исследования Кирхгофа касались изменений формы тел под влиянием магнитных и электрических сил (1884 – 1885).

Краскал, Джозеф Бернард, младший (Joseph Bernard Kruskal, Jr.) –

американский математик, специалист по статистике и психометрии.

Краскал родился в 1928 году в Нью-Йорке в семье успешного торговца мехом Джозефа Б. Краскала, старшего. Краскал был студентом Чикагского и Принстонского университетов, где в 1954 году завершил работу над диссертацией (номинально под руководством Альберта Такера (Albert W. Tucker) и Роджера Линдона (Roger Lyndon), но фактически под руководством Пауля Эрдоса (Paul Erdős), с которым у него было всего пару коротких бесед.

Краскал – член Американской Статистической Ассоциации, бывший президент Психометрического Общества и бывший президент Североамериканского Классификационного Общества. Краскал внес конструктивный вклад в постановку задачи многомерного масштабирования в статистике. В компьютерных науках его наиболее известной работой является алгоритм Краскала для построения остова минимального веса. В комбинаторике он известен теоремой Краскала о дереве (1960), интересной с точки зрения математической логики, т.к. ее можно доказать только неконструктивно. У Краскала также имеются работы по лингвистике и в экспериментальном лексикостатистическом изучении индоевропейских языков совместно с лингвистами Исидорой Дайен (Isidore Dyen) и Полом Блеком (Paul Black).

157

вершил свое образование, выиграв приз Senior Wrangler и первый приз Смита. Его следующим шагом было получение степени Master of Arts (MA degree) и стипендии. В Кембридже Кэли еще пребывал в течении 4 лет. В это время он взял себе несколько учеников, но его основной работой была подготовка 28 статей для математического журнала.

В связи с тем, что стипендия не вечна, было необходимо выбирать профессию. Кэли выбрал профессию адвоката, и в возрасте 25 лет он сдал адвокатский экзамен и начал работать в лондонском Доме Линкольна. В течение этого периода его жизни, длящегося примерно 14 лет, Кэли выпустил от 200 до 300 научных работ.

Когда Кэли было 42 года, он был избран на должность профессора Кембриджского университета. Кэли оставил доходную практику адвоката ради скромной зарплаты, но он сам никогда об этом не жалел. Должность профессора позволила ему полностью заняться любимым делом.

Кэли – один из самых плодовитых учёных XIX века, который написал более 700 работ. В 1882 Лондонское королевское общество присудило ему медаль Коплэя. Большая часть его работ относится к линейной алгебре, дифференциальным уравнениям и эллиптическим функциям. В результате он смог доказать теорему Кэли-Гамильтона о том, что каждая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена. Он был первым, кто сформулировал определение группы в том виде, в котором она определена сегодня – множество с бинарной операцией, удовлетворяющей определенным законам. Прежде же, когда математики говорили о группе, они подразумевали группу перестановок.

Оре, Ойстин (Oystein Ore; 1899 – 1968) – норвежский математик.

Ойстин Оре родился в городе Осло (Норвегия). Когда Оре учился в школе, он заинтересовался математикой. В 1918 году окончил школу и продолжил изучение математики в университете города Осло. В 1922 году Оре окончил университет, получив степень магистра по математике. В 1924 году университет Осло присвоил ему степень доктора наук за рабо-

ту «Zur Theorie der algebraischen Körper», вы-

полненную под руководством Торальфа Сколема. Оре также учился в Стокгольмском университете, где изучал новый подход Эмми Нёзер к абстрактной алгебре. Кроме того, он являлся членом института Миттага-Лефлера в Швеции.

В 1925 г был назначен ассистентом по исследованиям в Университете

159

Осло. В 1927 г. Оре получил должность доцента математики в Йельском университете (США), адъюнкт-профессора в 1928 и профессора – в 1929. В 1931 г. становится стерлинговским профессором (высший академический уровень в Йеле) и оставался им до выхода на пенсию в 1968 году.

Во время второй мировой войны был активистом движения «Американская помощь Норвегии» и «Свободная Норвегия». В благодарность за помощь, оказанную своей родной стране в годы войны, был награжден рыцарским орденом Святого Олафа.

Оре известен своими работами по теории связей Галуа, а особенно по теории графов, которой он занимался до конца жизни. Оре живо интересовался историей математики и был автором книг, таких как биографии Кардано и Нильса Хенрика Абеля.

Оре является автором около 120 математических статей и 10 книг.

Петерсен, Джулиус Петер Кристиан (Julius Peter Christian Petersen;

1839 – 1910) – датский математик.

Петерсен родился в городе Соро (Зеландия). Интересы Петерсена в математике были весьма обширны (геометрия, теория функций, теория чисел, математическая физика, математическая экономика, криптография и теория графов). В 1880 он опубликовал систематическую трактовку геометрических построений (с помощью линейки и циркуля). В 1898 он дал знаменитый контрпример «Граф Петерсена» к теореме Тата об 1-факторизуемости 3-регулярного графа.

К 150-летию со дня рождения Петерсена был посвящен специальный выпуск журнала «Дискретная математика», в котором можно найти его очень подробную биографию.

Понтрягин, Лев Семёнович

(1908 – 1988) – советский математик, академик АН СССР.

В 14 лет потерял зрение от несчастного случая. Окончил Московский университет (1929). С 1939 заведующий отделом Математического института им. В.А. Стеклова АН СССР, одновременно с 1935 года профессор МГУ. С 1958 академик АН СССР. В топологии открыл общий закон двойственности и в связи с этим создал теорию характеров непрерывных групп; получил ряд результатов в теории гомотопий (классы Понтрягина). В теории колебаний главные результаты относятся к асимптотике релаксационных колебаний. В теории

160