Учебное пособие 1692

MA=0, mA – P2 12 + P3h = 0,

где h - плечо силы P3 относительно точки А: h = AD sin 60° = 6,93 м. Получаем mA = 3,2 кН*м.

Для проверки повторим решение, применив уравнения равновесия в виде (8.9), но за ось проекций возьмем ось у. В противном случае, если за центры моментов взять точки А и В, то ось х будет перпендикулярна AB и условия равновесия в виде (8.9) будут не применимы. Из уравнений Y=0 и МA = 0 уже были получены YA = 2,5 кН; mA = 3,2 кН*м. Составим третье уравнение равновесия

MB=0; mA + XA 12 – P3h1=0,

где h1 - плечо силы P3 относительно точки В: h1 = BD sin 60° 3,46 м. Следовательно, ХА = 0,6 кН.

MB( P3 ) = MB( P3 y ) = -DB P3cos30 .

166

Пример 8.7. Определить опорные реакции и давление в шарнире В для балки, состоящей из двух простых балок (рис. 8.15).

Дано: P1 = 16 кН; P2 = 30

кН; М= 40 кН*м.

Решение. Метод решения задач на равновесие систем, состоящих из нескольких тел, заключается в составлении уравнений равновесия для каждого тела в отдельности. Чтобы избежать появления системы уравнений, следует начать составлять уравнения равновесия с балки ВС, так как число неизвестных сил, приложенных к этой балке, равно числу

Рис. 8.15 уравнений равновесия. Связями для балки ВС являются подвижная опора С и шарнир В. Так как направление реакции шарнира В заранее неизвест-

В.

167

Как и в двух предыдущих задачах, можно было бы не находить плечо h, а применить теорему Вариньона. Тогда RC =

правлены в противоположные стороны. Реакция заделки А со-

Составим уравнения равновесия

X=0, XA – XB = 0, XA= 8 кН,

Y=0, YA – P2 – YB = 0, YA= 39,24 кН,

MA=0, mA – m – P2 1 - YB 4 = 0, mA = 106,96 кН*м.

Задача решена. Для проверки решение можно повторить, используя уравнения равновесия, например (8.9) или (8.10), или, что проще, следует убедиться в том, что соблюдается любое из уравнений равновесия для системы сил, приложенных ко всей составной балке. Если рассмотрим составную балку в целом, то получим вместе обе схемы сил, изображенные на рис. 8.15, б и 8.15, в, но изображать силы в точке В не следует, так как главный вектор этих сил, т. е. их векторная сумма, равен нулю. Для всей балки точка В является внутренней точкой. Схема сил, приложенных ко всей составной балке, дана на рис. 8.5, г. Составим уравнения равновесия для всей составной балки, например, в виде (8.8)

X=0, XA – P1cos60 = 0,

Y=0, YA – P2 – P1cos30 + RC = 0,

MA=0, mA – m – P2 1 – P1h + RC 7 = 0.

168

где h = 5 sin 60° = 4,33 м - плечо силы P1 относительно точки

А.

Согласно теореме Вариньона, можно было момент силы

P1 определить по формуле

MA( P1 ) = - P1 AD = - P1AD sin60 .

Легко видеть, что, подставляя в каждое из этих уравнений уже найденные значения искомых величин, получим тождество 0 = 0.

Если бы в условии этой задачи не требовалось определять силы во внутреннем шарнире В, то было бы только четыре неизвестные величины: ХА, XB , mA, RC и все решение можно было бы значительно упростить, составив три уравнения равновесия для всей составной балки в целом и одно уравнение моментов относительно шарнира В ( MB =0) для балки ВС. Рекомендуем читателю провести это решение самостоятельно.

Пример 8.8. Лестница AB весом P1 = 100 H прислонена к гладкой стене и опирается на негладкий горизонтальный пол, для которого коэффициент трения скольжения f = 0,54. Каким должен быть угол наклона лестницы к поверхности пола, чтобы человек весом P2 = 700 H мог подняться на три четверти длины лестницы. Сила тяжести лестницы приложена в ее середине (рис. 8.16).

Решение. Пусть лестница находит-

пендикулярна к стене, а реакция пола состоит из нормальной

(перпендикулярной к полу) составляющей RB и из силы тре-

ния T , препятствующей скольжению лестницы. Изображаем

169

также силы тяжести лестницы и человека, считая силу тяжести человека приложенной в точке D, для которой DB = 0,75АВ. Уравнения равновесия имеют вид (8.8)

Из первого уравнения находим RB = P1 + P2. Из третьего уравнения, учитывая, что ВС = АВ/2; BD = 0,75АВ, получаем

RA T 2P1 3P2 / 4tg .

Максимальная сила трения - сила трения покоя согласно (8.17) TS = fN, где в нашем случае N = RB . Таким образом, на пороге нарушения равновесия TS = - f RB. Чтобы не было скольжения балки, должно выполняться неравенство T TS , т. е.

( 2R 3P2 ) / 4tgf ( P1 P2 ) .

Отсюда следует tg 0,25( 2P1 3P2 ) / f ( P1 P2 ) . Под-

ставляя числовые значения, получаем tg 1,327. Тогда

53 .

8.5.4. Пространственная система сходящихся сил

OD на ось у: Y= OB = OD cos . Следовательно, Y= P cos cos

.

Таким образом, чтобы спроецировать силу на данную ось, можно вначале спроецировать силу на плоскость, содержащую ось, а затем по полученной проекции определить проекцию силы на данную ось.

Пример 8.9. Два равных по длине столба AB и ВС образуют угол = 90 и лежат в плоскости, наклоненной к горизонту под углом = 60 , а в точке А поддерживаются вертикальным столбом AD. Весами силами тяжести столбов можно пренебречь и считать соединения в точках А, В, С и D шарнирными. Нижние концы столбов В, С и D расположены в горизонтальной плоскости. В общей вершине А приложены две силы - горизонтальная P1 = 16 кН и сила P2 = 4 кН, наклоненная к горизонту под углом = 30° (рис. 8.18, а). Обе эти силы лежат в вертикальной плоскости, делящей угол пополам.

Определить силы в столбах. Решение. Рассмотрим

равновесие основного шарнира А, для которого связями явля-

ются все три столба. Так как невесомые стержни могут передавать силы только вдоль стержней, то реакции столбов направляем вдоль продольных осей этих столбов. Предположим, что столбы AB и ВС растянуты, а столб AD сжат. Тогда реак-

171

предположение о направлении реакции было ошибочным, то из уравнений равновесия получится отрицательное значение реакции для этого столба.

Выбираем оси координат так, как показано на рис. 8.18, б, т. е. ось Ax параллельна ВС, а оси Ay и Az взяты в плоскости

сил P1 и P2 .

Составим уравнения (8.5):

X=0, RBcos45 - RCcos45 = 0;

Y=0, RBcos45 cos60 - RCcos45 cos60 - P1 + P2cos30 = 0, Z=0; -RBcos45 cos30 - RCcos30 - RD + P2cos60 = 0.

Из первого уравнения следует, что RB = RC; из второго уравнения RB = RC = 35,45 кН; из третьего уравнения RD = 41,4 кН.

8.5.5. Произвольная пространственная система сил Для описания равновесия тела в данном случае можно

использовать шесть уравнений равновесия (8.4). Если направ-

ление искомой реакции RA в некоторой точке А заранее неиз-

вестно, то заменяем ее тремя составляющими X A , YA , Z A по

трем выбранным осям координат. Ненулевые проекции этих составляющих равны соответствующим проекциям ХА, YA, ZA

искомой реакции RA . Направление и модуль искомой реакции

определяют (8.12) и (8.13. При вычислении момента силы относительно оси в тех случаях, когда определение плеча затруднено, рекомендуется разложить силу на две или три составляющих и применить теорему Вариньона (§ 7.6).

Пример 6.10. Однородная плита весом F= 10кН удерживается в горизонтальном положении шарниром А, цилиндри-

172

ческим подшипником В и тросом ЕС, привязанным в точке E к крюку, вбитому в стену на одной вертикали AE (рис. 6.19).

Дано: AD = 3 м, AB = 4 м. AE

плоскости, параллельной плоскости xz, и поэтому раскладыва-

При проецировании силы RE на оси х и у нужно вос-

пользоваться указанным выше в разделе 8.5.4. способом двойного проецирования силы. Составляем первые три уравнения

(8.4)

При составлении остальных трех уравнений равновесия в виде сумм моментов всех сил относительно координатных осей следует применить формулу (7.23) и следствие из нее: момент силы относительно оси равен нулю, когда сила параллельна оси или ее пересекает. Для определения момента силы

Mx=0, ZBAB + RE’AB – PAB/2 = 0, My=0, PBC/2 - RE’BC = 0,

Mz=0; -XBAB = 0.

Из этих уравнений находим

XA = 3 = 1,73 кН; YA = 4/3 = 1,33 кН; ZA = 5 кН;

XB = 0; ZB = 0;

RE = 10 33 = 5,57 кН.

Пример 8.11. На горизонтальном валу жестко закреплено зубчатое колесо. Левый конец вала опирается на подшипник, а правый - на подпятник. На колесо действуют три силы: касательная (окружное усилие) P = 4200 H; радиальная (направлена к оси вала) РR = 1550 H; осевая (параллельно оси вала) Ра = 760 H. Колесо рас-

Рис. 8.20 174

полагается от центров опор на расстоянии l 42 мм. Диаметр колеса d = 189 мм.

Решение. Оси координат указаны на рис. 8.20 и выбраны так, чтобы точка приложения заданных сил на окружности колеса находилась в плоскости хz (рис. 8.20). Весом вала и колеса пренебрегаем. Надо определить в положении равновесия момент пары, вращающей вокруг оси х, а также реакции опор А и В. Решение. Рассмотрим равновесие вала с колесом. Связями являются подшипник и подпятник. Подшипник А воспринимает только радиальную силу давления в плоскости, перпендикулярной оси вала, и не препятствует смещению вала вдоль его оси. Поэтому реакцию подшипника заменяем двумя

составляющими силами: YA и Z A . Подпятник В кроме ради-

альной силы давления воспринимает и осевую силу, действующую вдоль оси вала, и поэтому реакцию подпятника заме-

ния равновесия (8.4):

X=0, +XB – Pa = 0, Y=0, YA – P + YB = 0 , Z=0, -ZA + Pr – ZB = 0, Mx=0, m – Pr = 0,

My=0, Pr l - 2ZB l + Par = 0,

Mz=0, P 42 - YB 84 = 0.

Подставляя числовые значения, в эти уравнения получим

YA = 2100 H; ZA = - 80 H;

XB = 760 H; YB = 2100 H;

ZB = 1636 H; m = 397000 Н*мм.

Рис. 8.21

Знак «-» указывает, что направле-

175