Учебное пособие 1692

плоскости сил, равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно того же центра.

Используя доказанную теорему, можно получить важные теоремы - следствия.

§ 9.2. Теория пар сил

Из теоремы об эквивалентности систем сил получается, как следствие, теория пар сил.

Теорема 9.2. Пара сил не имеет равнодействующей. Доказательство. Согласно (9.1) главный вектор пары ра-

вен нулю, а главный вектор V одной силы равен этой силе. Поэтому на основании теоремы об эквивалентности систем сил пара не эквивалентна одной силе. Итак, пару нельзя упростить, заменив одной силой. Пара, как и одна сила, есть самостоятельный, первичный элемент силового воздействия на тело.

Теорема 9.3. Две пары эквивалентны, если равны их векторы моменты.

Доказательство. Согласно (9.2) и теореме 7.1, сформулированной в (гл. 7), главный момент пары равен вектору моменту пары. Так как по условию теоремы векторы моменты двух пар равны, то равны и их главные моменты. Главные векторы всех пар равны всегда, поскольку каждый из них равен нулю. В силу теоремы об эквивалентности эти пары эквивалентны, что и требовалось доказать.

Из этой теоремы получаются как следствия следующие теоремы, истинность которых обусловлена тем, что главные моменты пар остаются неизменными (инвариантными) векторными величинами.

186

Теорема 9.4. Пару сил, не нарушая ее действия на твердое тело, можно переносить из одной плоскости в другую, ей параллельную плоскость.

Теорема 9.5. Две пары в плоскости эквивалентны, если равны их моменты. Следовательно, пару можно заменить эквивалентной парой, действующей в той же плоскости и имеющей одинаковые с первой парой направление вращения и величину момента.

Примечание. Величины сил пары P и P можно изменять, но так, чтобы оставалось постоянным произведение Ph.

Например, если силы P и P увеличить в m раз, то плечо h надо уменьшить также в m раз. Таким образом, не меняя действия пары на твердое тело, ее можно поворачивать в плоскости пары и перемещать в своей плоскости, менять плечо пары, менять модули сил пары, но все это можно делать при условии сохранения постоянным модуля момента пары Ph и направления вращения пары.

Теорема 9.6. Система пар, расположенных в пересекающихся плоскостях, эквивалентна одной паре, вектор момент которой равен сумме векторов моментов всех составляющих пар.

где mk - вектор момент k- й пары (k = 1, 2 ...). Так как главный

момент пары равен ее вектору моменту, то имеем равенство главных моментов заданной системы пар и взятой нами одной пары. Главные векторы, как величины равные нулю, также равны. Теорема доказана. Условия теоремы об эквивалентных системах сил удовлетворены. Следовательно,

Если система пар плоская, то все векторы моменты пар можно расположить вдоль одной прямой, перпендикулярной

187

плоскости пар, и тогда, как известно, векторное суммирование можно заменить алгебраическим. Следовательно, система пар, расположенных в одной плоскости, эквивалентна одной паре, величина момент которой равен сумме величин моментов всех составляющих пар

Теорема 9.7. Для равновесия твердого тела под действием системы пар, расположенных в пересекающихся плоскостях, необходимо и достаточно, чтобы сумма векторов моментов этих пар равнялась нулю

Доказательство этой теоремы весьма просто получается из теоремы 9.6.

Теорема 9.8. Для равновесия твердого тела под действием системы пар, расположенных в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма величин моментов этих пар равнялась нулю:

Эта теорема широко применяется при изучении плоских систем сил и является частным случаем теоремы 9.7.

§ 9.3. Теорема Вариньона для произвольной системы сил

Момент равнодействующей произвольной пространственной системы сил относительно любой точки равен векторной сумме моментов всех слагаемых сил относительно той же

188

Доказательство. Итак, R ( P1 ,P2 , ,Pn ), т.е. одна сила

эквивалентна заданной системе сил. В силу теоремы об эквивалентности, главные моменты этих систем равны. Так как главный момент одной силы (равнодействующей) относительно любой точки равен моменту этой силы относительно той же точки, то

Теорема доказана.

В частности, когда система сил плоская и центр моментов О находится в плоскости расположения этих сил, то все векторы моменты будут расположены параллельно одной прямой, перпендикулярной плоскости сил, и векторное суммирование моментов можно заменить алгебраическим:

Итак, момент равнодействующей произвольной плоской системы сил относительно любой точки в плоскости этих сил равен алгебраической сумме моментов всех слагаемых сил относительно той же точки.

§9.4. Приведение произвольной системы сил

кданному центру

Центром приведения О называется точка приложения главного вектора системы сил (см. (§ 9.1)].

Теорема 9.9 о параллельном переносе силы. Силу, не меняя ее действия на абсолютно твердое тело, можно перенести па-

Рис. 9.1 раллельно самой себе в произвольный центр приведения, но, при этом, надо приложить к

189

телу пару сил с моментом, равным моменту силы относительно ее новой точки приложения (центра приведения).

Доказательство. Пусть дана сила PA , приложенная в точ-

ке А (рис. 9.1). Возьмем систему, состоящую из силы PB , приложенной в произвольной точке В, равную по модулю силе

равны главные векторы этих систем и их главные моменты от-

Теорема доказана.

Теорема 9.10 о приведении системы сил к главному вектору и главному моменту.

Произвольная пространственная система сил эквивалентна одной силе, приложенной в произвольно выбранном центре приведения О и равной главному вектору системы и одной паре, момент которой равен главно-

Рис. 9.2 му моменту системы относительно центра приведения О (рис. 9.2).

лена в точке К к стене и расположена параллельно координат-

192

ной оси у. Определить силу натяжения веревки KL и реакции опор,

если ВС= АВ/3= 1 м, DL= LC.

9.7. Квадратная однородная полка массой m = 8 кг прикреплена к стене с помощью шарового

сти под углом 60 к горизонтальной плоскости, и вертикальной силой P2 = 10 Н, приложенной к точке С. Опреде-

Рис. 9.10

лить реакцию заделки, если l

0,5 м.

9.9. Два стержня одинаковой длины 4 l = 2м и одинакового веса P 120 Н соединены между собой и с опорами сфери-

ческими шарнирами (рис. 9.10). В горизонтальном положении стержни удерживаются тросом DE. К стержню АС приложена сила F 240 Н, которая параллельна оси х. Определить реакции шарниров А и В и силу натяжения T троса.

193

приложенной к точке С. Определить реакцию заделки, если l 0,5 м.

194

Глава 10. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

§ 10.1. Центр тяжести

Центром тяжести тела называется точка схождения сил тяжести, действующих на тело во всевозможных его положениях.

Определение центра тяжести основано на теории сложения параллельных сил.

10.1.1. Сложение параллельных сил

Пусть имеется система из двух параллельных сил P1 и

P2 , направленных параллельно (рис. 10.1).

Пусть точка С расположена так, что

= 0. При одинаковых направлениях сил R= P1+ P2, при противоположных направлениях R = P2 + (-P1), где P2 P1. Следовательно, две параллельные силы, направленные в одну сторону, имеют равнодействующую, параллельную этим силам, и проходящую через точку, которая делит внутренним образом отрезок между точками приложения данных сил на части, обрат-

195