Учебное пособие 1692
.pdfДве системы сил называют эквивалентными, если они, будучи приложенными поочередно, порознь, к одному и тому же абсолютно твердому телу вызовут одинаковое действие на тело. Эквивалентность систем сил обозначается символом . Замена исходной системы сил другой эквивалентной системой позволяет иногда существенно упростить исследование равновесия или движения тела. Более подробные сведения о преобразованиях эквивалентных систем сил приведены в гл. 9.
Теорема 8.1 о приведении произвольной системы сил к двум силам. Система сил, произвольно расположенных в пространстве, эквивалентна двум силам, одна из которых приложена в произвольной точке. Главный вектор и главный момент этой системы сил относительно этой точки соответственно равны главному вектору и главному моменту эквивалентной системы двух сил относительно той же точки.
Доказательство. Разделим доказательство теоремы на два этапа. Вначале заменим данную систему сил тремя эквивалентными силами, а затем покажем, что три силы всегда можно заменить двумя силами.
Возьмем три произвольные точки О, O1, O2..
|
|
|
Соединим эти точки прямы- |
|
|
|
|
ми с точками приложения Ak |
|
|
|
|
всех сил системы (рис. 8.1), |
|
|
|
|
где k - порядковый номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
точки приложения силы Pk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда каждую силу Pk , со- |
|
|
|
|
гласно правилу параллеле- |
|
Рис. 8.1 |
|
пипеда, можно разложить по |
||
|
трем направлениям OAk , |
|||
|
|
|
||
|
||||
O1Ak и O2Ak Pk |
Pko |
Pko1 |
Pk02 . |
Согласно теореме Вариньона (§ 7.6)
136
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
( Pk ) M0 |
( Pko ) M0 ( Pko1 ) M0 |
( Pko2 ) . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перенесем все составляющие силы Pko , Pko1 |
и Pk o2 по их |
|||||||
линиям действия соответственно в точки О, O1 и O2 . Получаем |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
три пучка сил: один пучок из сил |
Pk o , приложенных в точке О, |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
второй пучок из сил Pk o1 |
приложенных в точке O1 |
и третий |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пучок из сил Pk o2 |
приложенных в точке O2. Равнодействую- |
щие сил, образующих каждый пучок сил, соответственно будут равны
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R0 |
Pko ; |
R01 |
|
Pko1 ; R02 |
|
Pko 2 . |
|
|||
|
Согласно теореме Вариньона (§ 7.6), |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 ( R0 ) |
|
M0 ( Pko ) ; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 ( R01 ) |
M0 ( Pko1 ); |
|
M0 ( R02 ) |
M0 ( Pko2 ) . |
||||||
|
Итак, заданная система сил приведена к эквивалентной |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
системе из трех сил R0 |
, R01, R02 |
. Главные вектор и момент по- |
|||||||||
лученной системы сил равны |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V0 |
Pk |
( Pk0 |
Pko1 |
|
Pko 2 ) |
|
|
Pk0 |
Pk01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pk 02 |
R0 |
|
R01 |
R02 , |
|
|
(а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
M0 ( Pk ) |
[ M0 ( Pko ) |
M0 ( Pko1 ) M0 ( Pko 2 )] |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 ( Pko ) |
|
M0 ( Pko1 ) |
M0 ( Pko2 ) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 ( R0 ) M 0 ( R01 ) M 0 ( R02 ) . |
(б) |
Итак, главный вектор заданной системы сил равен главному вектору эквивалентной системы из трех сил, приложенных в точках О, O1 и O2, а главный момент заданной системы
137
сил относительно точки О равен главному моменту относительно той же точки эквивалентной системы из трех сил.
Покажем, что систему трех сил можно заменить двумя сила-
|
|
|
|
ми. Имеем три силы: R0 , R01 , R02 |
, |
приложенные соответственно в точках О, O1 и O2. Проведем через точку О две плоскости так, чтобы
одна плоскость проходила через
линию действия силы R01 , а дру-
гая - через R02 . Такое построение
|
Рис. 8.2 |
|
всегда возможно (рис. 8.2). На ли- |
||||
|
|
|
|
нии пересечения плоскостей возь- |
|||
мем любую точку А и соединим ее прямыми с точками O1 и O2. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем разложим силу |
R01 по направлениям O1O и O1А, а силу |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R02 разложим по направлениям O2O и О2А. |
|
||||||
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R01 |
R01O |
R01A , |
R02 |
R02O |
R02A . |
(в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перенесем по линиям действия составляющие |
R01O и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R02O |
в точку приложения О, а составляющие R01A и R02A в |
точку приложения А. Затем складывая силы, приложенные в точках О и А, получаем
|
* |
|
|
|
|
|
|
. |
(г) |
R |
R R |
R , R |
R |
R |
|||||
0 |
|
0 |
010 |
020 |
|
A 01A |
02A |
|
|
Итак, исходная система сил приведена сначала к эквивалентной системе из трех сил, а затем к эквивалентной системе
из двух сил: |
|
* |
|
|
(рис. 8.3). Учитывая (а), (в) и (г), полу- |
R |
|
и R |
A |
||
|
0 |
|
|
|
|
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
138 |
Рис. 8.3
M 0
|
|
|
|
|
|
|
VO |
R0 |
R01 |
R02 |
R0 |
R010 |
R01A |
|
|
|
* |
|
|
. |
R |
R |
R |
|
R |
A |
|
02O |
02A |
0 |
|
|
Следовательно, главный вектор данной системы равен главному вектору эквивалентной системы из двух сил, из которых одна приложена в произвольной точке О.
Далее, с учетом (б), (в) и (г), получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 ( RO ) M 0 ( RO1 ) M 0 ( RO2 ) M 0 ( RO )
|
|
|
|
|
|
M0 ( RO10 ) |
M0 ( RO20 ) |
M0 ( RO1A ) |
|
|
|
|
* |
|
|
|
). |
M |
( R |
) M |
( R |
|
) M |
( R |
A |
|
0 |
O2 A |
0 |
O |
0 |
|
|
Следовательно, главный момент заданной системы сил относительно произвольно выбранной точки О равен главному моменту относительно той же точки эквивалентной системы из двух сил. Теорема доказана.
§ 8.2. Условия равновесия абсолютно твердого тела
При доказательстве теорем обычно употребляют формулировку: «необходимое и достаточное условие». Теоремой, обратной данной (прямой теореме), называют такую теорему, условием которой служит заключение данной теоремы, а заключение - условием данной теоремы. Если прямая теорема верна, то обратная теорема может быть как верна, так и не верна. Поэтому истинность обратных теорем подлежит доказательству.
Прямой назовем теорему, содержащую так называемое необходимое условие. Введем для сокращения записи буквенные обозначения. Пусть выполнение некоторого события (явления, свойства и т.д.) обозначим буквой А. Тогда необходимым условием для события А является такое событие В, кото-
139
рое всегда вытекает, следует из события А. Запишем условно А В. Например, пусть событием А является дождь. Тогда не-
обходимым условием В для события А (дождя) является облачное небо, так как, если идет дождь, то небо облачное. Но для обратной теоремы это утверждение неверно, так как если на небе облака, то это недостаточное условие для дождя: дождя может и не быть. В нашем примере из А следует В, но из В может и не следовать А.
Таким образом, из необходимого условия В еще не следует существование условия А. Достаточным условием для события А является такое событие В, из которого всегда следует событие А. Условная запись: А В.
Например, пусть событием А является то, что на улице светло. Тогда солнечный день является достаточным условием
Вдля события А. Но это условие не является необходимым, так как оно может не выполняться, например - солнце не светит, а на улице все же светло из-за электрического освещения.
Внашем примере из события В следует событие А, но если событие В не выполняется, то событие А может все же выполняться.
Приведем другой пример: для четности числа достаточно, чтобы оно делилось без остатка на четыре. Здесь событием А является четность числа. Достаточным условием для А является событие В, т. е. делимость числа на четыре. Действительно, если число делится на четыре, то это достаточно, чтобы оно было четным. Но делимости на четыре может и не быть, т. е. достаточное условие может не выполняться, например, число шесть не делится на четыре, а все же является четным. В этом примере достаточное условие слишком - «мощное», излишнее.
Большое значение в разнообразных исследованиях в математике, теоретической механике и многих других дисциплинах играют теоремы, которые сами верны и обратные к кото-
140
рым также верны. Это значит, что условие необходимое должно быть и достаточным.
Иногда для объединения прямой и обратной теорем в одно утверждение вместо слов «необходимое и достаточное условие» пользуются словами «в том и только в том случае...» или словами «тогда и только тогда...».
Теорема 8.2. о равновесии произвольной системы сил.
Для равновесия произвольной системы сил необходимо и
достаточно, чтобы ее главный вектор V и главный момент
M0 относительно любой точки О были равны нулю.
Доказательство необходимости. Пусть данная произ-
вольная система сил находится в равновесии. Нужно доказать,
что главный вектор V и главный
момент данной системы M0 равны
нулю. Доказательство основывается |
|||||
на теореме, доказанной в предыду- |
|||||
щем параграфе о том, что произ- |
|||||
вольная система сил эквивалентна |
|||||
|
|
* |
|
|
, из которых |
двум силам: R |
и R |
A |
|||
|
|
0 |
|
|
|
* |
) приложена в любой зара- |
||||
одна ( R |
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
Рис. 8.4 |
нее выбранной точке О, а главный |
|
вектор и главный момент этих двух |
||
|
сил соответственно равны главному вектору и главному мо-
|
|
|
|
|
|
* |
, |
|
|
) |
|
0, а отсюда |
|||
менту данной системы сил. Поэтому ( R |
|
R |
A |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на основании второй аксиомы (рис. 8.4, а): |
|
* |
|
|
|
. Поэто- |
|||||||||
R |
|
= - R |
A |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
му V |
P |
R |
R |
A |
0 . Так как |
R |
и R |
A |
лежат, соглас- |
||||||
|
k |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
но второй аксиоме, на одном отрезке прямой АО, то
141
|
|
|
|
|
|
|
|
M 0 ( R0 ) M 0 ( RA ) 0 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||
M0 |
|
M0 ( Pk ) |
M0 ( R0 ) |
M 0 ( RA ) 0 . Необходимое ус- |
ловие доказано.
Доказательство достаточности. Пусть главный вектор произвольной системы сил и главный момент этой системы относительно точки О равны нулю:
|
|
|
V |
Pk |
0 , |
|
|
|
M0 |
M0 ( Pk ) 0 . |
Требуется доказать, что система сил находится в равновесии. Пользуясь теоремой о приведении системы сил к двум
|
|
|
|
|
|
|
|
|
силам, получаем V |
RA |
RA . Поскольку V |
0 , |
R0 |
= - RA . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда силы R0 |
и |
RA |
образуют пару сил (см. § 7.5). Использу- |
ем теперь условие равенства главного момента системы нулю:
|
|
|
|
|
|
|
|
M0 |
M0 |
( R0 ) |
M0 |
( RA ) |
0 . Поскольку R0 |
приложена в точ- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ке О, |
M 0 ( R0 ) |
0 . Согласно (7.17), имеем M 0 ( RA ) |
|||||
|
|
|
0 . Векторное произведение двух векторов равно |
||||
( r |
RA ) |
нулю или когда один из сомножителей равен нулю, или когда
|
|
|
перемножаемые векторы параллельны. Если RA = 0, то |
R0 |
= - |
|
|
|
RA = 0 и имеется равновесие, так как отсутствуют действующие силы. Если r = 0, то это означает (рис. 8.4, б), что точка А
совпадает с точкой О. Тогда обе силы, согласно второй аксио-
ме, находятся в равновесии. В случае, когда вектор r |
паралле- |
|
|
лен RA , это условие, учитывая, что | r | - ограниченная вели- |
|
|
|
чина, может выполняться только тогда, когда силы R0 и RA
расположены на одной прямой. Отсюда вытекает существование равновесия. Теорема доказана.
142
Итак, получено необходимое и достаточное условие равновесия произвольной системы сил в виде двух векторных равенств:
|
|
|
|
|
|
V |
Pk |
0; M0 |
M0 |
( Pk ) 0 . |
(8.3) |
Для получения уравнений равновесия, аналогичных (8.3), в скалярной (координатной) форме, нужно спроецировать левые и правые части этих равенств на оси прямоугольной декартовой системы координат и затем использовать формулы
(7.10) и (7.25)
Vx= Pkx = 0, Vy= Pky = 0, Vz= Pkz = 0,
|
|
|
|
|
|
|
M Ox |
npOx M 0 |
|
( Pk ) |
M x ( Pk |
) 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
M Oy |
npOy M 0 |
( Pk ) |
M y ( Pk |
) 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M Ox |
npOz M0 |
( Pk ) |
M z ( Pk |
) 0 . |
|
|
Поскольку Pkx = Xk; Pky = Yk, Pkl = Zk, получаем |
|
|||||
|
X k 0; |
|
Yk 0; |
Zk |
0; |
(8.4) |
|
|
|
|
|
|
|
M x ( Pk ) 0; |
|
M y ( Pk ) 0; |
M z ( Pk ) 0. |
|
Итак, для равновесия произвольной системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил системы на каждую из трех координатных осей произвольно выбранной системы координат равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил системы относительно каждой из этих осей также равнялась нулю. Рассмотрим частные случаи.
8.2.1. Система сходящихся сил.
Выберем начало координат в точке пересечения линий действия (схождения) сил. Тогда линии действия всех сил пересекают оси координат и, согласно формуле (7.23) (см. пояснения к этой формуле) моменты сил относительно этих осей
143
равны нулю. Три последние равенства (8.4) принимают вид тождеств. Поэтому
X k 0; |
Yk 0; |
Zk 0 . |
(8.5) |
Итак, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из трех координатных осей равнялась нулю.
Если все сходящиеся силы расположены в одной плоскости, то, взяв оси Ox и Oy в плоскости сил, получим, что Zk = 0, т. е. проекция любой силы на ось Oz равна нулю. Поэтому третье уравнение (8.5) тождественно удовлетворяется и его использовать нельзя.
Итак, для плоской сходящейся системы сил условия равновесия сводятся к двум соотношениям
X k 0; |
Yk 0 . |
(8.6) |
8.2.2. Теорема о трех силах Если твердое тело находится в равновесии под действием
трех непараллельных сил, расположенных в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.
Доказательство. Перенося две пересекающиеся силы P1
и P2 по их линиям действия в точку О их схождения, как в точку приложения, и векторно складывая, получаем равнодей-
|
|
|
|
|
ствующую R12 |
|
P1 |
P2 |
, которая должна уравновешиваться |
третьей силой |
P3 |
. Следовательно, согласно второй аксиоме, |
||
линия действия силы |
|
должна проходить через точку схож- |
||
P3 |
||||
|
|
|
|
|
дения сил P1 и |
P2 . Поэтому линии действия трех сил, находя- |
щихся в равновесии, пересекаются в одной точке.
Использование теоремы о трех силах приведено в задаче
8.2.
144
8.2.3.Система параллельных сил, не лежащих
водной плоскости.
Проводим оси координат так, чтобы ось Oz была параллельна силам, а оси Ox и Oy были перпендикулярны силам. Тогда все силы проецируются на ось Oz в полную величину со знаком плюс или минус в зависимости от того, совпадает ли направление силы с направлением оси, или противоположно этому направлению. Проекции всех сил на оси Ox и Oy равны нулю. Также будут равны нулю и моменты всех этих сил относительно параллельной им оси Oz (см. (7.23)). Поэтому вместо
уравнений (8.4) получаем систему |
|
||
|
|
|
|
Pk |
0; |
M x ( Pk ) 0; |
M y ( Pk ) 0 . (8.7) |
Итак, для равновесия системы параллельных сил, не лежащих в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма величин проекций этих сил на ось, параллельную этим силам, равнялась нулю и чтобы сумма моментов всех сил относительно каждой из двух координатных осей, лежащих в плоскости, перпендикулярной этим силам, также равнялась нулю.
8.2.4. Произвольная плоская система сил Выберем систему осей координат так, чтобы плоскость
(х, у) совпадала с плоскостью сил. Тогда проекции всех сил на ось Oz будут равны нулю: Zk = 0, и моменты всех сил относительно осей Ox и Oy также равны нулю, так как эти оси и силы лежат в одной плоскости. Согласно определению момента силы относительно точки (7.15) и момента силы относительно оси (7.23), в нашем случае момент силы относительно оси Oz совпадает с моментом этой силы относительно точки О - начала координат. Поэтому из уравнений (8.4) остаются три урав-
нения |
|
|
|
|
|
X k 0; |
Yk 0; |
M0 ( Pk ) 0 . (8.8) |
|
145 |
|