Учебное пособие 1692

Величину k смещения по горизонтали точки приложения реакции называют коэффициентом трения качения и измеряют его в единицах длины. При P Pmax цилиндр будет находиться

в покое, при P > Pmax начнется перекатывание. Для большинства сочетаний материалов безразмерная величина k/r значительно меньше коэффициента трения скольжения. Поэтому в технике для уменьшения сопротивления движению стремятся по возможности заменять трение скольжения трением качения, применяя колеса, катки, шариковые и роликовые подшипники и другие устройства.

§ 8.5. Методика решений задач по статике

В каждой задаче по статике можно выделить четыре основных этапа решения, заключающихся в совершении следующих действий:

1)указать точку или тело, равновесие которого рассматривается;

2)указать, какие тела являются связями для рассматриваемого тела;

3)мысленно отбросить связи и заменить их действия на данное тело силами - реакциями связей и учесть все действующие активные силы и силы сопротивления; изобразить схематически рассматриваемое тело и все действующие на него силы. Следует помнить, что направления сил сопротивления не всегда известны и их приходится задавать;

4)составить необходимые уравнения равновесия тела и решить их.

Четвертый этап решения зависит от характера задачи, от того, какая действует система сил, и от того, какой выбран метод решения задачи (графический, аналитический или их сочетание), но первые три этапа остаются неизменными. Ошибка, допущенная хотя бы в одном из первых трех этапов, не позволит учесть некоторые особенности задачи и приведет к невер-

156

ному решению, даже если четвертый этап сделан правильно. Разделение решения задач статики на четыре этапа продиктовано теорией и практикой рационального решения задач. Следует помнить: решение каждой задачи должно сопровождаться рисунком, изображающим все векторы сил (этап 3), так как отсутствие рисунка делает решение неконкретным, мало обоснованным, непонятным. Такое решение проверить невозможно ни решающему задачу студенту, ни проверяющему решение преподавателю.

Ход решения каждой задачи должен сопровождаться минимальными, но исчерпывающими письменными пояснениями, ссылками на используемые положения теории.

Для составления уравнения равновесия для различных систем сил, необходимо определять проекции сил на оси и моменты сил относительно точек, а для произвольной пространственной системы сил - моменты сил относительно осей. В гл. 7 было показано, что если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на эту ось равна нулю, а если линия действия силы пересекает точку, то момент силы относительно этой точки равен нулю. Отсюда следуют практические выводы для решения задач: 1) при составлении уравнений равновесия, в которые входят проекции сил на оси координат, следует выбирать эти оси так, чтобы отдельные неизвестные силы были перпендикулярны этим осям; 2) при составлении уравнений равновесия, в которые входят моменты сил относительно точек, выгодно выбрать эти точки так, чтобы через них проходили линии действия одной или нескольких неизвестных сил; 3) согласно (7.23) при составлении уравнений равновесия, в которые входят моменты сил относительно осей, эти оси следует выбирать так, чтобы отдельные неизвестные силы были параллельны этим осям или пересекали их.

8.5.1. Плоская система сходящихся сил.

При решении задач для плоской системы сходящихся сил надо составить уравнения равновесия в одном из видов (8.6),

157

(8.13) или (8.14). Выбор системы уравнений равновесия зависит в первую очередь от специфики задачи. Для проверки решение можно его повторить, используя систему уравнений равновесия другого вида.

При решении задач для плоской системы сходящихся сил иногда удобно пользоваться теоремой о трех силах. Определив точку О пересечения двух известных сил можно определить линию действия третьей силы, как линии проходящей через эту точку и точку приложения неизвестной силы.

Пример 8.1. К шарнирно закрепленному болту В кронштейна ABC подвешено тело весом P1 = 24 кН и действует сила P2 = 18 кН. Углы указаны на рис. 8.9. Крепления в точках А и С также шарнирные. Определить усилия, возникающие в стержнях AB и ВС, считая их невесомыми.

Решение, Рассмотрим равновесие болта В. Связями являются стержни AB и ВС. Мысленно отбрасываем связи и заменяем их действия

силами - реакциями связей RA и RC .

Так как стержни невесомые, то реакции этих стержней (усилия в стержнях) будут направлены вдоль этих стержней. Пусть оба стержня растянуты, т. е. их реакции направлены от шарнира В внутрь стержней. Тогда, если в ответе значение реакции какого -либо стержня получится отрицательным, то это будет означать, что на самом деле направление этой реакции противоположно направлению, указанному на рисунке, т. е. стержень будет сжат, и поэтому сила

его действия на болт (реакция связи) будет иметь направление, противоположное направлению, указанному на рисунке.

158

На рис. 8.9, б показано, что на болт В действуют актив-

координат и составляем уравнения равновесия в виде (8.6):

X=0; -RA - P2cos45 - RCcos30 = 0, Y=0; P2cos45 - RCcos60 - P1=0.

Из второго уравнения находим RC = - 22,55 кН. Подставив значение RC в первое уравнение, получаем RA = 6,8 кН. Таким образом, стержень AB растянут, а стержень ВС - сжат.

Для проверки повторим решение, используя систему уравнений равновесия (8.13), взяв за ось проекций ось у, так

как искомая реакция RA перпендикулярна этой оси. Из урав-

нения Y= 0 определяется RC = - 22,55 кН. Затем составим уравнение равновесия моментов сил относительно точки С.

(рис. 8.9, a): h = BC sin 75°; МC = 0; RAAC + P2h - P1AB = 0; отсюда RAAC + P2BC sin 75° — P1AB

= 0. Разделим это уравнение на ВС

Из ABC следует: AC/BC = sin

30° = 0,5; AB/BC = cos 30° = 0,866.

Поскольку sin 75° = 0,966, получаем снова RA = 6,8 кH.

Пример 8.2. Найти опорные реакции горизонтальной балки, изображенной на рис. 8.10. Принять: P

= 30 кН; = 60°; а = 2 м; b = 3 м.

Силой тяжести балки пренебречь. Рис. 8.10 Решение. Пусть балка находит-

ся в равновесии. Связями являются

159

неподвижный опорный шарнир А и опора на катке В. Используя принцип освобождения от связей и заменим их действия силами - реакциями связей. Реакция катков перпендикулярна опорной поверхности катков (см. § 7.3). Направление реакции

RA неподвижного шарнира А заранее неизвестно. Однако на балку действуют в одной плоскости три непараллельные силы

Возьмем систему уравнений равновесия в виде (8.14). Выгодно за центры моментов принять опорные точки А и В, так как момент одной из искомых реакций относительно ее точки приложения будет равен нулю, и тем самым в каждое уравнение равновесия войдет только одна неизвестная величина. В данной задаче выгодно не определять плечи сил относи-

тельно точек А и В, а разложить силы P и RA на горизонталь-

ную и вертикальную составляющие (по правилу параллелограмма) и затем применить теорему Вариньона (§ 7.6):

где YA = RA sin ;P1 = P cos 30°.

Так как линия действия горизонтальных составляющих

ляющих относительно точек А и В равны нулю. Составляем уравнения равновесия MA=0, —P1a + RB(a + b) = 0. Находим:

160

RB = 10,39 кН; МВ = 0, -YA(а + b) + P1b = 0. Отсюда -RA sin

(а + b) + P1b =0. Следовательно RA = 21,65 кН.

Повторим решение, используя систему уравнений равновесия в виде (8.6)

X=0, RAcos - Pcos60 = 0, RA = 21,65 кН, Y=0, RAsin - Pcos30 + RB = 0.

Подставив найденное значение RA , снова получим RB =

10,39 кН.

8.5.2. Плоская система параллельных сил Уравнения равновесия можно составить в виде двух сис-

тем: (8.11) и (8.12). Решение, полученное с использованием одной из этих систем, желательно проверить, применив другую систему. Если задана приложенная пара сил, то при составлении уравнения равновесия в виде суммы моментов всех сил относительно какой-либо точки воспользуемся теоремой «сумма моментов двух сил, составляющих пару относительно любой точки, равна моменту пары m», а при составлении уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил на какую -либо ось (для параллельных сил на ось параллельную си-

лам), применим теорему «сумма проекций двух сил, составляющих пару, на произвольную ось равна нулю».

Пример 8.3. Определить опорные реакции для балки, изображенной на рис. 8.11. Да-

но: P = 40 H; q = 5 H/м; m = 24

Нм.

Решение. Пусть балка находится в равновесии. Связями

Рис. 8.11 являются неподвижный опорный шарнир А и опора В на катки

161

ся к сосредоточенной силе RA и паре сил с искомым моментом m A (см. § 7.3). Так как в горизонтальном направлении ак-

тивные силы не действуют, то и реакция RA будет направлена

вертикально (параллельно всем другим силам). Изображаем равнодействующую 3q распределенной нагрузки. Составляем уравнения равновесия в виде (8.11)

Pk=0, RA – P1 – 3q – P2 =0, RA= 870 H,

MA=0, mA – P1 1 – 3q 3,5 – m – P2 7 = 0.

Находим mA = 2465 Н*м. Для проверки повторим решение, используя уравнения равновесия в виде (8.12). Одно уравнение равновесия МA = 0 уже использовано для получения mA = 2465 Н*м. Теперь возьмем за центр моментов какую-либо другую точку, например правый конец балки В, тогда MB=0; mA - RA 7 + P1 6 + 3q 3,5 – m = 0. Получаем RA = 870 H.

8.5.3. Произвольная плоская система сил. Характерным приемом

при решении задач для произвольной плоской системы сил является разложение искомой

реакции RA в шарнирно не-

подвижной опоре А для случая, когда ее направление заранее неизвестно, на две со-

ставляющие силы X A и YA

по двум выбранным направлениям осей координат. Ненулевые проекции этих составляющих равны соответствующим проекциям ХA и YA

искомой реакции RA . Для плоской системы сил состав-

163

ляющие всех сил в направлении оси z , перпендикулярной плоскости сил, раны нулю. Поэтому если определить величины проекций ХА и YA из уравнений (8.12) и (8.13), то тем самым

определяется и величина и направление реакции RA .

Реакция в заделке состоит из составляющих сил X A , YA

и пары сил с моментом mА (см. § 7.3). Для решения задач можно пользоваться системами уравнений равновесия в одном из видов: (8.8), (8.9) и (8.10). Правильность решения можно проверить, используя какие - либо два вида из указанных систем уравнений.

Пример 6.5. Определить опорные реакции для балки, изображенной на рис. 8.13. Дано: P = 100 H; q = 6 Н/м; m = 120

Н*м; = 45°.

Решение. Рассмотрим равновесие балки. Связями для балки являются неподвижный шарнир А и подвижная опора В

на катке. Реакция подвижной опоры RB перпендикулярна к

опорной плоскости катка, а реакцию неподвижной опоры RA

заменяем составляющими силами X A и YA .

Равнодействующая распределенной нагрузки Q = 4q

сительно той же точки.

Составим уравнения равновесия согласно (8.9):

X =0; XA – Px = 0; XA = 70,7 H,

164

Повторим решение, используя уравнения (8.8). Два уравнения: X = 0; MA = 0 - уже были использованы. Из первого уравнения получена XA = 70,7 H, а из третьего - RB = 59,2 H.

Теперь составим второе уравнение Y= 0 и определим значе-

ние YA : Y= 0; YA - Ру + RB – 4q = 0; YA = 35,5H. Итак получе-

ны прежние значения реакций, что подтверждает правильность решения.

Примечание. При решении данной задачи можно было не

Пример 8.6. К вертикальному столбу AB весом P1 = 4 кН, забетонированному нижним концом в горизонтальное основание, прикреплены в точках B и D провода, силы натяжения которых

P2= 1 кН и P3 = 3 кH. Размеры и углы указаны

на рис. 8.14, а и б. Определить реакции связей.

Решение. Пусть столб находится в равновесии. Связью является

жесткая заделка в гори-

зонтальное основание. Изображаем активные силы P1 , P12 , P3

165