Учебное пособие 1549

2

Рис.5.2.График функции z = f(x, y) в виде линий постоянного уровня.

5.1. Метод поиска по образцу

Данный метод, разработанный около 40 лет назад, до сих пор представляет один из наиболее эффективных способов поиска экстремальных решений. Метод заключается в поиске экстремума вокруг базисной точки и если он дает положительные результаты, то дальше происходит поиск по образцу. Метод заключается в выполнении следующих вычислений:

1. Если происходит поиск экстремума функции n переменных y = f(x1, x2,...xn), то на первом этапе определяется базисная или начальная точка A1 и шаг li для каждой переменной xi, i [1; n]. При этом следует отметить, что шаг li может быть как различным, так и одинаковым для переменных xi.

2. Прводится исследование поведения функции y = f(x) в базисной точке A1 и ее окрестностях. Для этого:

2.1.Вычисляется значение функции в базисной точке y = f(A1).

2.2.Каждая переменная xi изменяется на величину шага, т.е. вычисляется значение функции:

где l1 - величина шага вдоль направления оси X1;

При этом исследуется поведение функции в окрестностях базисной точки и применяется решение о переносе базисной точки, которое зависит от характера определяемого экстремума (табл. 5.1).

2.3. Если на предыдущем этапе не удалось найти вторую базисную точку A2, т.е. A2 = A1, то исследование функции повторяется вокруг базисной точки A1 (п.2.1. и 2.2), но при этом длину шага li; уменьшают в 10 раз.

3. После определения второй базисной точки A2 проводится "поиск по образцу", при котором используется информация, полученная в п. 2. Экстремум функции ищется в направлении, которое задано образцом.

3.1. Вычисляется значение функции в направлении A2 - A1. Точку для исследований называют точкой образца. Она определяется как:

3.2.На этом этапе продолжают исследования вокруг точки P1 или Pi; 3.3.Если при поиске минимума наименьшее значение функции по п. 3.2.

меньше значения в базисной точке A2 (или Ai+1), то получают новую базисную точку A3 (или Ai+2), после этого повторяют п.3.1. В противном случае поиск по образцу из точки A2 (или Ai+1) не производится, а исследовани6е продолжается в точке A2 (Ai+1). Если определяется максимум функции, то в случае если наибольшее значение функции по п. 3.2. больше значения в базисной точке A2 (Ai+1), то переходим к новой базисной точке A3 (Ai+2) и повторяем вычисления по п. 3.1. В противном случае поиск по образцу из точки A2 (Ai+1) не производим, а исследования продолжаем в базисной точке A2 (Ai+1).

4. Процесс поиска экстремума функции прекращается, когда длина шага li, или длина шагов, будут равны заданному малому значению h.

6.ЛАБОРАТОРНЫЙ ПРАКТИКУМ

6.1.Лабораторная работа № 1. Определение экстремума функции одной переменной

Цель работы. Теоретическое изучение и получение практических навыков в определении экстремумов функции одной переменной классическим методом.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Функция f(x) действительной переменной x имеет локальный минимум в точке xo, если существует некоторая положительная величина , такая, что если x-xo < , то f(x) f(xо), т.е. если существует окрестность точки xo, такая, что для всех значений x в этой окрестности величина f(x) больше f(xo). Функция f(x) имеет глобальный минимум в точке xmin, если для всех x справедливо неравенство f(x) f(xmin). С другой стороны функция f(x) имеет локальный максимум в точке xk, если существует некоторая положительная величина , такая, что x-xo < , то f(x) f(xk) , т.е. если существует окрестность точки xk, для которой при всех значениях x в этой окрестности величина f(x) меньше f(xk). Функция f(x) имеет глобальный максимум в точке xmax, если для всех x справедливо неравенство f(x) f(xmax).

На рис. 6.1. дано графическое представление функции f(x), которая имеет локальный минимум в точке xo и глобальный минимум в точке xmin.

На рис.6.2. дано графическое отображение функции f(x), имеющей локальный и глобальный максимумы в точках xk, xmax.

Классический метод нахождения точек экстремума (точки xo, xmin, x на рис. 6.1 и точки xk, xmax, xi на рис.6.2) заключается в поиске уравнений, решением которых являются эти точки. Функции f(x), представленные на рис. 6.1 и 6.2, и их производные непрерывны, а в точках экстремума первая производная f (x) равна нулю. Т.о. точки экстремума функции f(x) являются решениями

При этом необходимо отметить, что решением уравнения (6.1) являются не только точки минимума и максимума функции f(x) (xo, xmin, xi на рис.6.1), но и точка горизонтального перегиба функции xc. Отсюда видно, что уравнение (6.1) является только необходимым условием экстремума, но не является достаточным.

Для определения характера экстремума возникает необходимость рассмотрения более высоких производных функции f(x). В точках локального и глобального минимума (рис. 6.1) xo, xmin первая производная функции f`(x) меняет знак с отрицательного на положительный; в точке xi (рис. 6.1) - с положительного на отрицательный, а в точке xc знак производной не меняется. Т.о. можно сделать вывод о том, что первая производная в минимуме является воз-

растающей функцией, а так как степень возрастания f`(x) измеряется второй производной, то для минимума функции f(x) справедливо неравенство f (xo)>0 , f (xmin) > 0. Аналогично, для точки максимума xi функции f(x): f (xi) < 0.

Рис.6.1. Графическое представление функции f(x) имеющей локальные и глобальные минимумы в xo и xmin и локальный максимум в xi.

Рис.6.2. Функция f(x) с локальным в xk и глобальным в xmax максимумами и локальным минимумом в xi.

Для определения различия между локальными и глобальными экстремумами необходимо сравнивать значения функции в точках минимума и макси-

мума f(x0) , f(xmin) , f(xi) (рис. 6.1).

Аналогично, данную задачу можно решить, используя разложение функции в ряд Тейлора в окрестностях точки экстремума x0 (xmin, xi) (рис.6.1). Для точки x0 функции f(x) можно записать:

Можно сформулировать следующее правило определения характера экстремума функции:

Если функция f(x) и ее производные непрерывны, то точка x0 является точкой экстремума только в том случае, если порядок первой не обращающей-

ся в нуль в точке производной n - четное число. При этом если f(x0) > 0, то в т. x0 достигается максимум, а если f(x0) > 0 - минимум.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1.Задание на лабораторную работу студент выбирает из таблицы 6.1 в со-

ответствии со своим порядковым номером в списке группы.

2.Опираясь на теоретические сведения, приведенные выше, студент вычисляет первую производную исходной функции и определяет значение точек экстремума из уравнения (1).

3.Производится вычисление второй производной функции и определяется характер точек экстремума.

4.Определяются точки глобального минимума и максимума функции. Все результаты расчетов по п. 1 - 4 сводятся в табл.6.2.

5.Составляется алгоритм вычисления 1-й и 2-й производной исходной функции и поиска точек экстремума. Блок-схема алгоритма приводится в отчете.

6.Составляется программа на языке программирования для построения кривой исходной функции. Производится проверка результатов, полученных в п. 3-4.

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА Отчет оформляется в тетради для лабораторных работ грамотно и акку-

ратно. Он должен содержать следующие разделы:

1.Название и цель работы, краткие теоретические сведения о классическом методе поиска экстремума функции одной переменной.

2.Исходная функция, ее первые и вторые производные, точки экстремума (табл.6.2).

3.Блок-схема алгоритма.

4.Распечатка программы вычисления производных и построения графика функции и результаты расчета.

5.Сравнение результатов расчета "вручную" и на ЭВМ.

6.Выводы по работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Сформулируйте правило поиска экстремума функции классическим методом.

2.Необходимое и достаточное условие экстремума функции.

3.Для какого типа переменных и функций применим данный метод.

6.2. Лабораторная работа № 2. Определение экстремума функции методом Ньютона

Цель работы: Теоретическое изучение и получение практических навыков численного решения дифференциальных уравнений методом Ньютона. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Если существует функция f(x) действительной переменной x непрерывная в каждой точке своей области определения и ее производная f’(x), то для приближенного решения уравнения f’(x) = 0 (т.е. для нахождения точек экстремума) можно построить приблизительный эскиз кривой y = f’(x). При этом можно найти два значения а и в, таких, что f`(a), f`(b) имеют противоположные знаки, то тогда в силу непрерывности функции и ее производной, существует корень С уравнения f`(x) = 0, отвечающий условию:

a < c < b (6.3)

Это утверждение можно проиллюстрировать рисунком 6.3.

В прямоугольной системе координат изобразим график функции y = f`(x) (рис.6.4). Решением уравнения y = f’(x) = 0 является точка К с координатами (xk,0), которые необходимо определить. В точке Р, принадлежащей кривой f’(x), проведем касательную к этой кривой - прямую РТ. Проекцией точки Р на ось абсцисс является точка А с координатами (x0,0). Можно сказать, что точка

А является аппроксимацией точки К, а значение координаты x0 - аппроксимацией корня уравнения y = f’(x) = 0. Однако из анализа рис. 6.4. можно сделать вывод, что точка Т с координатами (x1,0) аппроксимирует корень, лежащий в точке К лучше, чем точка А.

Рис.6.3. Определение корня уравнения кривой y = f’(x).

Рис.6.4. Аппроксимация корня дифференциального уравнения Проведя преобразования выражения (6.5) можно записать: