Учебное пособие 1549

2.Заданная функция, ее первая и вторая производные.

3.Блок-система алгоритма.

4."Листинг" программы и результаты ее выполнения.

5.Результат выполнения программы построения кривой заданной функции и сравнение полученных данных со значениями, полученными с помощью любого стандартного программного обеспечения.

6.Выводы по работе.

1. Поясните порядок поиска точки экстремума функции методом Ньюто-

на.

2.Ни каких соображений выбирается значение начальной точки для аппроксимации корня?

3.По какому выражению ищется каждое последующее значение аппроксимируемого корня?

6.3. Лабораторные работы № 3 и 4. Поиск оптимума методом Фибоначчи и "золотого сечения"

Цель работы: Теоретическое изучение и получение практических навыков отыскания оптимума функции методом Фибоначчи.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ Часто существуют задачи, которые не дают возможности определить экс-

тремум функции классическими методами. Это может быть пример, когда решить уравнение и найти его корни традиционным способом не удается. В этом случае с помощью численных методов экстремум функции f(x) ищется непосредственно в некотором интервале a < x0 < b, в котором как предполагается лежит экстремум.

Пусть точки а и в определяют интервал, в котором лежит истинная точка минимума и внутри этого интервала функция унимодальная, т.е. имеет только один экстремум (рис. 6.7). В интервале [а, b] известны значения функции в трех точках x1, x2, x3, таких что a < x1 < x2 < x3 < b, f(x2) < f(x1), f(x2) < f(x3).

Рис. 6.7. Поиск экстремума функции методом Фибоначчи

Тогда точка xm лежит внутри интервала (x1, x3), меньшем чем (а, b). Внутри отрезка (x1, x3) мы можем вычислить функцию в точке x4, но сде-

лать это только один раз. При этом точка x4 помещается внутри отрезка (x1, x3) симметрично точке x2, т.е. длины (x1, x2) и (x4, x3) должны быть одинаковы. После этого следует переходить к рассмотрению отрезка (x1, x2) или (x4, х3), которые меньше начального интервала (x1, x3) а точка экстремума лежит заведомо внутри этих интервалов.

Координата точки x2 при известном начальном интервале (x1; x3) определяется по выражению:

где n - количество вычислений, которые необходимо выполнить;

- минимально возможное расстояние между двумя точками, возможно

=0;

Fn, Fn-1 - числа Фибоначчи, которые определяются как: F0 = 1, F1 = 1, Fn = Fn-1

+ Fn-2.

Последующее определение координаты точки x4 в числах Фибоначчи не нуждается и осуществляется по выражению:

Обозначим f(x2) = Y2 и f(x4) = Y4 и рассмотрим 4 возможных варианта взаимного расположения точек x2, x4 и значений функций Y2, Y4 (рис.6.8).

Рис. 6.8. Возможные варианты выбора значения координат точек и значений функций

Проанализировав рис. 6.8 можно сделать вывод о том как происходит выбор интервалов для последующих итераций. Для ситуации (рис. 6.8 а) выбираем новый интервал (x1, x2), содержащий точку x4. Для (рис. 6.8 б) выбираем интервал (x2, x3), содержащий точку x4. Для рис. 6.8 в выбираем новый интервал (x4,x3), содержащий точку x2, а для рис. 6.8 г выбираем интервал (x1, x4) содержащий точку x2.

Процесс выбора оптимального, в случае поиска минимума, значения функции методом Фибоначчи может быть реализован в соответствии с алгоритмом, изображенном на рис. 6.9.

Частным случаем метода Фибоначчи является метод “золотого сечения”, особенностью которого является то, что не нужно знать количество вычислений функции “n”. При этом принимают отношения интервалов постоянным:

При таком делении исходного отрезка (x0, x3) (рис. 6.10) на три участка

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Заданием на лабораторную работу является функция, полученная студентом на второй лабораторной работе.

2.Опираясь на теоретические сведения и алгоритм, представленный на рис. 4.1 необходимо разработать алгоритм поиска максимума функции и программы вычисления точек экстремума функции методом квадратичной интерполяции. Так же необходимо определить коэффициенты аппроксимирующего уравнения А, В и С и записать аппроксимирующую функцию.

3.По результатам вычисления заполняется табл.6.5.

Таблица 6.5 Результаты поиска экстремума функции методом квадратичной интерполяции

СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА

1.Название и цель работы. Краткие теоретические сведения о методе поиска оптимума функции.

2.Функция и алгоритмы поиска точек экстремума. Таблица и аппроксимирующая функция.

3.Распечатка программ и результатов их выполнения, табл.6.5.

4.Выводы по работе.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.В каких случаях используется метод квадратичной интерполяции для поиска максимума или минимума функции.

2.Запишите уравнения для определения коэффициентов аппроксимирующего уравнения.

3.Покажите на примере стандартного программного обеспечения возможности получения аппроксимирующих уравнений.

4.Приведите алгоритм для поиска максимума (минимума) функции с использованием квадратичной интерполяции.