Учебное пособие 1549

4.2. Поиск оптимума методом Ньютона

Метод Ньютона применяется для поиска оптимума функции одной переменной в том случае, если решить уравнение f'(x) = 0 достаточно сложно. Его сущность заключается в следующем. Если для функции f(x) можно найти два значения а и в, такие, что f (a) и f (b) имеют противоположные знаки, то в силу непрерывности этой функции есть корень X0 уравнения f (x) = 0, отвечающий неравенству a < X0 < b (рис.4.4).

Y

Y = f'(x)

Рис. 4.4. Определение корня уравнения f'(x) = 0.

Метод Ньютона позволяет определить корень уравнения f'(x) = 0 путем проведения последовательных аппроксимаций. Если функцию f (x) можно изобразить в виде кривой (рис.4.5), то действительным корнем уравнения f (x) = 0 будет являться точка В - точка пересечения кривой с осью ОХ. Проекция точки А, лежащей на кривой f (x), - точка С с координатами (X0,0) представляет собой аппроксимацию корня В с некоторой точностью. Если провести в точке А касательную к кривой f (x), которая пересекает ось ОХ в точке D с координатами (X1,0) под углом , мы получим еще одну аппроксимацию корня В с более высокой точностью, чем точка С. Длину отрезка OD можно определить из выражения:

(4.10)

Касательная AD к кривой f (x) и перпендикуляр к оси ОХ образуют треугольник DAC, в котором AC/DC = tg = f(X0). Выразив из этого выражения DC, получим:

Подставив выражение (4.11) в (4.10), получим

Y

Y = f'(x)

А

Рис.4.5. Аппроксимация корня уравнения f'(x) = 0.

Для повышения точности аппроксимации корня В в точке D можно восстановить перпендикуляр к оси ОХ и на его пересечении с кривой f (x) получить точку А, через которую проводится еще одна касательная, дающая приближенное значение корня в точке D1 (рис. 4.6). Этот процесс может быть продолжен до тех пор, пока для двух аппроксимаций не будет выполнено условие

Xi-1-Xi < , где - требуемая точность вычислений. Формула для расчета приближенного значения корня уравнения f'(x) = 0 имеет вид:

К недостатку метода Ньютона можно отнести тот случай если начальная аппроксимация выбрана неудачно и отношение f (x0) / f(x0) недостаточно мало. При этом последующие аппроксимации носят расходящийся характер (рис.4.7)

Чтобы избежать этого, необходимо выбрать другое начальное значение A0, при котором соотношение f (x0) / f(x0) уменьшится.

4.3. Методы поиска экстремального значения функции

4.3.1.Методы Фибоначчи и "Золотого сечения"

При применении теории оптимизации для решения экстремальных задач в технологии машиностроения могут возникать определенные трудности по использованию классических методов поиска оптимума функции. Во-первых, уравнение вида f (x) = 0 не всегда просто решается, и приходится использовать специальные численные методы. Во-вторых, при разработке новых технологических процессов зачастую неизвестна функциональная зависимость между

факторами и параметрами оптимизируемого физического процесса, однако можно провести серию опытов, которые дают возможность приближенно оценить характер изменения параметра при дискретном изменении одного или нескольких факторов с определенным интервалом.

Y

А1

А2

B

В качестве иллюстрации сказанного можно привести следующий пример. Технолог, разрабатывающий процесс электрохимической обработки штампа матрицы знает, что производительность процесса зависит от скорости прокачки электролита в межэлектродном зазоре, но функциональная зависимость между ними ему не известна. Однако он может поставить эксперимент, позволяющий вести обработку при различных скоростях электролита и попытаться определить при какой скорости достигается наибольшая производительность. Такую задачу желательно решить с минимальными физическими и материальными затратами, т.е. необходимо найти решение за наименьшее количество опытов, но с приемлемой точностью.

Пусть точки а и в определяют интервал (он может быть достаточно большим), в котором расположена действительная точка экстремума функции (рис.4.8). На функцию и интервал необходимо положить ограничение: функция унимодальная на интервале (а; в) т.е. имеет только одну точку экстремума, иначе задача не имеет решения и необходимо выбрать другой интервал. Если известны значения функции в трех точках x1, x2, x3 внутри этого интервала, та-

ких, что a < x1 < x2 < x3 < b и f1(x1) < f1(x2), f1(x3) < f1(x2), то точка действитель-

ного максимума всегда будет лежать внутри интервала (x1; x3), меньшего чем интервал (а; в). Если решается задача поиска минимума функции, то соотношения при выборе интервала примут вид: f2(x2) < f2(x1), f2(x2) < f2(x3) (рис.4.8)

Рис.4.8. Выбор интервала при поиске оптимума функции.

Метод Фибоначчи позволяет определить минимум достаточно точно, т.е. с наименьшим возможным интервалом неопределенности , но при этом обязательно перед началом решения должно быть задано количество проводимых вычислений функции (или опытов). При этом исходят из того, что значения функции, полученные на предыдущих экспериментах, должны определить положения (условия) последующих. Если существует интервал (x1; x3) (рис.4.9), известно значение функции внутри этого интервала f(x2) и можно провести эксперимент всего один раз, то точку x4 (как раз этот эксперимент) размещают следующим образом. Пусть длина отрезка (x1; x2) равна А, а длина отрезка (x2; x3) - В:

причем A > B. Можно предположить два случая, при выборе нового интервала, когда точка x4 помещается на отрезке (x1; x2):

1)если f(x4) > f(x2), то в качестве нового интервала выбирается отрезок (x1; x2) данной А;

2)если f(x4) < f(x2), то новым интервалом становится отрезок (x4; x3).

Y

f(X2)

Y = f(x)

f(X3) f(X1)

Рис.4.9. Выбор интервала при использовании метода Фибоначчи.

Так как не известно, какой из случаев будет иметь место, точку x4 выбираем таким образом, чтобы длины отрезков (x1; x2) и (x4; x3) были одинаковыми. Т.е. x4 помещается внутри интервала (x1; x3) симметрично относительно точки x2. При любом другом размещении точки x4 полученный интервал будет больше А (рис.4.9), что может привести к появлению неопределенности. Если существует возможность провести вычисление еще раз, то описанную выше процедуру применяют еще раз к одному из выбранных нами интервалов (x1; x2) или (x4; x3), в которых уже существуют точки x4 или x2 соответственно. При этом новую точку x5 помещают в интервале симметрично уже расположенной точке.

Для численного решения задачи поиска корня получим выражение, позволяющее определять положение каждой последующей точки при проведении процедур. Пусть точка xn, получаемая на n-м вычислении, помещена симметрично относительно xn-1 (рис. 4.10). Обычно эти точки стоят друг от друга на достаточном расстоянии, чтобы определить в каком новом интервале (правом или левом) находится новый, интересующий нас отрезок. Это расстояние ε - минимально возможное расстояние между xn и xn-1 (определяется условиями проведения эксперимента, причем точки xn и xn-1 помещаются на расстоянии ε/2 по обе стороны относительно середины An-1 (рис. 4.10.а). При этом An-1 можно определить как:

Аn-1

в

Рис.4.10. Определение размеров интервалов.

Для предыдущего этапа (рис. 4.10.б) точки хn-2 и хn-1 должны быть поме-

Иначе выражение (4.15) - (4.17) можно записать в виде:

An-1 = 2An – ε

An-3 = An-2 + An-1 = 5An - 2ε

Как видно, в уравнениях (4.19) наблюдается определенная закономер-

Если с помощью числа Фибоначчи удалось начать поиск, то его несложно будет продолжить, основываясь на правиле симметрии. Т.е. числа Фибоначчи позволяют определить положение первой точки в отрезке (а; в ), которая помещается на расстоянии А2 от одного из концов начального интервала:

где n - количество вычислений, за которое необходимо осуществить поиск. После того как определена координата x2 числа Фибоначчи больше не

используются. Последующая точка x4 определяется как:

должно быть меньше соотношения A1/Fn+1, иначе мы напрасно потратим время на вычисления и эксперимент.

При определении точки x4 в отрезке (x1; x3) может возникнуть несколько ситуаций, представленных в табл. 4.1, влияющих на выбор последующего интервала.

Существенным недостатком метода Фибоначчи является то, что заранее для вычисления А2 (выражение (4.23)) необходимо знать сколько итераций придется производить. У метода "Золотого сечения" этот недостаток отсутствует. Если мы примем соотношение интервалов, получаемых в ходе вычислений, постоянным:

2