Учебное пособие 1549

инструмента, то t на первом проходе назначают максимальной, а на последующих – такой, чтобы обеспечить заданную точность и качество поверхности.

Подачу режущего инструмента назначают максимально допустимой. При черновой обработке она ограничивается пределом прочности инструмента, приспособления или станка, а при чистовой – заданной точностью и шероховатостью поверхности детали. Окончательное значение подачи должно быть скорректировано по паспортным данным применяемого станка.

Сила резания определяется как функция глубины, подачи, стойкости и скорости резания: P = f (t, S, T, V). Это необходимо для определения силы закрепления детали и инструмента, расчета прочности инструмента и мощности станка, затрачиваемой на резание. Как уже было показано выше, выражение (2.16), скорость резания является комплексным параметром. Можно изобразить два графика, характеризующих выбор скорости резания, путем варьирования элементов резания, обеспечивающей минимальную себестоимость обработки (точка. Cmin на рис. 2.5) и максимальную производительность (точка. tштmin).

С, руб tшт, мин

Сmin tштmin

Рис. 2.5. Зависимость стоимости обработки С и производительности tшт от скорости резания

На практике желательно стремиться к сближению величин V1опт и V2опт, соответствующих максимальной производительности и минимальной себестоимости.

Приведенная выше методика аналитического определения режимов резания применяется при одноинструментальной обработке. На практике, в настоящее время, все более широкое распространение получает многоинструментальная обработка, о методах оптимизации которой будет рассказано ниже.

2.9. Завершающие этапы разработки технологического процесса

На заключительном этапе проектирования технологического процесса определяется его производительность и экономическая себестоимость.

Производительность ТП, или по другому норма времени на изготовление детали, может быть определена по выражению:

где tшт - штучное время на изготовление детали; tв - вспомогательное время;

tорг - время на организационное обслуживание; tn - время на перерывы в работе;

n

t0i - сумма основного технологического времени на каждой операции об-

i 1

работки, определяется по выражению:

где Li - расчетная длина перемещения инструмента на i-ой операции, мм.; Ki - число рабочих ходов инструмента на i-ой операции;

Si - подача инструмента на i-ой операции; ni - частота вращения шпинделя станка.

При этом необходимо отметить, что в выражении (2. 17) только величину t0; рассчитывают, а все основные показатели выбирают по тарифноквалификационным справочникам.

ТП изготовления каждой детали проектируется как минимум в 2-х вариантах, которые обеспечивают выполнение заданных технических условий. Выбор наиболее экономичного варианта производится путем сравнения себестоимостей изготовления деталей по каждому варианту. При этом себестоимость определяется по выражению:

где M - себестоимость изготовления заготовки с учетом повторного использования отходов;

L - заработная плата производственных рабочих; Lн - заработная плата с начислениями;

R - расход на ремонт оборудования;

Mв - расходы на вспомогательные материалы (СОЖ, смазка и т. п.); A - расходы на амортизацию оборудования;

W - расходы на инструмент;

V - расходы на специальные приспособления; E - расходы на электроэнергию.

Выбор значений, входящих в выражение (2. 19), осуществляется по действующим на предприятии методикам. Наряду с прямым методом расчета себестоимости часто используют и относительные критерии [1].

3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ОПТИМИЗАЦИИ

Задачи поиска оптимальных условий являются одним из наиболее распространенных научно – технических задач. Они возникают в тот момент, когда установлена возможность проведения процесса и необходимо найти наилучшие (оптимальные) условия его реализации.

Пусть, например, у химика возникла гипотеза о том, что при взаимодействии двух веществ А и Б должен получаться некоторый продукт С. Для проверки своей гипотезы он проводит эксперимент, однако производительность процесса (выход продукта) низка – около 10 %. Возникает задача выбора оптимальных условий. Требуется так подобрать параметры процесса (их называют факторы), чтобы сделать выход возможно более близким к 100 %. В этом случае находят факторы процесса, оптимальные в смысле максимализации выхода продукта. Но это не единственная постановка задачи. Найденные условия были бы другими, если бы ставилась задача минимизации себестоимости продукта или задача минимизации вредного воздействия процесса на окружающую среду. Т. о. всегда следует четко формулировать какие условия должны быть оптимальными. Этим определяется выбор цели исследования. Задачи, сформулированные подобным образом, называют задачами оптимизации. Процесс их решения называется процессом оптимизации.

Если существует функция n действительных переменных f (x1, x2, x3…xn), выражающая себестоимость производства изделия будем стремиться ее минимизировать. Если же эта функция определяет производительность, то будем стремиться к ее максимализации. С математической точки зрения существенной разницы между минимизацией и максимализацией нет. Для описания объекта исследования при поиске оптимальных значений применяют кибернетическую систему, которую называют “черный ящик” (рис. 3.1)

Рис. 3.1. Кибернетическая система “черный ящик”

При производстве каких либо действий с “черным ящиком” мы воздействуем на поведение системы через систему факторов X1…Xn. Система откликается на воздействия какими-либо численными характеристиками. Это параметры оптимизации Y1…Ym (иногда их называют критериями оптимизации, целевой функцией и т. д.). При решении задачи оптимизации (экстремальной задачи) будем использовать математические модели объекта исследования. Под ма-

тематической моделью понимается уравнение, связывающее параметры оптимизации с факторами. Такое уравнение уже было приведено ранее:

Факторы в выражении (3. 1) могут подчиняться ограничениям или изменяться без ограничений. Если, например, факторы действительно выражают количество деталей, то существует ограничение на производственную мощность оборудования и т. п. Любое решение экстремальной задачи должно учитывать эти ограничения. Кроме того, каждый фактор может принимать несколько значений. Такие значения принято называть уровнями. Может оказаться, что фактор способен принимать бесконечно много значений (непрерывный ряд). Однако на практике точность, с которой устанавливается некоторое значение фактора не беспредельна.

В любой практической оптимизационной задаче существует несколько основных общих этапов. Процесс решения такой задачи состоит из:

1)моделирования рассматриваемого физического процесса с целью получения математической функции, которую необходимо исследовать. Такой подход получил название детерминированного подхода. Он предполагает построение физической модели процесса на основании тщательного изучения механизма явлений (например, кинематики, гидродинамики). При этом математическая модель объекта представляет собой систему дифференциальных уравнений;

2)определение ограничений, налагаемых на факторы, если они есть;

3)выбор метода определения экстремума функции и его практическая реализация;

4)интерпретация полученного результата применительно к физическому смыслу задачи.

Третий пункт приведенного алгоритма подразумевает под собой разработку вычислительных процедур, реализация которых возможна только на ЭВМ из-за большого объема вычислений. Это и обусловило то, что большинство методов оптимизации было разработано в последние 40 лет, после появления возможности широкого применения ЭВМ в технологических, производственных и научно-исследовательских расчетах.

4.ОПТИМИЗАЦИЯ БЕЗ НАЛОЖЕНИЯ ОГРАНИЧЕНИЙ

4.1.Классический метод поиска оптимума функции

4.1.1. Классический метод для функции одной переменной

Классический подход к задаче оптимизации функции одной переменной f(x), т. е. поиску значений Xmin и Xmax , заключается в поиске уравнений, корнями которого они являются.

Дадим определение того, что является минимумом функции. Функция f(x) имеется минимум в точке X0, если существует некоторая окрестность этой

для любого значения X значение Y = f(X) больше Y = f(X0) (рис. 4.1).

Y

f(X)

ХО

0

Ymin X

Рис. 4. 1. Графическая интерпретация определения минимума функции

Y = f(X)

Аналогичное условие можно записать и для максимума функции: /х-хо/

, то f(x) f(xo) (рис. 4.2).

Точки минимума и максимума на рис. 4.1 и 4.2 называют точками локального минимума и максимума, т. к. не известно как ведет себя функция f(X) на всей области своего определения, т. е. за границами области . Существует вероятность того, что существуют такие значения X, при которых вышеприведенные условия не выполняются (рис. 4.3).

Из рис. 4. 3. видно, что точка X0 является точкой локального минимума функции Y = f(X), так как существует точка X2, значение функции в которой удовлетворяет условию f(X2) f(X0) f(X) для всей области определения функции. Т. о. можно сформулировать определения глобальных точек экстремума:

Точка X2 является точкой глобального минимума функции Y = f(X) если для любого X выполняется условие f(X2) f(X).

Точка Xi является точкой глобального максимума, если для любого X выполняется условие f(Xi) f(X).

Y

Ymax

Рис. 4. 2. Графическая интерпретация определения максимума функ-

ции Y = f(X)

Y

f(X)

Ymaxл

Yminл

Yminг

Рис. 4. 3. Функция f(X) с локальными и глобальными точками экстремума

Выше было сказано, что для численного определения экстремума функции необходимо найти уравнение, решением которого они бы являлись. Проанализировав график на рис. 4.3 можно сделать вывод о том, что точки X0, X1, X2 являются решением уравнения:

Это уравнение является необходимым условием определения экстремума функции, но не является достаточным, т. к. оно не дает ответа на вопрос о характере найденных точек (минимум или максимум).

Если рассмотреть поведение первой производной f'(X) в окрестности точек X0 и X2 , можно увидеть, что при переходе через эти точки производная f'(X) меняет свой знак с отрицательного на положительный. Следовательно, в этих точках она является возрастающей функцией. Степень возрастания производной f'(X) определяется ее второй производной f''(X) и можно ожидать, что вторая производная в точках X0 и X2 положительна f''(X0) > 0 и f''(X2) > 0. Аналогичные рассуждения можно провести и для точки локального максимума X1, в которой первая производная меняет знак с положительного на отрицательный

(убывающая функция), а вторая производная в этой точке носит отрицательный характер f''(X1) < 0.

Докажем это утверждение на основе разложения функции f(X) в окрестности точки X0 в ряд Тейлора:

(4.1)). Если это условие не выполняется и f'(x) > 0, то малое отрицательное значение h делает правую часть (4.2) отрицательной, а мы договорились, что оно больше либо равно нулю. Если первая производная f'(x) < 0, то малое положительное значение h делает первую часть (4.2) отрицательной, а мы договори-

Т. е. нельзя определить характер точки экстремума. Эту проблему решают путем увеличения членов при разложении в ряд Тейлора:

Проведя аналогичные рассуждения можно сделать следующий вывод: Если функция f(X) и ее производные непрерывны, точка X0 является точ-

кой экстремума (максимума или минимума), тогда и только тогда, когда порядок первой не обращающейся в нуль производной в точке X0 n – четное число (2, 4, 6, …). При этом если fn(X0) < 0, то X0 точка максимума, если же fn(X0) > 0, то X0 - точка минимума.

В заключение можно сформулировать порядок определения точек экстремума функции f(X) классическим методом:

1)вычисляется первая производная функции f'(X);

2)решается уравнение f X 0 0 , определяются все его корни X1, X2, …Xi;

3)вычисляется вторая производная функции f''(X);

4)определяется значение второй производной во всех найденных по п. 2.

точках f"(X1), f"(X2), …f"(Xi);

5)производится сравнивание полученных результатов с нулем, если f"(X1)

>0, то X1 точка минимума функции, если f"(X1) < 0, то X1 -точка максимума;

6)если вторая производная в точке экстремума равна нулю f"(X1) = 0, то определяются производные высших порядков до первого отличного от нуля значения;

7)для определения локального и глобального экстремума функции производится сравнение значений функции в этих точках f(X1), f(X2), …f(Xi).

Пример

Необходимо определить точки экстремума функции f X X 3 2 X 2 4 X Задача решается в следующей последовательности:

4. Производится вычисление значения второй производной исследуемой функции в точках Х1 и Х2:

4.1.2. Классический метод для поиска оптимума функции нескольких переменных

Если необходимо оптимизировать функцию Y = f(X1, X2, …Xn), то используется зависимости матричной алгебры. Точка в n-мерном Евклидовом пространстве, которая имеет координаты X1, X2,…Xn обозначается векторомстолбцом X. В этом случае первая производная функции Y = f(X1, X2, …Xn) = f(X) по всем переменным X1, X2, …Xn называется градиентом функции и может быть записана в виде:

Bn1 Bn2 ...Bnn

причем каждый из элементов матрицы G получен из градиента функции f(X) следующим образом:

Аналогично, приведенному выше рассуждению для функции одной переменной f(X), функция f(X1, X2,...Xn) имеет локальный максимум в точке X0, если существует окрестность точки X0, такая, что f(X) < f(X0) во всех точках этой окрестности. Иначе можно сказать, что существует положительная величина , такая, что для X - X0 < выполняется условие f(X) f(X0). Если в точке X0 наблюдается глобальный максимум то для всех X справедливо неравенство f(X) f(X0).