Учебное пособие 1547
.pdfМИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Воронежский государственный технический университет»
Кафедра технологии машиностроения
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В МАШИНОСТРОЕНИИ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению практических работ для студентов направления 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» (профили «Конструкторско-технологическое обеспечение кузнечно-штамповочного производства», «Металлообрабатывающие станки и комплексы», «Технология машиностроения»)
всех форм обучения
Воронеж 2019
УДК 51:621(075.8) ББК 22.1:34.я7
Составитель канд. техн. наук А. В. Перова
Математическое моделирование в машиностроении: методи-
ческие указания к выполнению практических работ для студентов направления 15.03.05 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» (профили «Конструкторскотехнологическое обеспечение машиностроительных производств», «Металлообрабатывающие станки и комплексы», «Технология машиностроения») всех форм обучения / ФГБОУ ВО "Воронежский государственный технический университет"; сост. А. В. Перова. Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2019. 34 с.
Методические указания включают краткие теоретические сведения по математическому моделированию в машиностроении, методику и порядок выполнения практических работ, снабжены перечнем рекомендуемой литературы и конкретными примерами моделирования с использованием численных методов.
Табл. 11. Библиогр.: 5 назв.
УДК 51:621(075.8) ББК 22.1:34.я7
Рецензент - Е. В. Смоленцев, д-р техн. наук, проф. Воронежского государственного технического университета
Печатается по решению учебно-методического совета Воронежского государственного технического университета
2
ВВЕДЕНИЕ
Решение оптимизационных задач выбора материалов и технологий термической обработки основывается на сочетании традиционных для материаловедения (металловедения) методов качественного анализа с методами математической статистики, математического моделирования, теорий надежности и принятия оптимальных решений. В связи с этим внимание студентов сосредотачивается на методологии использования основных положений этих смежных наук, имея в виду привитие навыков статистической обработки результатов наблюдений на этапах разработки и производства изделий машиностроения.
Большинство задач запрограммировано для решения на ЭВМ; при их решении рекомендуется пользоваться электронными таблица-
ми Excel.
Все задачи составлены в десяти вариантах. Студенты выбирают варианты для решения по последней цифре для таблиц 1,2 и по предпоследней цифре для таблиц 3,4 своего учебного шифра.
1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ
При проведении исследований (испытаний) и производственном контроле определяются не истинные, а приближенные значения свойств материалов. Получаемый при этом разброс связан с колебанием технологических параметров в пределах допусков, погрешностями измерений и некоторыми другими причинами.
Таким образом, определяемые в процессе производства или при испытаниях показатели свойств материалов являются случайными величинами, которые характеризуются областью возможных значений и вероятностью получения этих значений. Получаемые значения (x1) предварительно формируются: либо в вариационный ряд
x1, x2…xi… xn ,
где n — число наблюдений; x1…xi — наблюдаемые значения (x1<x2…), либо в статистический ряд (обычно при n>100):
x1 – x2, x2 – x3… xi – xi+1… xk-1 – xk ,
m1, m2…mi… mk , p*1, p*2…p*i… p*k ,
3
где n — общее число наблюдений; k — число интервалов (разрядов), обычно 8—12; m — число наблюдений в интервале (разряде);
p* mi
i n
С использованием подготовленной информации определяются различные статистические оценки, характеризующие полученное (экспериментальное) распределение.
1.1. Определение основных числовых характеристик
Основными числовыми характеристикам распределения являются среднее (арифметическое) значение и дисперсия или связанное с ним среднее квадратическое отклонение; к ним же относят коэффициент вариации — отношение среднего квадратического отклонения к среднему значению.
1.1.1. Результаты наблюдений в виде вариационного ряда
Расчетные зависимости:
•среднее значение:
•дисперсия:
•среднее квадратическое отклонение:
•коэффициент вариации:
Расчетные варианты по свойствам сталей и сплавов представлены в табл. 1.
1.1.2. Результаты наблюдений в виде статистического ряда
Статистические ряды получают из вариационных с большим числом наблюдаемых данных. При этом сначала определяется размах
который разбивается на интервалы:
4
С учетом размаха определяется середина, и в обе стороны от нее формируется ряд в окончательном виде:
Для построения статистического ряда можно воспользоваться электронными таблицами Excel (гистограмма).
Расчетные зависимости:
•среднее значение
•дисперсия
Таблица 1 Варианты наблюдаемых данных в виде вариационных рядов
№ наблюдения |
|
Варианты по шифру студентов |
|
|||||||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
950 |
2,18 |
0,70 |
434 |
1040 |
160 |
10,6 |
328 |
4,152 |
5,867 |
2 |
1000 |
2,29 |
0,74 |
436 |
1047 |
161 |
10,8 |
331 |
4,273 |
6,043 |
3 |
1060 |
2,58 |
0,89 |
443 |
1049 |
161 |
10,9 |
333 |
4,560 |
6,106 |
4 |
1065 |
2,80 |
0,91 |
445 |
1052 |
162 |
11,0 |
334 |
4,565 |
6,161 |
5 |
1070 |
2,81 |
1,03 |
445 |
1053 |
163 |
11,0 |
335 |
4,606 |
6,195 |
6 |
1073 |
2,91 |
1,09 |
446 |
1055 |
164 |
11,1 |
335 |
4,625 |
6,312 |
7 |
1080 |
2,97 |
1,17 |
447 |
1056 |
165 |
11,1 |
336 |
4,667 |
6,383 |
8 |
1086 |
3,05 |
1,18 |
447 |
1056 |
166 |
11,2 |
336 |
4,758 |
6,409 |
9 |
1090 |
3,05 |
1,35 |
448 |
1058 |
167 |
11,2 |
337 |
4,800 |
6,462 |
10 |
1101 |
3,27 |
1,42 |
451 |
1060 |
168 |
11,3 |
337 |
4,820 |
6,484 |
11 |
1125 |
3,39 |
1,43 |
452 |
1061 |
169 |
11,3 |
340 |
4,879 |
6,521 |
12 |
1140 |
3,48 |
1,54 |
453 |
1063 |
170 |
11,3 |
341 |
5,000 |
6,560 |
13 |
1142 |
3,63 |
1,54 |
456 |
1064 |
171 |
11,4 |
344 |
5,050 |
6,582 |
14 |
1145 |
3,82 |
1,57 |
458 |
1067 |
171 |
11,4 |
345 |
5,121 |
6,647 |
15 |
1148 |
3,84 |
1,58 |
458 |
1072 |
172 |
11,4 |
345 |
5,364 |
6,692 |
16 |
1150 |
4,10 |
1,80 |
462 |
1073 |
174 |
4,5 |
346 |
5,485 |
6,720 |
17 |
1160 |
4,12 |
2,02 |
462 |
1075 |
174 |
11,5 |
347 |
5,788 |
6,754 |
18 |
1180 |
4,39 |
2,15 |
468 |
1076 |
175 |
11,6 |
347 |
5,801 |
6,804 |
19 |
1200 |
5,21 |
2,22 |
472 |
1077 |
176 |
11,6 |
348 |
5,805 |
6,919 |
20 |
1225 |
5,72 |
2,35 |
477 |
1077 |
177 |
11,8 |
349 |
5,900 |
7,459 |
5
Примечание. Приведенные данные соответственно характеризуют: 0 — предел прочности стали, МПа; 1, 2, 5 — логарифмы числа циклов до разрушения алюминиевого сплава при напряжении 330, 285 и 254 МПа соответственно; 3 — предел прочности алюминиевого сплава, МПа; 4 — предел текучести стали, МПа; 6 — относительное удлинение при разрыве образцов стали, %; 7 — предел усталости стали (на базе 5—107 циклов), МПа; 8, 9 — логарифмы числа циклов до разрушения стали (на базе 107 циклов).
Для проведения расчетов предлагаются статистические ряды, приведенные в табл. 2.
Задача 1.1. Определить основные числовые характеристики распределения опытных данных, приведенных в табл. 1 и 2.
Оформление отчета
Результаты работы (разд. 1.1) оформляются в виде краткого отчета, в котором указывается цель работы и приводятся:
•исходные данные;
•использованные зависимости и программы;
•полученные числовые характеристики.
1.2. Оценка соответствия наблюдаемых данных нормальному закону распределения (проверка гипотез)
Приближенная оценка соответствия опытного распределения нормальному закону может проводиться по асимметрии и эксцессу. Более объективно оценить соответствие нормальному закону можно по критериям согласия; наиболее простыми и доступными из них являются критерии Смирнова (омега-квадрат) и Пирсона (хи-квадрат).
1.2.1 .Оценка соответствия по асимметрии и эксцессу
Оценка соответствия опытных распределений нормальному закону проводится путем сопоставления значений асимметрии и эксцесса с их средними квадратическими отклонениями.
Необходимые величины определяются по зависимостям:
асимметрии
6
Таблица 2 Варианты наблюдаемых данных в виде статистических рядов
Варианты по шифру студента
|
0 |
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
№ |
Интервалы попределу прочности, МПа |
|
Число наблюденийmi |
Интервалылогарифмов числа циклов |
Число наблюденийm |
Интервалы ударнойвязкости, Дж/см |
Число наблюденийm |
Интервалылогарифмов числа циклов |
|
Число наблюденийm |
п/п |
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
900-950 |
|
6 |
5,825-5,975 |
2 |
40-60 |
15 |
6,67-6,69 |
|
2 |
2 |
950-1000 |
|
28 |
5,975-6,125 |
12 |
60-80 |
26 |
6,69-6,71 |
15 |
|
3 |
1000-1050 |
74 |
6,125-6,275 |
10 |
80-100 |
25 |
6,71-6,73 |
17 |
||
4 |
1050-1100 |
132 |
6,275-6,425 |
13 |
100-120 |
30 |
6,73-6,75 |
44 |
||
5 |
1100-1150 |
134 |
6,425-6,575 |
21 |
120-140 |
26 |
6,75-6,77 |
52 |
||
6 |
1150-1200 |
86 |
6,575-6,725 |
17 |
140-160 |
21 |
6,77-6,79 |
44 |
||
7 |
1200-1250 |
30 |
6,725-6,875 |
14 |
160-180 |
24 |
6,79-6,81 |
14 |
||
8 |
1250-1300 |
10 |
6,875-7,025 |
6 |
180-200 |
20 |
6,81-6,83 |
11 |
||
9 |
|
|
|
7,025-7,175 |
2 |
200-220 |
13 |
6,83-6,85 |
|
1 |
10 |
|
|
|
7,175-7,325 |
2 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
7,325-7,475 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 500 |
|
n = 100 |
|
n = 200 |
n = 200 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
Окончание табл. 2
Варианты по шифру студента
|
4 |
|
5 |
|
6 |
|
|
7 |
|
8 |
|
|
9 |
|
№ |
пределупоИнтервалы МПа,прочности |
miнаблюденийЧисло |
удлинепоИнтервалы- %,нию |
наблюденийЧислоmi |
пределупоИнтервалы МПа,прочности |
|
наблюденийЧислоmi |
ударнойИнтервалы см/Дж,вязкости |
наблюденийЧислоmi |
удлинепоИнтервалы- %,нию |
|
наблюденийЧислоmi |
пределупоИнтервалы МПа,прочности |
наблюденийЧислоmi |
п/п |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
340-350 |
3 |
14-15 |
3 |
530-540 |
10 |
81-83 |
6 |
10,1-10,3 |
|
2 |
450-470 |
2 |
|
2 |
350-360 |
17 |
15-16 |
10 |
540-550 |
30 |
83-85 |
7 |
10,3-10,5 |
|
3 |
470-490 |
3 |
|
3 |
360-370 |
40 |
16-17 |
15 |
550-560 |
65 |
85-87 |
12 |
10,5-10,7 |
|
8 |
490-510 |
15 |
|
4 |
370-380 |
110 |
17-18 |
20 |
560-570 |
65 |
87-89 |
15 |
10,7-10,9 |
13 |
510-530 |
20 |
||
5 |
380-390 |
140 |
18-19 |
30 |
570-580 |
70 |
89-91 |
30 |
10,9-11,1 |
25 |
530-550 |
30 |
||
6 |
390-400 |
145 |
19-20 |
45 |
580-590 |
65 |
91-93 |
10 |
11,1-11,3 |
20 |
550-570 |
35 |
||
7 |
400-410 |
90 |
20-21 |
40 |
590-600 |
55 |
93-95 |
8 |
11,3-11,5 |
12 |
570-590 |
30 |
||
8 |
410-420 |
40 |
21-22 |
15 |
600-610 |
60 |
95-97 |
6 |
11,5-11,7 |
10 |
590-610 |
10 |
||
9 |
420-430 |
10 |
22-23 |
15 |
610-620 |
30 |
97-99 |
4 |
11,7-11,9 |
|
6 |
610-630 |
3 |
|
10 |
430-440 |
5 |
23-24 |
5 |
620-630 |
25 |
99-101 |
2 |
11,9-12,1 |
|
1 |
630-650 |
2 |
|
11 |
|
|
24-25 |
2 |
630-640 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
n = 600 |
n = 200 |
n = 490 |
|
n 100 |
|
n = 100 |
|
n = 150 |
эксцессу
среднему квадратическому отклонению асимметрии
среднему квадратическому отклонению эксцесса
|
|
24(n 1)(n 3)n |
|
(n 1)2 (n 3)(n 5) |
|||
|
Ax |
Заключение о соответствии делается сравнением абсолютных значений асимметрии и эксцесса с величинами их средних квадратических отклонений. Если выполняются условия
то распределение опытных данных не противоречит нормальному закону.
8
1.2.2. Оценка соответствия по критерию Смирнова
По этому критерию оцениваются опытные данные при сравнительно малом объеме наблюдений (до 100); предварительно они представляются в виде вариационного ряда.
2 1 n * 2
n 12n i 1 (pi pi ) ,
где n — число наблюдений; pi — теоретическая вероятность p*i
— накопленная частота. p*i = (i-0.5)/n
Полученное значение сопоставляется с критическим (предельным) Zα соответственно выбранной значимости α (обычно 0,05). Если выполняется условие
то распределение опытных данных не противоречит нормально-
му.
Заметим, что при определении теоретического значения вероятности надо пользоваться табличной функцией нормального распределения, приведенной в приложении П 3.1 [1], ориентируясь на расчетные значения средней величины и среднего квадратического отклонения.
1.2.3. Оценка соответствия по критерию Пирсона
По этому критерию оцениваются распределения при большом объеме наблюдений (более 100) с расположением их в статистический ряд. Необходимое для оценки значение критерия хи-квадрат определяется по зависимости
2 (mi |
npi ) |
2 |
|
|
, |
||||
k |
|
|
|
|
i |
npi |
|
|
где k — число интервалов в статистическом ряду; m — число наблюдаемых данных в i-ом интервале.
Необходимые значения теоретической вероятности применительно к каждому разряду надо определять с помощью табличной функции нормального распределения, ориентируясь на расчетные значения средней величины и среднего квадратического отклонения. Соответствие оценивается сравнением расчетного значения критерия с предельным (табличным) значением критерия (приложение П 3.4 [1]) с учетом выбранного уровня значимости и числа степеней свобо-
9
ды r=k-3.
Если выполняется условие:
2 табл2
то опытное распределение не противоречит нормальному закону.
Задача 1.2. Оценить соответствие нормальному закону данных, приведенных в табл. 1 и 2 по всем критериям (подразд. 1.2.1; 1.2.2 и 1.2.3).
Оформление отчета
По результатам оценки соответствия наблюдаемых данных нормальному распределению (разд. 1.2) составляют краткий отчет, в котором указываются название и цель задания, а также приводятся:
•исходные данные;
•использованные таблицы и программы;
•полученные числовые характеристики и критерии.
Отчет заканчивается сопоставлением критериев и выводом о соответствии оцениваемых данных нормальному распределению.
2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛОВ
Основные числовые характеристики свойств в случае определения их по наблюдаемым данным являются статистическими оценками рассматриваемого показателя. С их помощью можно получить и другие важные для практики статистические оценки.
2.1. Отбрасывание резко выделяющихся наблюдений
Рассеяние свойств материалов определяется в основном их неоднородностью. Однако оно может в некоторых случаях резко возрастать за счет грубых ошибок, например, вследствие погрешности при замерах. Это можно сделать, ориентируясь на значения специальных критериев.
Так, с помощью критерия Ирвина можно определить, принадлежит ли минимальное и максимальное значения (первое и последнее в вариационном ряду) к одной генеральной совокупности.
С этой целью вычисляют нижнее и верхнее значения критериев:
10