Учебное пособие 1225

5.2. Длина дуги плоской кривой

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости задана кривая

уравнением

y

f (x) , непрерывная на [a,b] .

Длина дуги кривой

y

f (x) на [a,b] вычисляется по формуле

b

2

L

³

c

dx .

(5.3)

1 > f (x)

a

Пример. Определить длину окружности x2 y2

r2.

Решение. Вычислим длину четвертой части окружности, лежащей в

первом квадранте. Тогда уравнение

дуги

АВ будет

y

r2 x2 ,

откуда

y

c

x

.Следовательно,

r 2 x2

1

r

x2

r

r

x

r

Σ

L

³

1

dx

³

dx

r arcsin

.

4

r 2 x2

r 2

x2

r

2

0

0

0

Длина всей окружности s

2Σr.

Для вычисления длины дуги в случае, когда кривая AB задана

параметрически

уравнениями

x

Μ t ,

y t ,

d t d Ε , где

и

Ε значения

параметра

t,

соответствующие

значениям

x

a ,

x

b , т.е.

b

1 yc2 (x)dx

a

Μ(

), b

Μ(Ε ),

в

формуле

L

³

надо

сделать

замену

a

переменной, положив

x

Μ(t),

dx

Μ

χ

(t)dt. Тогда получим

b

c2

x dx

Ε

§ c(t)

·

2

Ε

c2

c2

³

1 y

³

1

c

³

(t)

L

¨

¸

Μ (t) dt

Μ

(t) dt.

(5.4)

¨

¸

a

©Μc(t)

¹

Пример.

Вычислить

длину

дуги

одной арки

циклоиды:

x

a t sin t ,

y

a 1 cost

,

0 d t d 2Σ .

c

cost),

Решение.

Из

уравнений

циклоиды

находим:

a(1

Μ (t)

c

asin t.

Когда х пробегает отрезок >0, 2Σa ,

параметр t

пробегает отрезок

(t)

>0, 2Σ . Следовательно, искомая длина дуги равна

2Σa

2Σ

L

³ 1 yc2 (x) dx

³ Μc2 (t) c2 (t) dt

0

0

2Σ

2Σ

(1 cost)2 sin 2 t dt

2Σ

t

t

³ a

2a

³ sin

dt

4a cos

8a.

0

0

2

2

0

b

> f (x) 2 dx .

Vx Σ ³

(5.5)

a

y2 4x , отсекаемый прямой

Пример. Сегмент параболы

x 1,

вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения (рис. 7).

y

y

O

x

1

Рис. 7

1

Решение. V Σ ³4xdx 2Σx2

2Σ (куб. ед.).

0

0

1.

y 4 x2 , y 0. 2. y2

2 px, x h. 3. y ln x, x e, y 0.

4. y

x2 , y

2 x2. 5. y

x2 , y= 1.

6. y

cos2 x sin 2 x,

y

0,

x

0, x Σ / 4.

7.

y

x

1,

y

0,

x

2,

x

1. 8.

y

sin x,

y

x2 Σx.

9.

y

arcsin2x,

x

0,

y

Σ / 2. 10.

y

sin 2x,

y

1, x

Σ / 2,

где

Σ/4 δ x δ Σ / 2.

11.

x2 y2

1,

x

2.

12. xy

4, x

4,

y

4,

x

0,

y

0.

13.

y x2 , y

x. 14.

y

x2 1,

y

0,

x

2,

x

2.

15.

Найти площадь фигуры,

заключенной между параболой

y

x2 2x 2,

16.

Найти площадь фигуры, заключенной между параболой

y

x2 4x 3

и

касательными к ней в точках

(0, 3)

и

(3,0) .

Найти длину дуги кривой:

17.

y

x3 / 2

от x

0

до x

4.

18.

y

x2 1,

отсеченной осьюОх.

19.

y

a

ex / a

e x / a от x

0

до x

a.

2

20. y

ln cosx

от

x

0

до

x

Σ / 6.

21.

y

ln sin x от

x

Σ / 3

до

x

2Σ / 3.

22.

y

x2

1

ln x

от

x

1

до

x

e.

4

2

23.

y2

4

(2 x)3

от

x

1

до

x

2 .

9

24.

y

x2 от х = 0

до

x

2 .

25.

x

et

sin t,

y

et cost,

0 δ t δ Σ / 2.

26.

Астроиды

x

a cos3 t,

y

asin3 t .

27.

Кардиоиды Υ

a 1 cosΜ ,

a ! 0,

0 δ Μ δ 2Σ .

Найти объемы тел, образованных вращением фигуры, ограниченной

линиями:

28. y2

2 px, x

h вокруг оси Ox.

29. y

4 x2 , y = 0,

x = 0, где x τ 0 вокруг: 1) осиОх; 2) оси Оу.

30. y

x2 ,

y

x

вокруг осиОх.

31.

y

ex , x

0,

x

1,

y

0

вокруг: 1) осиОх; 2) оси Оу.

32.

y

x2 1,

y

0,

x

1,

x

2 вокруг: 1) оси Ox; 2) оси Оу.

33.

y

x3,

y

1,

x

0 вокруг: 1) осиОх; 2) оси Оу.

34. y

x x2 ,

y

0 вокруг

каждой из следующих прямых: 1)

y = 0;

2)

x = 0;

3) x = 2;

4)

x= 2;

5) y = 1;

6) y = 2.

x

35.

y

ln x ,

y

0 ,

x

e вокруг каждой из следующих прямых:

y = 0; 2)

0;

3)

y = 1;

4) x = 1; 5) x = 1; 6 ) y = 1.

36.

y

sin x ,

y= 0,

0 δ x δ Σ вокруг каждой из следующих прямых: 1)

y = 0;

2) x

0;

3) x

2Σ ; 4) x = 1;

5) x = 2; 6) y = 1; 7) y = 2.

37 x2 y2

4, y = 2,

y = 0 вокруг оси Ох.

38.

y

x,

y

x2 вокруг: 1)

оси Ох;

2)

оси Оу.

39.

y

cos2x ,

y

0,

x = 0,

где, 0 δ x δ Σ / 4 вокруг: 1) оси Ох;

2) оси Оу.

40.

y

sin x , y

0, где 2Σ δ х δ 3Σ вокруг каждой из следующих прямых:

1) y 0 ; 2) x 0;

3) х Σ ; 4) y = 2.

41.

y

2x x2 ,

y

0

вокруг каждой из следующих прямых:

1) x

0;

2) y 0;

3) x = 1;

4) y = 1.

42.

y

4

,

x = 1,

x = 4,

y

0

вокруг: 1)

оси Ох; 2)

оси Оу.

x

1

43. y

, x

1,

x

1,

y

0 вокруг: 1) оси Ох;

2) оси Оу.

1 x2

44. y

x2 1, y

3x 1

вокруг оси

Оу.

4

Ответы

1. 32/3.

2.

h

2 ph.

3. 1.

4. 8/3.

5. 4/3.

6. 1/2. 7. 11/2.

8. 2 Σ 3 / 6. 9. 1/2.

3

10.

Σ 2 . 11. 2

3 ln(2

3). 12. 4 ln(4e).13. 1/3. 14.

4. 15. 9.

16. 9/4.

4

a(e2 1)

1 ln3.

17.

8

(10

10 1).

18.

5

1

ln(2

5). 19.

. 20.

21. ln 3.

27

2

2e

2

22.

1

(e2 1). 23. 4/3. 24.

17

1

ln(4

17).

25.

2(eΣ / 2 1) .

26. 6a.

27. 8a.

4

4

3Σ

Σ (e2 1) ; 2Σ .

28.

Σph2.

29. 256

Σ ;

8Σ. 30.

. 31.

32.

178/15Σ ; 21/ 2Σ.

15

10

2

6Σ

3Σ

Σ Σ

Σ

5Σ

11Σ

19Σ

33.

7

;

5 .

34.

;

6

;

2

;

;

;

.

30

66

30

30

35.

Σ (e 2);

Σ (e2

1)

; Σe;

Σ (e2

3)

;

Σ (e2

5)

; Σ (4

e).

2

2

2

Σ 2

36.

; 2Σ 2 ; 6Σ

2 ; 2Σ (Σ 2); 2Σ (Σ 4);

Σ (8 Σ )

;

Σ (Σ 16)

.

2

2

2

37.

32Σ

(2

2 1). .

38.

2Σ

;

Σ

.

39.

Σ 2

;

Σ

(Σ 2).

40.

Σ

2

; 10Σ 2 ; 6Σ 2 ;

Σ

(Σ 16)

.

3

15

6

8

4

2

2

Σ

8Σ

16Σ

16Σ

8Σ

Σ (Σ 2)

41.

3

;

15

; 3

;

5

. 42.

12Σ

;

24Σ .

43.

4

; Σ ln 2.

44. 2 .

Задания к типовому расчету

Задача 1.

Вычислить определенные интегралы

с точностью до двух

знаков после запятой.

2

3

dx

dx

1.1.

³

.

1.2.

³

.

2x

2

3x 2

x

x

3

2

1