Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1225

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

887.77 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Замечание. Свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.

6. Если отрезок [a,b] разбит точкой сна части, то интеграл по всему промежутку равен сумме интегралов по его частям (при любом расположении точек a, b, и с).

			b	c	b
			³ f (x)dx ³ f (x)dx ³ f (x)dx .
			a	a	c
7.	Если	функция	f (x) τ 0	интегрируема		на	отрезке	[a,b] (a<b),	то
b
³ f (x)dx τ 0 .
a		f (x)	и g(x)	интегрируемы		на	отрезке	[a,b] (a<b)	и
8.	Если	f (x)	и g(x)	интегрируемы		на	отрезке	[a,b] (a<b)	и
удовлетворяют на нем равенству				f (x) δ g(x) , то

³f (x)dx δ ³g(x)dx (неравенства можно интегрировать, когда a<b).

a	a	f (x)	интегрируема на [a,b] (a<b) и существуют числа
9. Если функция		f (x)	интегрируема на [a,b] (a<b) и существуют числа
m и М такие, что во		всех	точках отрезка [a,b] выполняется неравенство
m δ f (x) δ M , то
			b
		m(b a) δ ³ f (x)dx δ M (b a) .
			a
10. Если функция		f (x)	непрерывна на отрезке [a,b] , то внутри отрезка

найдется хотя бы одна точка с c a,b такая, что имеет место равенство:

³ f (x)dx f (c)(b a) .

4.3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Если функция	f (x)	непрерывна на отрезке [a,b] и		F(x) есть одна из
первообразных для	f (x)	на [a,b] , то имеет место формула для вычисления
определенного интеграла
	b		ba F(b) F(a)
	³ f (x)dx F(x)			(4.4)
				(4.4)

- формула Ньютона – Лейбница.

Примеры. Вычислить определенные интегралы.

	2						x3				2			8	1				7			1		dx				Σ .
	2										2
1.	³x2dx																			.	2.				arctgx	1	arctg1 arctg0
																						0³


	1							3			1	3 3 3											1 x2			0		4
												3 3 3														0		4

	3	dx				1			3			1					2
	3								3
3. ³													1					.
3. ³													1					.
	1 x2					x			1			3					3
	1 x2					x			1			3					3
	1		dx				1			1		>1 1																1
	1									1
4.	³																2.				Получили абсурд, так как функция
4.	³																2.				Получили абсурд, так как функция
	1x2						x			1				x														x2
	1x2						x			1																		x2
терпит разрыв в точке																0, следовательно, применять формулу Ньютона-
Лейбница нельзя.
				4.4. Замена переменной в определенном интеграле
																						b
Пусть					необходимо										вычислить							³ f (x)dx ,			где		f (x) – некоторая

непрерывная функция.

Часто для нахождения первообразной приходится вводить новую переменную x Μ(t) . При этом пользуются следующим правилом:

Теорема. Пусть выполнены следующие условия:
1.	Функция	f (x) непрерывна на отрезке [a,b] .
2.	ФункцииΜ(t) и Μχ(t) непрерывны в промежутке >			, Ε и a δ Μ(t) δ b
при δ t δ Ε и Μ(		) a; Μ(Ε ) b .
3.	Сложная функция f >Μ(t)		непрерывна на > , Ε
Тогда		b	Ε

		³ f (x)dx	χ	(4 .5)
			³ f >Μ(t)Μ (t)dt .

Замечание. При вычисление неопределенного интеграла с помощью замены переменной в найденной первообразной Φ(t) приходилось

возвращаться к старой переменной х. Если в определенном интеграле наряду с переменной интегрирования заменить и пределы, то надобность возвращения к исходной переменной отпадает.

Примеры.

			§	x
4			¨
4		dx	¨dx
1. ³		dx	¨dx
			¨x
	1	x	¨x
0			¨	1
			¨
			©x2

t; x	t 2 ·
		¸	2		2	t 1 1dt
2tdt		¸	2	2tdt	2
2tdt		¸	0³	2tdt	2
0; t1	0	¸	0³	1 t	0³	t 1
4; t2	2	¸
4; t2	2	¹

ª2

2«³dt ³

2ln

2ln 3.

t 1»

¬0

§x

asin t

acostdt

2. ³ a2 x2 dx

0 t

a;t

¨x

1 cos2t

sin

tacostdt

³cos

tdt

x ln(t

ln 2

3 . ³

ex 1dx ¨dx

dt;

³t

1 t 2

0; x

ln 2 t

¨x

0 t

1¸

	a2							Σ	Σa		2
	a2	ª		sin 2t º				2	Σa		2
		«1					»				.
2		«1		2			»		4		.
2		¬		2		¼		0	4
				1		2		0
	2t			1	t	2		1 1
	2t		dt	2³	t			1 1		dt
1 t		2	dt	2³			t	2	1	dt
1 t				0			t		1

ª1	1	dt	º	1	§	Σ ·

2«³dt ³			» 2>t arctgt	0	2¨1	¸.
		1 t 2
«	0		»		©	4 ¹

¬0			¼

4.5. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть функции u(x) и v(x) непрерывно дифференцируемы в [a,b] . Тогда, дифференцируя произведение, получим

du(x)v(x) udv vdu.

Проинтегрировав это тождество по х в промежутке [a,b] , получим

формулу интегрирования по частям в определенном интеграле

³udv uv

ba ³vdu.

(4.6)

ln(1 x);

Пример. ³ln(1 x)dx

¨u

;¸

dx;

©dv

xdx

xln(1 x)

10 ³

ln 2 ³dx

x 1

ln 2 x

ln(1 x)

ln 2 1 ln 2

2ln 2 1.

4.6. Несобственные интегралы

При определении интеграла ³ f (x)dx предполагалось

1)промежуток [a,b] конечен;

2)функция f (x) определена и непрерывна в [a,b] .

Рассмотрим теперь интегралы, для которых эти условия нарушаются.

4.6.1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования (несобственные интегралы первого рода)

Пусть функция f (x) непрерывна в промежутке [a,φ] .На данном

промежутке не существует определенный интеграл, поскольку нельзя разбить промежуток [a,φ] на n частей конечной длины.

Тем не менее интегралы с бесконечными пределами встречаются как в математике, так и в приложениях. Однако это уже иные интегралы.

Определение. Несобственным интегралом от функции f (x) по бесконечному промежутку a δ x φ называют

φ		b
³ f (x)dx	lim	³ f (x)dx .
a	bο φ	a
a		a

Если предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Примеры.

lim >arctgb arctg0

Σ .

1. ³

lim

arctgx

1 x

bο φ

Интеграл сходится.

lim >1 cosb .

2. ³sin xdx

lim

³sin xdx

lim

cosx

bο φ

Предел не существует – интеграл расходится.

φ	dx
3. ³	dx	. При каких р интеграл сходится и при каких расходится?
3. ³	p	. При каких р интеграл сходится и при каких расходится?
1	x						b
		φ	dx	φ		x p 1
		φ		φ
1) Пусть p !1. ³				³x p dx	lim
1) Пусть p !1. ³				³x p dx	lim
	1		x p	1	bο φ p 1		1
	1		x p	1	bο φ p 1		1

	♠	1	1	≡	1
lim	↔			≈		. Интеграл сходится.
lim	↔	( p 1)b p 1		≈	p 1	. Интеграл сходится.
bο φ↔		( p 1)b p 1	p 1≈		p 1
	←			…

2) Пусть p 1.

p dx

x p 1

³x

lim

φ . Интеграл расходится.

x p

bο φ p 1

Пусть p

1. ³

lim

ln x

φ . Интеграл расходится.

bο φ

Замечание. Большинство свойств определенного интеграла (кроме

оценки и теоремы о среднем) для несобственных интегралов сохраняются.

Если

f (x)

непрерывна

на

промежутке

(φ,a) , то

аналогично

³ f (x)dx

lim

³ f (x)dx .

aο φ

Если f (x) непрерывна на всей числовой оси, то

³ f (x)dx

³ f (x)dx ³ f (x)dx .

Интеграл,

стоящий слева,

называется

сходящимся, если

сходятся оба

интеграла в правой части и расходящимся, если расходится хотя бы один из интегралов в правой части.

Часто бывает достаточно знать, сходится или расходится рассматриваемый несобственный интеграл. Для этого могут быть полезны

следующие теоремы.		x >a,φ
Теорема. Пусть для		x >a,φ			выполняется соотношение
0 δ f (x) δ g(x) , тогда:
	φ				φ
1) если	³g(x)dx сходится, то сходится и				³ f (x)dx ;
	a				a
	φ				φ
2) если	³ f (x)dx расходится, то расходится и ³g(x)dx .
	a				a
Примеры.			φ
			φ
1. Исследовать сходимость интеграла			1³	x2 1dx e x .

φ dx

Сравним данный интеграл с известным сходящимся интегралом 1³ x2 .

φ dx

Так как при

x τ1

x2 1 ex

, то

1³

x2 1 e x

1³

Следовательно, интеграл сходится.

φ1 x

2. Исследовать сходимость интеграла ³

dx .

x x

φ1 x

1 x

Действительно, при x τ 1

dx !

, а ³

x x

φ1 x

расходится, следовательно,

dx расходится.

x x

4.6.2. Несобственные интегралы от неограниченных функций

(несобственные интегралы второго рода)

Непрерывная на отрезке функция интегрируема на нем.

Пусть функция f (x)

определена и непрерывна при a δ x b , в точке b

терпит бесконечный разрыв (разрыв второго рода). В этом смысле определенный интеграл на [a,b] не может существовать, так как не существует предел интегральных сумм. Возьмём произвольное число Η ! 0 и рассмотрим отрезок [a,b Η ], на котором функция f (x) непрерывна, а значит, существует

определенный интеграл на этом отрезке.

Определение.

Несобственным

интегралом второго рода называется

bΗ

lim

³ f (x)dx

³ f (x)dx .

Η ο0

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл

называется расходящимся.

Аналогично определяется интеграл с особенностью на нижнем пределе.

Пусть f (x) непрерывна на

a x δ b , при

a имеет разрыв второго рода,

тогда

f (x)dx

lim

³ f (x)dx.

Η ο0

a Η

Примеры. Исследовать сходимость интегралов.

1 Η 2.

1. ³

lim

³x

2 dx

2 lim

Η ο0

Интеграл сходится.

2. 1³ dx . Установить, при каких р данный интеграл сходится.

0 x p

1 dx

а) p 1, тогда ³

0 x

1 dx b) p !1, тогда ³0 x p

1 p º

lim

1 p

Η ο0«

1 p »

с) p 1, тогда ³

0 x

lim

1 p º

Η ο0«1

p »

Если функция

f (x)

1Η f. Интеграл расходится.

lim

lim ln x

Η ο0

x p 1

lim

³x p dx

lim

Η ο0

Η ο0 p 1

f. Интеграл расходится.

x p 1

lim

³x p dx

lim

p 1

Η ο0

. Интеграл сходится.

1 p

на

отрезке

[a,b]

имеет несколько точек разрыва

первого рода. Тогда промежуток разбивают на частичные так, чтобы на каждом из них было по одной точке разрыва, расположенной на конце интервала

b c b

³ f (x)dx ³ f (x)dx ³ f (x)dx.

a a c

Если все интегралы в правой части сходятся, то сходится и интеграл в левой части. Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то расходится и интеграл, стоящий справа.

Теорема.		Пусть для всех х a δ x b , выполнено условие 0 d f (x) d g(x) ,
причем	f (x)	и g(x) непрерывны при a δ x b , а при		x b		имеют
бесконечные разрывы. Тогда
	b	b
1) если ³g(x)dx сходится, то сходится и ³ f (x)dx ;
	a	a
	b	b
2)	если ³ f (x)dx расходится, то расходится и ³g(x)dx .
	a	a
		100		dx
Пример.		Исследовать сходимость интеграла ³		dx			,
Пример.		Исследовать сходимость интеграла ³	3	x 24	x x3		,
		0	3	x 24	x x3

используя теоремы сравнения.

При x 0 подынтегральная функция терпит разрыв. Сравним данный

100

интеграл с интегралом

, который сходится.

Так как

100

, то

и данный интеграл сходится.

3 x 24 x x3

4 x

3 x 24 x x3

4 x

Задачи для самостоятельного решения: [1, гл.12, №№ 10, 12, 19, 41, 45, 46], [3, №№ 1596 1599, 1613 1615, 1628 1631, 1636 1638], [4, гл.6, №№ 6.3, 6.5, 6.7, 6.11, 6.15, 6.41, 6.42, 6.55, 6.57 6.69, 6.81, 6.83, 6.86].

Задачи для самостоятельного решения

b							2											2			dx					2										1
1. ³xndx			(n ζ 1). 2. ³(3x2 1)dx. 3. ³																		dx	.	4.				³exdx.								5. ³(						x x2 )dx.
1. ³xndx			(n ζ 1). 2. ³(3x2 1)dx. 3. ³																		x	.	4.				³exdx.								5. ³(						x x2 )dx.
a							0											1			x					1										0
a							0											1								1										0
Σ			3		dx								Σ / 2										1					dx											Σ / 4					x2
6. ³sin xdx. 7. ³										.	8.				³cos xdx.							9. ³											. 10.							³								dx.
6. ³sin xdx. 7. ³				1 x2						.	8.				³cos xdx.							9. ³				1 x					2		. 10.							³		1		x		2		dx.
0			0	1 x2										0									0			1 x														0		1		x
	0	3x4 3x2		1							2	♣					1	∙								1					dx													2
11.	³					dx. 12. ³						♦ x		2				÷dx.				13.				³											.		14.					³x 3 x dx.
Σ / 4			1 x2								1	♥					x4	≠								0				4 x2														0
	Σ			1			xdx										e				dx															4				xdx												Σ		dx
15.	³sin 2dx. 16. ³						xdx						.	17. ³							dx									.		18. ³								xdx					.		19. ³							dx		.
	0			0	(x		2 1)2										1 x 1 (ln x)2																			1			2 4x													0 3	2cosx
Σ / 2											3Σ											e														1						dx											e
20.	³sin x cos2 xdx .						21.				³x sin xdx.								22. ³ln xdx.													23. ³										dx							.			24.	³ln 2 xdx.
20.	³sin x cos2 xdx .						21.				³x sin xdx.								22. ³ln xdx.													23. ³								2	2x								.			24.	³ln 2 xdx.
	0										2Σ											1														1x					2x						2						1
	3						1											1																a
25.	³arctg xdx.			26.			³xe x2 dx.									27.			³x2e xdx.											28. ³x2										a2 x2 dx.
	0				1													1														0
	Σ / 2		dx				4				dx						1				x										1/ 2					1			x								4						dx
29.	³			. 30.			³								.	31. ³									dx. 32.							³									dx. 33. ³														.
	0	2	cos x				0	1					x				0				x		1									0				1			x								0				1		2x 1
	0						0										0															0															0
	Σ / 2								Σ / 2																	1			dx										1					dx									1	dx
34.	³sin x cos2 xdx. 35.										³cosxsin2 xdx.											36. ³							dx					. 37. ³										dx						. 38.			³	dx			.
34.	³sin x cos2 xdx. 35.										³cosxsin2 xdx.											36. ³							x					. 37. ³								x		x						. 38.			³				.
	0										0															0 e			1										0 e					e									0	x2 1
Σ / 4					Σ / 4												3			dx							φ					dx											φ										1	xdx
39.	³sin 4xdx. 40.					³tg3 xdx. 41. ³														dx				.42. ³								dx						. 43. ³e xdx.														44.	³	xdx				.
39.	³sin 4xdx. 40.					³tg3 xdx. 41. ³																2		.42. ³					25 x							2		. 43. ³e xdx.														44.	³					.
	0				0												1 x x									0			25 x													0											0	1 x2
																							57

Ответы

						bn 1 an 1																						10).8. 1. 9.Σ / 4.
	1.														.2. 6. 3. ln2. 4. e(e – 1). 5. 1/3. 6. 2. 7. ln(3
	1.						n			1					.2. 6. 3. ln2. 4. e(e – 1). 5. 1/3. 6. 2. 7. ln(3
							n			1						Σ 3
10.	Σ	arctg						Σ		. 11.						Σ 3				arctgΣ				.12. 21/8. 13. Σ / 6.14. 10/3.				15. 0. 16. 1 . 17.							Σ .
	4							4								64							4						Σ				4		2
18.	3	2		. 19.				Σ				. 20.				1	. 21.5Σ . 22. 1. 23.								аrctg 2. 24.e – 2.			25.	Σ		ln 2. 26. 0.
18.	2			. 19.					5			. 20.				3	. 21.5Σ . 22. 1. 23.								аrctg 2. 24.e – 2.			25.	3		ln 2. 26. 0.
	2								5							3													3
	e2				5				Σa4										Σ		3			4 2ln 3.	31. 2ln2 – 1.	32.	Σ	1		3
27.							. 28.							. 29.									. 30.									.	33.2 – ln2.
27.	e						. 28.			16				. 29.						9			. 30.				6		2			.	33.2 – ln2.
	e									16										9							6		2					1 ln 2
34. 1/3.					35. 1/3.								36. ln						2e			. 37. arctge Σ / 4. 38. ln(1				2). 39. 1/2.				40.				1 ln 2	.
34. 1/3.					35. 1/3.								36. ln					e 1				. 37. arctge Σ / 4. 38. ln(1				2). 39. 1/2.				40.			2		.
			3								Σ							e 1															2
41.	ln		3		. 42.						Σ			. 43. 1.						44. 1.
41.	ln	2			. 42.					10				. 43. 1.						44. 1.
		2								10

5. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

5.1. Площадь плоской фигуры в декартовых координатах

Если f (x) τ 0 на отрезке	[a,b] , то площадь криволинейной трапеции
вычисляют по формуле	b
	b
S	³ f (x)dx .	(5.1)
	a

b	b	b
Если f (x) δ 0 на [a,b] , то ³ f (x)dx δ 0 и S	³ f (x)dx	³	f (x)	dx .

a	a	a

Если

f (x)

принимает на [a,b] значения разных знаков, то

S ³

f (x)

dx .

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

; y

0; x

1; x

2 (рис. 5).

2Σ

Рис. 5

Рис. 6

Решение.

ln x

ln 2 ln1

Пример.

Вычислить

площадь

y sin x 0 δ x δ 2Σ ; y

0 (рис. 6).

Решение.

sin x

t 0

0 d x d Σ

Σ d 2x d

2Σ

¯d 0

2Σ

S ³

sin x

³sin xdx ³( sin x)dx

Иначе: S

2³sin xdx

ln 2 (кв. ед.).

фигуры, ограниченной линиями

cosx	Σ	cosx	2Σ	1 1 1 1 4.

	0		Σ

Площадь	фигуры, ограниченной слева и
x b (a b), а	снизу и сверху кривыми y

вычисляется по формуле

S ³> f2 (x) f1(x) dx .

справа	прямыми	x a	и
f1(x) и	y f2 (x)	(рис.	7)
		(5.2)

		Рис. 7							Рис. 8
Пример.		Вычислить		площадь		фигуры,			ограниченной	графиками
функций y	f (x)	x и y	f	2	(x) 2 x2		(рис. 8).
	1			2
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения прямой y x										с параболой
y 2 x2 .	Решая систему уравнений					y	x,		получаем x1	2, x2 1.
y 2 x2 .	Решая систему уравнений					®°	2 x	2	получаем x1	2, x2 1.
						°		2	,
						¯y			,

Это и есть пределы интегрирования. Искомая площадь фигуры согласно

формуле (5.2)	такова:										1
1	1	>2 x2 x dx	§		x	3		x	2	·		9

s ³	>f2 x f1 x dx ³		¨	2x						¸			.
											2
			¨	3			2			¸
2	2		©							¹	-2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022884.01 Кб8Учебное пособие 1220.pdf
#
30.04.2022884.01 Кб2Учебное пособие 1221.pdf
#
30.04.2022884.82 Кб10Учебное пособие 1222.pdf
#
30.04.2022885.2 Кб1Учебное пособие 1223.pdf
#
30.04.2022886.3 Кб5Учебное пособие 1224.pdf
#
30.04.2022887.77 Кб2Учебное пособие 1225.pdf
#
30.04.2022888.85 Кб5Учебное пособие 1226.pdf
#
30.04.2022889.41 Кб3Учебное пособие 1227.pdf
#
30.04.2022890.14 Кб4Учебное пособие 1228.pdf
#
30.04.2022890.78 Кб15Учебное пособие 1229.pdf
#
30.04.2022288.6 Кб4Учебное пособие 123.pdf