Учебное пособие 1225

2tg

x

2t

1 tg

2

x

1 t2

2dt

sin x

2

cos x

2

;

1 t2 ; x

2arctgt; dx

.

2 x

1 t 2

1 tg

2

x

1 t2

1 tg

2

2

1.

³

dx

³

2dt

³

dt

ln

t

c

ln

tg

x

C.

sin x

1

t2

2t

t

2

t 2

1

x

♣

∙

dx

♦tg

t

÷

2dt

2

2.

³

♦

÷

³

3sin x 2cosx 2

♦

2dt

÷

♠3

2t

1

t

2

2≡

♦dx

÷

1 t 2

2

2

♥

1 t

≠

↔

t 2

1

t 2

≈

↔ 1

≈

←

…

³

2dt

³

2dt

³

dt

1

3t 2

c

1

3tg

x

2

C.

ln

ln

6t 2 2t 2 2 2t2

6t 4

3t 2

3

3

2

II. Частные случаи интегрирования тригонометрических выражений.

1)

Если интеграл

имеет вид≥ R sin x cos xdx ,

то

подстановка

sin x

t ;

cosxdx

dt приводит этот интеграл к виду ≥ R t dt.

2)

Если интеграл имеет вид³R cosx sin xdx ,

то подстановка

c o xs

t ,

sin xdx

dt приводит интеграл к интегралу от рациональной функции.

Пример.

sin xcosxdx

♣cosx t

∙

tdt

³

³

♦

÷

2cos2 t 1

♦

÷

2t2 1

♥sin xdx

dt ≠

1

³

4tdt

1

ln

2t 2 1

c

1

ln

2cos2 x 1

C .

2t 2 1

4

4

4

3)

Если подынтегральная функция зависит только от tgx , то замена

tgx t ,

x arctgt,

dx

dt

приводит интеграл к интегралу от рациональной

1

t2

функции.

4) Если интеграл имеет вид³R(sin x,cosx)dx , но sinx и cosx входят только

в четных степенях, то применяется подстановка tgx = t,

dx

dt ,так как

cos2 x

sin 2 x

tg 2 x

t 2

cos2 x

1

1

;

.

1 tg 2 x

1 t2

1 tg 2 x

1 t 2

Пример.

³

dx

tgx

t

³

dt

sin

4

2

x

4

xcos

t

1 t 2

2

1 t2 2

♣

1

2

∙

1

2

1

2

³

dt

³♦

1÷dt

t C

tgx C.

t

t 2

3t3

t

tgx

4

♥ t 4

≠

3tg3x

dt

Пример. ³

dx

tgx t

³

1 t 2

³

dt

cos2 x 4

1

4t 2 4

1

4

2 t 2

³

dt

1

³

dt

1

2

arctg

2t

C

1

arctg

2tgx

C.

4t 2 3

3

3

3

2 3

4

t

2

4

3

4

5) Пусть интеграл имеет вид³sin m x cosn xdx . Рассмотрим два случая.

а) ³sin m x cosn xdx ,

где m

и n таковы,

что по крайней мере одно из них

нечетное. Положим n

2 p 1и преобразуем интеграл:

³sin m x cos2 p 1 xdx

³

sin m x cos2 p xcosxdx

³

sin m x(1 sin 2 x) p cosxdx.

Делаем замену переменной sin x

t , cosxdx

dt . Тогда

³sin m x cosn xdx = ³t m 1 t 2

p dt, а

это

есть

интеграл

от рациональной

функции от t.

3

Пример.

2

1 t

2

dx

sin

x

sin

xsin xdx

♣cosx

t

∙

dt

dt

1

1

³

dx

³

♦

÷

³

³

³

C

cos4 x

cos4 x

♦

÷

t4

t4

t2

3t3

t

♥ sin xdx dt ≠

1

1

C.

3cos3 x

cosx

sin 2 x

1

(1 cos2x),cos2 x

1

(1 cos2x).

2

2

28.

³cos2

x

dx.

29. ³

3x4 3x2 1

dx.

30. ³

x5 x 1

dx.

31. ³ 2x4 4x2 1dx.

2

x2 1

x2 1

1 x2

32. ³

3x4

3x2 1

33. ³

2x

5x

34.

³

dx

35. ³cos5xdx.

dx.

dx.