Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1225

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

887.77 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

z f (x, y)

По аналогии можно получить полные дифференциалы третьего и т.д. порядков. Для дифференциалов высших порядков свойство инвариантности формы не выполняется.

1.6. Дифференцирование функций, заданных неявно

Пусть неявно заданная функция z f (x, y) определяется тождеством:

F(x, y, f (x, y)) 0.

Продифференцируем тождество по х, считая у постоянной величиной:

Fxc xcx Fzc zcx	0 , Fxc Fzc zcx 0, zcx				Fxc(x, y, z)	.

		Fyc	(x, y, z)		Fzc(x, y, z)
По аналогии находим: zcy				.
		Fzc(x, y, z)

Чтобы частные производные неявной функции существовали, надо чтобы

Fzχ(x, y, z) ζ 0 .

Пример. Найти

производную yχx

для

неявно

заданной функции

x y ex y 0.

1 e

x y

1 e

x y

e x y 1

Решение. Fx

(x, y)

; Fy (x, y)

;

e x y 1

В точках y

производная не существует.

1.7. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума

Пусть функция z f (x, y)	непрерывна в точке M0 (x0 , y0 ) и некоторой ее
окрестности. Точка M0 (x0 , y0 )	называется точкой максимума функции

z f (x, y) , если найдется такая окрестность около точки М0 , что для всех точек

М	из этой окрестности выполняется	неравенство	f (M ) f (M0 ) или
'z	f (M ) f (M0 ) 0 . Точка M0 (x0 , y0 )	называется	точкой минимума

функции z f (x, y) , если найдется такая окрестность около точки М0 , что для всех точек М из этой окрестности выполняется неравенство f (M ) ! f (M0 ) или

'z f (M ) f (M0 ) !0.

Точки максимума и точки минимума называются точками экстремума. Следует отметить, что понятие экстремума носит локальный характер, связанный с наличием окрестности около точки экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если функция дифференцируема в точке M0 (x0 , y0 ) и имеет в этой точке экстремум, то

c	(x0 , y0 ) 0;	χ	, y0 ) 0 .
fx		f y (x0

Экстремум следует искать либо в стационарных точках, то есть точках в которых все частные производные первого порядка равны нулю, либо в точках, где хотя бы одна из производных не существует. Такие точки называются критическими. В критической точке экстремум может быть, а может и не быть. О наличии или отсутствии экстремума в критической точке судят с помощью достаточного признака экстремума.

Достаточное условие экстремума. Пусть функция z f (x, y) имеет все непрерывные частные производные до второго порядка включительно в

некоторой окрестности

точки

M0 (x0 , y0 ) ,

сама

точка М0

является

критической:

, y0 ) 0.

Обозначим:

fx (x0 , y0 ) 0 ; f y (x0

χχ

, y0 )

(x0

, y0 )

C .

fxx (x0

fxy (x0 , y0 ) B;

f yy

Тогда:

'= AC B2 >0, то в точке

1. Если число

(x , y

)

функция

f (x, y)

имеет экстремум, а именно максимум, если А<0 и минимум, если А >0.

2.Если число '= AC B2 <0, то в точке M0 (x0 , y0 ) экстремума нет.

3.Если число '= AC B2 =0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

Пример. Исследовать на экстремум функцию

z x3 y3 9xy 27 .

Решение. Имеем,

3x2

9y , wz

3y2

9x . Найдем точки возможного

экстремума. Решение

системы

® 3x2 9y

дает

две

точки возможного

экстремума: М1(0,0) и М2(3,3).

¯ 3y2 9x

производные

второго

порядка:

Найдем

частные

f xxs

6x,

f yys

6y,

f xys

9. В точке М1(0,0)

имеем

AC B2

81<0 ,

что указывает на отсутствие экстремума в данной точке. В точке

М2(3,3)

имеем '

AC B2

324 81>0. Поскольку

18 >0, то в точке

имеется

минимум.

1.8. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция z

f (x, y)

непрерывна в замкнутой области

. В области

найдется

хотя

бы одна

точка, в которой функция принимает свое

наибольшее значение M, и найдется хотя бы одна точка, в которой функция

принимает свое наименьшее значение m:

m d f (x, y) d M .

Точки, в которых функция принимает свои наибольшее и наименьшее значение, могут располагаться либо внутри, либо на границе области.

Таким образом, для нахождения наибольшего и наименьшего значений необходимо:

1)найти все критические точки, попадающие внутрь области D и вычислить значения функции в этих точках;

2)найти критические точки на границе области и вычислить в них значения функции;

3)затем выбрать наибольшее и наименьшее из всех полученных чисел.

Пример.

Найти

наибольшее

и наименьшее

значения

функции

3x2 3y2 6x 3y 1 в области D ,

ограниченной линиями x y

2, x

0 .

Решение.

Найдем

критические

точки

внутри

области,

для

чего

6x 6

приравняем нулю

частные

производные

°wx

Получаем

®wz

6 y 3

¯wy

1 ·

критическую точку

M1¨1,

¸.

2 ¹

Рассмотрим границу области D ,

представляющую собой

треугольник

АОВ (рис. 3).

x+y=2

Рис. 3

Сначала исследуется отрезок ОА, на котором

имеем x

и,

значит,

3y2 3y 1. Приравняв производную функции z

3y2 3y 1 нулю, имеем

6y 3 0 и, следовательно, получаем стационарную точку

M 2 ¨0,

¸. Выделяем

точки O 0,0 и A 0,2 ,

где

функция

тоже

может

принять

наибольшее и

наименьшее значения.

На отрезке OB имеем y

0 , z

3x2 6x 1,

6x 6

0 , что дает

стационарную точку M3 1,0 . Добавляем точку B 2,0 . Осталось рассмотреть

2 x

сторону

AB,

на

которой,

3x2 3 2 x 2 6x 3 2 x 1= 6x2 15x 7 .

Найдем

производную

12x

15=0, после чего

добавим еще одну

точку M 4

♣

5 ∙

или

♦

♣

∙

♥

4 ≠

M 4

♦

÷ .

♥

≠

		Вычислим значения функции в точках A, B, O, M1, M 2 , M 3 , M 4 :
z A z 0,2 3 4 3 2 1 7 ,																										z B z 2,0 3 4 6 2 1 1,
z O			z 0,0			3x			2		3y		2		6x				3y 1 1,								z M1							♣		1		∙	3	3	6	3	1		11
																																		z♦1,				÷								,
																																		z♦1,		2		÷		4		2			4	,
			♣		1 ∙						3			3						1														♥		2		≠		4		2			4
z M			♣		1 ∙						3			3			1			1			,	z M3						z 1,0					3 6 1					2 ,
	2		z♦0,				÷
	2		z♦0,				÷				4			2						4
			♥		2 ≠						4			2						4
z M			♣ 5			3		∙		3		25				3			9		6				5	3		3		1					38		.
	4		z♦	,				÷
	4		z♦	,		4		÷				16							16						4			4							16
			♥ 4			4		≠				16							16						4			4							16					z1 =7.						M1
		В точке						A функция имеет наибольшее значение																																z1 =7.		В точке				M1
функция имеет наименьшее значение z																															11	.
функция имеет наименьшее значение z																																.
																										1				4
																														4
											Задачи для самостоятельного решения
	Найти частные производные от функций:
1. z		x2 y3 x3 y.									2.			z				x y				.			3. z					xy			.		4.			z	x2 sin y.			5. z		exy .
1. z		x2 y3 x3 y.									2.			z								.			3. z				x y				.		4.			z	x2 sin y.			5. z		exy .
																		x y											x y

6. z

10. z

12.z

13.z

14.z

xye x 2 y .

e y / x.

8. z

ln( x ln y). 9.

ωz

3 x

xe yx .

11.

ln(

y); доказать, что x

ωx

ωy

ωz

x sin

;

доказать, что

ωx

ωy

x2 xy2 ,

e2t , y

sin t; найти

x 1

arctg

e(1 x)2 ;

найти

15.

, x

u 2v ,

v 2u; найти

ωz

ωu

ωv

16.

x2 y2 ,

x u v,

;

найти

ωz

ωz .

ωu

ωv

Найти полный дифференциал:

17. z sin xy2. 18. z ln( x 5y2 ). 19. z y x .

20.Найти производную по направлению биссектрисы первого

координатного угла в точке М(1, 1) функции z x3 y 5xy2 8.

21. Найти производную по направлению функции z ln(ex e y ).

Рассмотреть направление, параллельное биссектрисе первого координатного угла.

22. Найти производную по направлению функции z x2 y2 в точке М(1,1). Рассмотреть случаи, когда направление составляет с осью Ох угол:

1) Σ / 3, 2) Σ / 6, 3) Σ / 2.			x2 2xz y2 в точке М(1,2, 1) по
23. Найти производную функции u
направлению вектора		, где M1 точка с координатами (2,4, 3).
	MM1
24. Найти производную функции			u	x2		y2	z2 в точке М(2,3,1).
				4
					9

Рассмотреть случаи, когда направление совпадает: 1) с направлением радиуса-

вектора этой точки;

2) с направлением вектора

Найти gradz:

25.

4 x2 y2 в точке М(1,2).

26.

в точке М(0,3).

x2 y

27.

(x y)2 в точке М(1,1).

28.

z e

x2 y2

в точке М(1,1).

Найти gradu и

gradu

29.u x2 y2 z2 в точке М(1, 1, 2).

30.u 4 x2 y2 z2 в точке М(3, 2, 1).

31. u

x2 y2 z2 в точке М( 1, 2, 0).

32.u xyz в точке М(3, 1, 2).

Найти частные производные второго порядка:

33.

. 34. z

sin x cos y. 35.

z x y

. 36. z xe y .

1 2 y

x y

Проверить, что

ω2 z

для функций:

ωxωy

ωyωx

37.

38. z

ln( x 2y). 39. z

40. z

arctg

1 y

41.

ex cos y. Показать, что ω 2 z ω2 z

ωx2

ωy2

Найти экстремумы функций:

42.

x2 y2 xy 4x 5y.

43. z

y2 x2 xy 2x 6y.

44.

xy(1 x y).

45. z

x y2 x 6y.

46.

ex / 2 (x y2 ).

47.

x3 y3 3xy.

48.

3x 6y x2 xy y2.

49. z x3 8y3 6xy 1.

50.

2xy 4x 2y.

51.

2x3 xy2 5x2 y2.

Ответы

; wz

2xy3 3x2 y;

3x2 y2 x3.

wx x y 2

x y 2

;

4. wz

2xsin y;

x2 cos y.

wx x y 2

x y 2

;

x 2 y

xye

x 2 y

;

x 2 y

2xye

x 2 y

x ;

;

wx x ln y

wy x ln y y

;

10. wz

e xy (1 xy);

x2e xy .

33 x4

wy 2 y

3 x

13.

2e2t (2e2t

sin 2 t) e2t

sin 2t.

14.

1 2(x 1)2

e(1 x) 2 .

y2 (1 x)2

wz 2x

15.

¨1

¸;

¸. 16.

2xy2

2x2 y

;

2xy2

2x2 y¨

¸.

17.

( y2dx 2xydy)cosxy2.

18.

dx 10ydy

x 5y2

20. wz

21. wz

cos

sin

19.

y x ¨ln ydx

¸.

;

ex e y

§wz

22.

2(cos

sin

1) 1 3;

2) 1

3) 2.23. 16/3.

¹M

24.

§wu ·

cos

Ε 2cosϑ ,

; 2)

25. 2, 4 `. 26. 3, 0`.

¹M

27.

4, 4`.

28. 0, e`.

29. 2, -2, 4`,

gradu

30.

6, 4, 2`,

gradu

14. 31. ®

;

;0¾½

gradu

32. 2;6; 3`, gradu 7.

33.ω2 z ωx2

34.ω2 z ωx2

35.ω2 z ωx2

36.ω2 z ωx2

;

ω2 z

;

ω2 z

1 2 y

ωxωy

(1 2y)2

ωy2

(1 2 y)3

sin xcos y,

ω2 z ω2 z

cos xsin y,

ω2 z

sin xcos y.

ωxωy ωyωx

ωy2

2y2

;

ω2 z

2xy

;

ω2 z

2x2

(x y)3

ωxωy

(x y)3

ωy2

(x y)3

0; ω2 z

xe y ;

ω2 z

e y .

42. zmin

7 при x 1, y 2 .

ωxωy

ωy2


43. Экстремума нет.			44. zmax		1/ 27 при x			y	1 3.
45. zmax		12 при x	y 4 .	46. zmin			2 / e при x			2 , y 0 .
47. zmax		1 при x	1, y	1.	48.	Экстремума нет.				49. zmin	0 при
x	1, y	1 2. 50. Экстремума нет.					51. zmin	0 при		x 0, y	0.
		2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ С НИМИ
	Комплексным числом называется выражение вида
					z	a ib ,					(2.1)
где	a	и b - действительные числа, i - мнимая единица,									удовлетворяющая
условию i2 1. Числа a и b называются								действительной и мнимой частями
комплексного числа, соответственно a								Re z ,	b	Imz .	Выражение (2.1)
называется алгебраической формой записи комплексного числа.
	Геометрически каждому числу						z a ib на координатной плоскости xOy

соответствует точка M (x; y) (рис. 4). В этом случае плоскость xOy называется плоскостью комплексного переменного z .

y M (x; y)

Υ z y

Τ arg z

Рис. 4

Полярные координаты точки M (x; y) называются соответственно модулем и аргументом комплексного числа z . Для них вводятся обозначения:

Υz , Τ Arg z . Те из значений полярного угла, которые удовлетворяют

неравенству Σ Τ δ Σ ,

называются

главными

значениями угла

Τ и

обозначаются arg z .

Соотношения между модулем и аргументом комплексного числа z

и его

действительной и мнимой частью устанавливаются формулами

Υ cosΤ,

Υ sinΤ .

(2.2)

Отсюда

cosΤ

sin Τ

(2.3)

a2 b2

Аргумент z

определяется неоднозначно по формуле

a ! 0,

°arctg

°arctg b

a 0,

b ! 0,

arg z

a 0,

b 0,

(2.4)

®arctg

b 0,

b ! 0.

Заменяя a и b в выражении (2.1) их выражениями через Υ и Τ , получим

тригонометрическую форму записи комплексного числа

Υ(cosΤ i sinΤ ) .

(2.5)

Пусть даны два комплексных числа z1

a1 ib1

и z2 a2 ib2 . Эти числа

являются равными, если у них равны действительные и мнимые части, т.е. a1 a2 , b1 b2 . Для чисел, заданных в тригонометрической форме, равенство

имеет место, если модули этих чисел равны, а аргументы отличаются на целое кратное 2Σ , т.е.

z2 ,

Arg z1

Arg z2 2kΣ.

Два комплексных

числа

a ib

z a ib

называются

сопряженными.

Для

сопряженных

комплексных

чисел

выполняются

соотношения

arg z1 arg z2.

Υ(cosΤ i sinΤ ) , то


Пусть даны два комплексных числа z1				a1 ib1 и z2			a2 ib2 . Действия
над этими комплексными числами определяются по правилам.
Сложение. z1 z2		(a1 a2 ) i(b1 b2 ) .
Вычитание.	z1 z2	(a1 a2) i(b1 b2) .			При этом	полезно		знать, что
модуль разности двух комплексных чисел				z1	и z2 равен расстоянию между
точками, являющимися их изображениями на плоскостиz :							z1 z2	d(z1, z2 ) .

Умножение.	z1 z2	(a1 a2 b1 b2 ) i(a1 b2 a2 b1) .
Если z1 Υ1(cosΤ1 isinΤ1), z2			Υ2 (cosΤ2 isinΤ2 ) , то
	z1 z2	Υ1Υ2 [cos(Τ1 Τ2 ) isin(Τ1 Τ2 ) .
Таким образом,		модуль	произведения		равен произведению модулей

сомножителей, а аргумент произведения – сумме аргументов сомножителей. Деление. Для нахождения частного двух комплексных чисел, заданных в алгебраической форме, следует делимое и делитель умножить на число,

сопряженное с делителем:

a1 ib1

(a1 ib1) (a2 ib2 )

a2 ib2

(a2 ib2 ) (a2 ib2 )

(a1a2 b1b2 ) i (a2b1 a1b2 )

a1a2 b1b2

a2b1 a1b2

Если z1 Υ1(cosΤ1 isinΤ1), z2 Υ2 (cosΤ2 isinΤ2 ) , то

z1	Υ1	[cos(Τ	Τ	2	) i sin(Τ	Τ	2	) .

z2	Υ2	1			1

Таким образом, модуль частного равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение в степень. Если z

Υ n (cosnΤ i sin nΤ )

(здесь

n может быть как целым положительным,

так и целым отрицательным

числом).

Υ(cosΤ i sinΤ )

Извлечение корня.

Если

и n

целое положительное

число, то корень n -й степени из комплексного числа

имеет n различных

значений, которые находятся по формуле

n z

n Υ

♣

Τ 2Σk

i sin

Τ 2Σk

∙

♦cos

÷,

где k

0,1,2,...,n 1.

♥

≠

Пример. Найти

z1 z2

, если

z 2 3i ,

3 5i ,

1 4i .

Решение. Сначала вычислим произведение z1 z2

z1 z2 (2 3i) (3 5i) 6 10i 9i 15 21 i .

Далее находим

z1 z2	(21 i) (1 4i)	21 84i i 4	25	83
						i.
z3	(1 4i) (1 4i)	1 16	17		17

Пример. Представить в тригонометрической форме комплексное число z 1 i 3.

Решение. Находим Υ

3 2

1 3

2 ,

arg z

arctg

arctg 3

. Следовательно,

i sin

2¨cos

¸.

Пример. Даны два комплексных числа z1

1 i

и z2

3 i . Записать их

в тригонометрической форме. Найти в тригонометрической форме:

1) z z

;

; 3)

5 ; 4)

3 z .

Решение. Запишем в тригонометрической форме эти комплексные числа

Υ1

1 1

2 , Μ1

arctg1

i sin

2¨cos

¸,

3 1

arctg

i sin

2¨cos

¸.

Далее находим:

1) z1 z2

§Σ

Σ ·º

5Σ

2 2 «cos¨

i sin¨

¸»

2 «cos

i sin

».

6 ¹¼

§Σ

·º

Σ º

«cos¨

¸ isin¨

¸»

«cos

isin

».

¹¼

12¼

25 cos5Μ i sin 5Μ .

2kΣ

3 z

2 ¨cos

i sin

¸.

Если k

0, то Ζ0

6 2 ¨cos

i sin

¸;

3Σ

3Σ ·

1, то Ζ

2 ¨cos

i sin

¸;

4 ¹

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022884.01 Кб8Учебное пособие 1220.pdf
#
30.04.2022884.01 Кб2Учебное пособие 1221.pdf
#
30.04.2022884.82 Кб10Учебное пособие 1222.pdf
#
30.04.2022885.2 Кб1Учебное пособие 1223.pdf
#
30.04.2022886.3 Кб5Учебное пособие 1224.pdf
#
30.04.2022887.77 Кб2Учебное пособие 1225.pdf
#
30.04.2022888.85 Кб5Учебное пособие 1226.pdf
#
30.04.2022889.41 Кб3Учебное пособие 1227.pdf
#
30.04.2022890.14 Кб4Учебное пособие 1228.pdf
#
30.04.2022890.78 Кб15Учебное пособие 1229.pdf
#
30.04.2022288.6 Кб4Учебное пособие 123.pdf