Учебное пособие 1225
.pdfk 2 , то Ζ0 |
6 |
§ |
17Σ |
|
|
17Σ · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 ¨cos |
|
|
|
|
i sin |
|
¸. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
© |
|
|
|
12 ¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
3.1. Первообразная. Неопределенный интеграл |
|
|||||||||||||||
Определение. Функция F(x) называется первообразной функцией для |
|||||||||||||||||||
функции |
f (x) |
|
на интервале (a,b) , если F(x) дифференцируема на (a,b) |
и |
|||||||||||||||
c |
|
|
|
|
|
f (x)dx |
для всех |
x (a,b) . |
|
||||||||||
F (x) f (x) или dF(x) |
|
||||||||||||||||||
Простейшие примеры: |
|
|
|
|
|
·c |
|
|
|
|
|||||||||
|
f x |
x2 ; F x |
|
|
x3 |
§ |
1 |
|
x3 |
1 |
|
3x2 ; |
|
||||||
1. |
|
|
|
|
|
, так как ¨ |
|
|
¸ |
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
|
3 |
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
¹ |
|
|
|||||||
2. |
f x |
cos x; F x |
|
|
sin x, |
так как sinx c |
|
|
cos x . |
|
|||||||||
Если для |
f (x) |
существует первообразная F(x), то существует |
и |
бесчисленное множество первообразных, отличающихся друг от друга на константу. Например, для f (x) x2 первообразными будут функции:
|
1 |
x3; |
1 |
x3 1; |
1 |
x3 |
10 и т.д. |
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
3 |
3 |
|
|
||||
|
|
|
Определение. Если функция F(x) является первообразной для f (x) , |
то |
||||
выражение F x С называется неопределенным интегралом функции f (x) |
и |
|||||||
обозначается символом |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
³ f x dx F x С. |
|
|
|
|
Операцию |
нахождения неопределенного интеграла (первообразной) |
называют интегрированием функции f (x) . Функция, имеющая первообразную, называется интегрируемой. Для функции, непрерывной на (a,b) существует первообразная на (a,b) , т.е. она интегрируема. Интегрирование есть операция
обратная дифференцированию.
Из определения неопределенного интеграла следует:
1) производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной
функции (применяется для проверки):
³ f x dx c f x ;
2)дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению: d ³ f x dx f x dx .
3)неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная: ³dF(x) F(x) C .
20
3.2. Таблица неопределенных интегралов
1. ³xadx |
|
|
|
|
|
xa 1 |
|
c a ζ 1 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. ³ |
|
|
|
ln |
|
|
x |
|
c x ζ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
|
c a ! 0; a ζ 1 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
3. ³a xdx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ln a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. ³exdx |
|
|
|
ex c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5. ³sin xdx |
|
|
|
|
|
|
cos x c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
6. ³cos xdx |
|
|
|
|
|
|
sin x c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
7. ³ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
tgx c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8. ³ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
ctgx c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
↑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
9. |
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arcsin x c |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ arccosx c |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↑ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
c |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
³ |
|
|
|
|
a2 x2 |
|
|
|
° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° arccos |
a |
|
c |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
↑ |
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx c |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
³1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ arcctgx c |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↑1 |
arctg |
|
x |
|
c |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→a |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
³a2 x |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° |
|
a |
arcctg |
a |
|
c |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
13. ³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 ρ a2 |
|
c . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 ρ a2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
14. ³ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
c . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
a2 x2 |
|
|
2a |
|
a x |
|
Так как интегрирование есть операция обратная дифференцированию, то прочитав таблицу интегралов справа налево, получим таблицу производных.
Интегралы, содержащиеся в таблице, называются табличными. Вычисление интеграла сводится к последовательным операциям, результатом
21
которых является приведение заданного интеграла к табличному (если это возможно).
3.3. Основные свойства неопределенного интеграла
1. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла:
³Af x dx A³ f x dx .
2. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или
ескольких функций равен сумме неопределенных интегралов от слагаемых:
³>f x g x dx ³ f x dx ³g x dx
(верно для любого конечного числа слагаемых).
|
|
3.Если ³ f x dx |
F x C , то |
|
|
|
³ f x b dx |
F x b C ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
³ f ax dx |
|
1 F ax C ; |
³ f ax b dx |
|
1 F ax b C . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|||||
Примеры. Вычислить неопределенные интегралы: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
3 |
x |
2 |
x x 1 |
|
|
|
♣ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
∙ |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
1. ³ |
|
|
|
|
³ |
♦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ÷ |
|
|
³xdx ³dx |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
♦ x |
1 x |
2 x |
÷dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
♦ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
♥ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
≠ |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||
³x |
2 dx ³x |
2dx |
x |
|
|
C |
= |
x 2 x |
C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x |
2 1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. ³ |
|
³xdx ³ |
dx |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
C . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. ³ |
|
|
dx |
|
|
ln |
|
x 5 |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. ³ |
|
|
dx |
|
|
|
|
1 tg3x C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
cos2 3x 3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5. ³sin(2x 1)dx |
|
|
|
cos(2x 1) C. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4. Интегрирование с помощью замены переменной
Одним из самых распространенных методов интегрирования является метод замены переменной.
Пусть надо вычислить интеграл ³ f (x)dx , который не является
табличным.
Часто его можно упростить, введя вместо х новую переменную t, положив
x Μ(t) |
χ |
и dx Μ (t)dt . |
|
|
22 |
Предположим, что f (x) непрерывна на некотором промежутке оси Ох, а функции Μ(t) и Μχ(t) непрерывны на соответствующем промежутке изменения t. Тогда
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ f x dx |
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.1) |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f >Μ t @Μ |
|
t dt . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Функцию x Μ(t) |
следует выбирать так, |
|
|
чтобы можно было вычислить |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неопределенный интеграл, стоящий в правой части равенства (2.1). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Однако чаще употребляют обратную замену x |
|
|
|
|
|
|
|
|
χ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
t ; x dx dt , то |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
есть заменяют |
|
ту функцию, |
|
|
|
стоящую |
под |
интегралом, |
|
|
|
дифференциал |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(производную) от которой, мы видим стоящим под этим интегралом: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
³ |
|
f χ x |
dx |
|
|
|
|
|
χ f (x) t |
|
|
|
|
|
³dt |
ln |
|
t |
|
c ln |
|
f x |
|
C . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
f x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(x)dx dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Примеры. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
sin x |
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
1. ³(sin x) |
|
|
cosxdx |
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
³t |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
c |
|
|
|
C. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cosxdx |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2. ³ex sin ex dx |
|
|
ex |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
³sin tdt |
|
|
|
cost c |
|
|
|
cos ex C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e |
x |
dx |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3. ³ |
2xe x |
2 |
dx |
|
|
x2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
³et dt e x |
2 |
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2xdx |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
t |
3 |
2 |
|
|
(sin x) |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. ³ |
sin x cosxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³t 2 dt |
|
|
|
|
|
|
c |
|
C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
cos xdx |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
5. ³ |
xdx |
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
t |
|
|
|
1 |
|
³ |
dt |
|
|
1 |
ln |
|
t |
|
c |
|
|
|
1 |
ln x2 1 C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 1 |
|
|
|
2xdx |
|
dt |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
6. ³ |
|
xdx |
|
|
= |
|
x2 |
|
|
t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
³ |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ln |
|
t |
4 t2 |
|
C |
|
|
1 |
ln |
|
x2 |
4 x4 |
|
C. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 x4 |
|
xdx |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 t2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.5. Формула интегрирования по частям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть функции |
|
u |
|
|
|
u(x) и v |
v(x) имеют непрерывные производные. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда по правилу дифференцирования произведения имеем: d>uv |
vdu udv . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Интегрировав обе части равенства по х, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³d>uv |
|
|
|
|
³vdu ³udv, |
|
|
uv |
³vdu ³udv, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³udv |
uv ³vdu. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Формула сводит вычисление интеграла ³udv к вычислению интеграла ³vdu , который
может оказаться проще исходного.
С помощью интегрирования по частям вычисляются интегралы следующих видов.
а) |
³ |
eaxP x dx, |
P x sin xdx; |
³ |
P x cos xdx . |
|
|
|
||
|
n |
³ n |
|
n |
Pn x |
умножается на |
функцию, |
|||
Во |
всех этих |
интегралах |
многочлен |
|||||||
интеграл от которой является табличным. В этом случае за |
u(x) |
выбирают |
||||||||
Pn x . |
|
³ln xPn x dx , ³Pn x arcsin xdx; ³Pn x arctgxdx . |
|
|
||||||
б) |
|
|
|
|||||||
Во всех этих интегралах многочлен |
Pn x |
умножается на функцию, |
||||||||
интеграла от которой в таблице нет. В этом случае за u(x) |
выбирают ln x , |
|||||||||
arcsin x , |
arccosx , arctgx и т.д. |
|
|
|
|
|
|
|
в) ³eax sin bxdx, ³eax cosbxdx.
Такого вида интегралы берутся по частям два раза.
Примеры. Вычислить неопределенные интегралы, используя метод интегрирования по частям.
1. xexdx |
§ u |
|
x; |
du |
dx· |
xex |
³ |
exdx xex ex C. |
|||
¨ |
|
x |
|
|
|
x |
¸ |
||||
³ |
¨ |
e |
dx; |
v |
e |
¸ |
|
|
|||
|
©dv |
|
|
¹ |
|
|
|
³ |
§ |
u x; |
du |
dx · |
¨ |
|
|
¸ |
|
2. xcosxdx |
¨ |
cosxdx; |
v |
¸ |
|
©dv |
sin x¹ |
|
2 |
|
x |
|
§ |
x |
2 |
2x 3; |
||
3.³(x |
2x 3)e |
dx |
¨u |
|
||||||
|
|
¨ |
dv |
|
e |
x |
dx; |
|||
|
|
|
|
|
© |
|
|
(x2 2x 3)ex ³(2x 2)ex dx
xsin x ³sin xdx xsin x cosx C.
du (2x |
· |
|
2)dx¸ |
||
v e |
x |
¸ |
|
¹ |
Применим ко второму интегралу еще раз формулу интегрирования по частям
§u |
2x 2; |
du |
2dx· |
(x2 2x 3)ex (2x 2)ex |
||||
¨ |
|
x |
|
|
|
x |
¸ |
|
¨ |
e |
dx; |
v |
e |
¸ |
|
||
©dv |
|
|
¹ |
|
2³exdx (x2 2x 3)ex (2x 2)ex 2ex C.
24
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨u |
ln x, du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
6 |
|
|
|
|
x |
6 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
4. |
³ |
x5 ln xdx |
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
³ |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
ln x |
|
C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
N |
|
|
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
¸ |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
36 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
¨dv x5dx, v |
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 ¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
¨u |
|
|
arctgx, |
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
xarctgxdx |
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
dv |
xdx |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
x |
2 |
/ 2 |
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
arctgx |
1 |
³ |
x2 |
|
dx |
|
|
|
|
x |
2 |
|
arctgx |
1 |
|
³ |
|
|
|
x2 |
1 1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
1 x2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
arctgx |
1 |
|
³ |
(1 |
|
1 |
|
|
|
|
)dx |
|
|
|
x2 |
|
|
arctgx |
x |
|
|
1 |
|
arctgx C. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
§u |
|
|
ex , du |
|
|
|
exdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6.³e |
|
sin xdx |
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
e |
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
¨ |
|
|
|
sin xdx, v cosx |
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
©dv |
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
§u |
|
|
ex , du |
|
|
|
|
exdx |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
³e |
cosxdx |
¨ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
e |
cosx e |
sin x |
³e |
sin xdx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
¨ |
|
|
|
cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
©v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Получили интеграл равный данному. Обозначив его за J, получим |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
равенство |
|
J |
|
ex sin x cos x J. Перенеся J в левую часть равенства, имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2J ex sin x cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
ex sin x cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
В результате ³ex sin xdx |
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.6. Рациональные дроби. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Простейшие рациональные дроби и их интегрирование |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дроби, т.е. в виде отношения двух многочленов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P x |
|
a |
0 |
|
a x a |
2 |
x2 ... a |
n |
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qm |
x |
|
b |
|
|
b x b x2 |
... b |
|
|
xm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если степень числителя меньше степени знаменателя, то дробь правильная. В противном случае дробь называется неправильной. Неправильную дробь путем деления числителя на знаменатель всегда можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:
Pn x |
|
N x |
Pk |
x |
|
k m . |
|||
Q |
m |
x |
P |
x |
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
Пример. Вычислить интеграл ³ x2x5 1 dx.
Решение. Подынтегральная функция представляет собой неправильную дробь. Разделив числитель на знаменатель, выделим целую
часть: |
x5 |
|
x3 x |
x |
|
, Тогда |
|
x2 1 |
x2 1 |
||||||
|
|
|
|
|
x5 |
§ |
|
|
|
x |
· |
x |
4 |
|
x |
2 |
|
1 |
ln x2 |
1 C. |
||
³ |
|
|
|
|
dx ³¨x3 |
x |
|
|
|
¸dx |
|
|
|
|
|||||
|
2 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
||||||||||||
x |
x |
4 |
|
|
2 |
||||||||||||||
|
|
© |
|
|
¹ |
2 |
|
|
|
Таким образом, интегрирование неправильной рациональной дроби всегда может быть сведено к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби. Интегрирование многочлена не представляет труда, поэтому рассмотрим интегрирование правильной рациональной дроби.
Определение. Правильные рациональные дроби вида
I. |
A |
; |
II. |
A |
; |
III. |
Ax B |
; |
IV. |
Ax B |
; |
x a |
x a k |
x2 px q |
x2 px q k |
||||||||
где A, B, p, q – |
|
действительные числа, а трехчлен x2 px q не имеет |
действительных корней, т.е. D = p2 4q 0 называются простейшими дробями
I, II, III и IV типов.
Проинтегрируем простейшие дроби I, II, III: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
I. ³ |
|
|
A |
dx A³d x a |
Aln |
|
|
x a |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x a |
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A x a k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
||||||||||||||
II. ³ |
|
|
A |
|
|
dx |
A³ x a k d x a |
C |
|
|
|
|
|
C. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x a k |
k 1 x a k 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
III.Рассмотрим интеграл I3 |
³ |
|
|
Ax B |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
px q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Выделим в числителе производную знаменателя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
♣ |
|
|
p ∙ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
px |
q |
|
2x p |
|
2♦ x |
|
÷. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
Ap |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
♥ |
|
|
≠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2x p B |
|
|
|
|
A 2x p dx |
|
♣ |
|
|
|
|
Ap ∙ |
dx |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
♦ B |
|
|
|
÷ |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
³ |
|
|
|
x2 px q |
|
|
|
|
2 ³x2 px q |
2 |
|
q |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
♥ |
|
|
|
≠³x2 px |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
2 |
|
|
|
♣ |
|
Ap ∙ |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
px q |
♦ B |
|
÷³ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
♥ |
|
|
|
2 ≠ |
|
x2 px q |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Рассмотрим отдельно второй интеграл ³ |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
px q |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
Выделим в знаменателе полный квадрат
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ |
|
|
p · |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d¨x |
|
|
¸ |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
³ |
|
|
|
|
|
|
³ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³ |
|
|
© |
|
2 ¹ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x2 px q |
|
§ |
|
|
|
p |
|
p2 · |
|
|
p2 |
|
|
|
§ |
|
p · |
2 |
|
§ |
|
|
|
|
p2 |
· |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¨x 2 |
|
|
x |
|
|
|
¸ |
|
|
|
q |
|
¨x |
|
|
¸ |
|
|
|
¨q |
|
|
|
¸ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
¨ |
|
|
2 |
|
4 |
¸ |
|
|
4 |
|
|
|
© |
|
2 ¹ |
|
|
|
¨ |
|
|
|
4 |
¸ |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
© |
|
|
|
¹ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
!0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dz |
1 |
|
|
z |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
♣ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
∙ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
³ |
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
♦ |
|
x |
|
; q |
|
|
|
|
2 ÷ |
||||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C. ♦ z |
|
2 |
|
|
4 |
|
|
÷. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
♥ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≠ |
Окончательно получим:
|
A |
|
|
|
|
|
♣ |
Ap ∙ |
1 |
|
x |
p |
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
C , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I3 |
|
|
ln |
x |
|
px q |
|
♦ B |
|
÷ |
|
arctg |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
♥ |
2 ≠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить неопределенный интеграл:
♣ |
|
|
p |
2 |
∙ |
♦ |
2 |
q |
|
÷ |
|
|
|
||||
♦ |
|
|
4 |
÷ |
|
♥ |
|
|
≠ |
|
x 3 |
|
1 |
2x 2 2 |
dx |
1 |
|
2x 2 dx |
2³ |
dx |
³ |
dx ³ |
2 |
³ |
|||||||
x2 2x 2 |
|
|
2 |
|
x 1 2 1 |
|||||
|
|
x2 2x 2 |
|
x2 2x 2 |
12 ln x2 2x 2 2arctg x 1 C.
IV. Интеграл от дроби этого типа выражается через сумму дробно – рациональных функций и арктангенс.
3.7. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей. Интегрирование правильных рациональных дробей
Пусть имеется правильная дробно-рациональная функция:
Pn x (3.2)
Qm x
(m>n) и знаменатель ее разложен на действительные множители:
Qm x am x x1 k x x2 l ... x2 p1x q1 s x2 p2 x q2 p ...
Тогда дробь (3.2) можно представить и притом единственным образом в
виде следующей суммы простейших дробей: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Pn x |
A1 |
|
A2 |
|
... |
Ak |
|
B1 |
|
|
B2 |
|
... |
Bl |
|
|
|
||
|
Qm x |
|
x x1 |
x x |
2 |
x x k |
x x2 |
|
x x |
2 |
2 |
x x |
2 |
l |
||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27
|
|
M1x N1 |
|
M 2 x N2 |
... |
M S NS |
|
|
||||||
|
x2 p1x q1 |
x2 p1x q1 2 |
x2 p1x q1 |
s |
||||||||||
|
P1x Q1 |
P2 x Q2 |
|
|
PP QP |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
... |
|
|
|
... |
||||||
x2 p2 x q2 |
x2 p2 x q2 2 |
x2 p2 x q2 |
p |
|||||||||||
Здесь |
A1, A2 ,...Ak ; B1, B2 ,..,Be ,...M1, N1, M2 , N2 и т.д. |
- |
|
|
некоторые |
коэффициенты.
Число простейших дробей, соответствующих каждому множителю знаменателя, равно кратности соответствующего корня.
Пример. Вычислить интеграл³ |
x 2 |
dx . |
|
(x 2)2 (x 1) |
|||
|
|
Подынтегральная функция представляет собой рациональную дробь. Разложим ее на сумму простейших дробей:
x 2 |
|
A |
|
B |
|
C |
|
. |
|
x 2 2 x 1 |
x 2 2 |
x 2 |
x 1 |
||||||
|
|
|
Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители.
A |
|
B |
|
C |
|
|
A x 1 B x 2 x 1 C x 2 2 |
||||||||||||
x 2 2 |
x 2 |
x 1 |
|
|
|
x 2 2 x 1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
A |
Bx2 |
Bx |
|
2B |
Cx |
2 |
|
|
4C |
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Ax |
2Bx |
4Cx |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 2 x 1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B C x2 A B 4C x A 2B 4C x 2.
Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые степени и коэффициенты при одинаковых степенях равны. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, имеем
x2 x1 x0
B C 0 |
|
C B |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
A B 4C 1 |
|
A 3B 1 |
|
; 9B 1; |
B |
|
; |
C |
; 3A 4; A |
|||
A 2B 4C |
2 |
A 6B 2 |
|
|
|
|
9 |
|
|
9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим найденные коэффициенты в разложение
x 2 |
|
4 1 |
|
1 1 |
|
1 1 |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x-2 2 x 1 |
3 x 2 2 |
9 x 2 |
9 x 1 |
||||||||||||
|
|
|
Окончательно получим:
28
³ |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
dx |
4 |
³ |
|
dx |
|
1 |
³ |
dx |
1 |
³ |
dx |
|||||||||
|
x-2 2 x |
1 |
3 |
x 2 2 |
9 |
|
x 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 9 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
4 1 |
|
|
|
1 |
ln |
|
x 2 |
|
|
1 |
ln |
|
x 1 |
|
C. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
3 x 2 |
9 |
9 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx
Пример. Вычислить интеграл³(x 1)(x 1) (x2 1) . Разложим дробь на простейшие
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
Cx D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x 1 x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
x 1 |
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A x 1 x2 1 B x 1 x2 1 Cx D x2 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 x |
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
Приравняем числители: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
A x3 x2 x 1 B x3 x2 x 1 C x3 x D x2 1 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x3 |
|
A B C 0 |
4A 1 A |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
A B D |
|
|
° |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0° |
B |
|
|
; C |
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
A B C |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x1 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
A B D 1 |
° |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x0 |
|
|
D |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 1 |
|
4 x |
1 |
4 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
В результате |
|
|
|
|
|
|
2 x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
³ |
|
1 |
|
dx |
1 |
³ |
1 |
|
dx |
1 |
³ |
|
1 |
|
|
|
dx |
1 |
|
³ |
|
|
|
1 |
|
|
|
dx |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
arctgx C. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x4 1 |
4 |
x 1 |
|
|
|
x 1 |
|
|
x2 |
|
|
|
4 |
x 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.8. Интегрирование некоторых классов |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тригонометрических функций |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
I.Универсальная тригонометрическая подстановка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пусть надо вычислить интеграл от тригонометрической функции, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рациональной относительно sin x и cosx : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
³R cos x,sin x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
С |
помощью |
|
|
|
|
замены |
|
|
|
|
|
|
переменной |
|
|
tg |
|
t (универсальная |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тригонометрическая подстановка) вычисление данного интеграла сводится к вычислению интеграла от дробно – рациональной функции относительно t, при этом функции sin x , cosx и dx выражаются через t и dt:
29